[66]. Каждая хорда с центром окружности образует треугольник, как показано на рисунке ниже
Если длина окружности постоянна, то углам с вершиной в ее центре соответствуют хорды разной длины. Гиппарх составил таблицу углов, кратных 7,5 градуса, с указанием длины хорд. Во II столетии нашей эры астроном Птолемей развил эту идею, создав таблицу хорд для окружности с радиусом 60 единиц, в которой была приведена длина хорд, соответствующих углам с интервалом в полградуса от 0 до 180 градусов, с точностью до третьего шестидесятеричного разряда. Таблицы хорд Гиппарха и Птолемея оказались бесценны для западных астрономов, рассматривавших Землю и другие небесные тела как вершины космических треугольников. Таким образом, треугольник стал первым телескопом за всю историю человечества, сделав внеземные объекты доступными для измерения.
В Индии в середине первого тысячелетия нашей эры астрономия процветала по той же причине, что и в Вавилоне: у индийцев тоже была позиционная система счисления, позволяющая им эффективно описывать как очень большие, так и очень малые числа. На самом деле индийская система счисления даже превосходила вавилонскую, поскольку основывалась на десятках, что было более удобно, чем группы по шестьдесят цифр. Кроме того, индийцы считали ноль полноправным числом, а не символом-заполнителем незначащих разрядов чисел, как вавилоняне. Индийские астрономы также пользовались таблицами длин сторон треугольников. Однако вместо хорд они их составили для полухорд. Как показано на верхнем рисунке, полухорда — это сторона прямоугольного треугольника, в котором радиус окружности представляет собой гипотенузу, а другая сторона — часть биссектрисы, перпендикулярной хорде. Концепция полухорд удобнее для расчетов, поскольку, как мы уже знаем, любой треугольник делится на прямоугольные треугольники. Позиционная система счисления индийцев и их знания о длине сторон треугольников получили распространение в арабском мире и со временем достигли Европы. Система представления чисел с помощью цифр от 0 до 9, которые мы используем в наше время, так же как и выбор полухорд, берет свое начало в индийской системе счисления.
В VI столетии до нашей эры Фалес уловил суть самого важного свойства треугольников, лежащего в основе всего, что мы о них знаем, в частности, что при равных углах отношения их сторон не меняются.
А теперь представим, что мы перенеслись на две тысячи лет вперед, в то время, когда математики изобрели три новые концепции, основанные на этом свойстве: синус, косинус, тангенс.
SOH-CAH-TOA![67]
Тем, кто забыл это мнемоническое правило, хочу напомнить формулы:
Синус, косинус и тангенс — это тригонометрические функции, применяемые по отношению к прямоугольным треугольникам, таким как треугольник на представленном выше рисунке. Синус угла α — это отношение противолежащего катета к гипотенузе; косинус угла α — отношение прилежащего катета к гипотенузе; тангенс угла α — отношение противолежащего катета к прилежащему.
Если понадобится увеличить изображенный на рисунке треугольник до нужного размера, пропорции между сторонами останутся неизменными, а это значит, что синус, косинус и тангенс угла α, которые принято записывать как «sin α», «cos α» и «tan α»[68], представляют собой постоянную величину. Тригонометрические функции — это своего рода идентификационный код, описывающий форму прямоугольных треугольников: она зависит от внутренних углов, поэтому, если они неизменны, не изменяются и значения синуса, косинуса и тангенса.
При внимательном рассмотрении приведенных выше рисунков связь между синусом и полухордой становится очевидной. Синус угла β представляет собой отношение противолежащей стороны к гипотенузе, которое равно отношению полухорды к радиусу. Если радиус равен 1, тогда синус угла β — это и есть полухорда.
Согласно этимологии слова «синус», оно пришло к нам из Индии. На санскрите полухорда обозначалась как jya-ardha, или «половина тетивы». Арабы транслитерировали это слово как jiba — лишенное смысла слово, звучащее почти как jaib — «пазуха», или «углубление». При переводе арабских текстов на латынь термин jaib был переведен как sinus, что означало складку тоги над грудью женщины. В английском языке это слово трансформировалось в sine.
Ниже представлена небольшая тригонометрическая таблица. Углам с изящными значениями не всегда соответствуют столь же изящные значения тригонометрических функций. При величине угла от 0 до 90 градусов значение синуса находится в пределах от 0 до 1, косинуса — от 1 до 0, а тангенса — от 0 до бесконечности. Первые тригонометрические таблицы были составлены в XV–XVI веках с использованием геометрических и математических методов, что подготовило почву для золотого века треугольника.
sin 1° = 0,0175/cos 1° = 0,9998/tan 1° = 0,0175
sin 10° = 0,1736/cos 10° = 0,9848/tan 10° = 0,1763
sin 30° = 0,5000/cos 30° = 0,8660/tan 30° = 0,5774
sin 45° = 0,7071/cos 45° = 0,7071/tan 45° = 1,0000
sin 60° = 0,8660/cos 60° = 0,5000/tan 60° = 1,7321
sin 90° = 1,0000/cos 90° = 0,0000/tan 90° = ∞
При отсутствии необходимых технических приспособлений можно применить новые математические инструменты. Например, если мы хотим измерить высоту дерева, мы решаем эту задачу при помощи прямоугольного треугольника, как показано ниже.
Если Р — это точка на земле, с которой видна верхушка дерева, а α — угол наблюдения, то:
Эту формулу можно преобразовать в следующее уравнение:
h = d × tan α
Как правило, такие уравнения записываются так:
h =d tan α
Топографу эпохи Возрождения следовало измерить угол α с помощью транспортира и визира, после чего ему лишь оставалось найти в тригонометрической таблице значение tan α. Расстояние d он мог измерить посредством мерной ленты или куска веревки. Вот и весь секрет того, как вычислить высоту дерева, не отрываясь от земли.
Для того чтобы определить высоту горы, необходимо нарисовать два треугольника (как показано выше), поскольку добраться до угла треугольника, расположенного прямо под вершиной горы, невозможно. Топограф решает эту задачу путем наблюдения за вершиной горы из двух точек, каждая из которых образует прямую линию с вершиной под углами α и β. Кроме того, он измеряет расстояние d между этими двумя точками. Высоту горы можно рассчитать с помощью значений tan α, tan β и d (в Приложении 3 показано, как это сделать).
Тригонометрия (или наука о соотношении сторон треугольника) повлияла на развитие таких областей, как навигация и военное дело, позволив морякам и солдатам измерять расстояния до объектов, к которым они не могли приблизиться без риска утонуть или быть убитыми. Кроме того, тригонометрия помогла арабскому ученому аль-Бируни превзойти результат Эратосфена в определении окружности Земли. В XI веке нашей эры, когда аль-Бируни жил в крепости у Соляного Кряжа в Пенджабе, он случайно нашел место, географические характеристики которого идеально подходили для измерения высоты горы. Она была высокой и выходила на плоскую равнину. Все складывалось как нельзя лучше для реализации этого намерения посредством тригонометрии, поэтому аль-Бируни так и поступил. Но затем, вместо того чтобы собрать вещи и уйти, он взобрался на вершину горы и измерил угол между горизонтальным направлением взгляда и горизонтом, обозначенный на рисунке ниже как θ. Далее аль-Бируни соединил точку встречи горизонта с землей и точку на вершине горы, в которой он стоял, с центром Земли, образовав прямоугольный треугольник. Затем он вычислил радиус Земли, умножив высоту горы на отношение (доказательство можно найти в Приложении 3). Выполнив необходимые расчеты, аль-Бируни получил значение радиуса Земли, равное 6335 километрам, что дает окружность 39 800 километров — всего на 0,5 процента меньше правильного значения и почти в десять раз точнее, чем оценка Эратосфена.
Измерение радиуса Земли по методу аль-Бируни
Соотношение сторон треугольника стало настоящим открытием для архитекторов, астрономов, артиллеристов, ученых и мореплавателей. К тому же это послужило толчком к формированию абстрактной математики, позволяющей по-новому взглянуть на классические геометрические концепции, такие как теорема Пифагора, которая гласит, что:
a2+b2= c2,
где c — гипотенуза, a и b — два катета.
Если α — это угол между сторонами b и c, тогда:
Другими словами, a = c sin α, а b = c cos α. Мы можем подставить эти значения в уравнение Пифагора:
(c sin α)2 + (c cos α)2 = c2,
которое можно преобразовать так:
c2 (sin α)2 + c2 (cos α)2 = c2
и привести к следующему виду:
(sin α)2 + (cos α)2 = 1
Прекрасно! Теперь у нас есть компактная формула, демонстрирующая, как можно вычислить синус по косинусу и наоборот без необходимости рисовать треугольник. Это простейшее из уравнений, которые называют тригонометрическими тождествами — уравнениями, включающими в себя тригонометрические функции. Принято считать, что арабский математик ибн-Юнус (современник аль-Бируни) вывел следующую формулу:
Она имела огромное значение, хотя математикам понадобилось пять сотен лет, чтобы понять почему. Уравнение ибн-Юнуса позволяет заменить такую трудную математическую операцию, как умножение, на более простое действие — сложение.
Представьте, что нам нужно умножить 0,2897 на 0,3165.
Оба числа находятся в диапазоне от 0 до 1, стало быть, есть такие углы, для которых эти числа являются косинусами. Определить, какие именно углы соответствуют данным значениям, помогут тригонометрические таблицы. Вот эти углы: