Y-образный маятник Блэкберна. Рисунок взят из научно-популярного издания 1879 года
Из книги: Alfred Marshall Mayer, Soundby, Macmillan and Co., 1879
Гармонограф викторианской эпохи представлял собой нечто среднее между ящиком письменного стола и старинными часами[100]. Как результат, так и сам процесс движения пера, создававшего все эти изображения, оказывал гипнотическое воздействие. Затухание колебаний, обусловленное потерей энергии из-за трения, образовывало кривые, которые закручивались по спирали внутрь по мере их приближения к неподвижной точке равновесия. Некоторые более крупные устройства могли поддерживать колебания на протяжении часа и даже больше, прежде чем маятники останавливались.
Гармонографы стали настолько популярны, что обусловили появление и других устройств, работающих по тому же принципу: симпалмограф, пендулограф, двойной маятник и маятник, совершающий гармонические колебания в четырех направлениях. В начале ХХ века был создан генератор сложных гармонических колебаний Крейтона и фоторатиограф, чертивший кривые на фотобумаге с помощью движущегося светового пучка. В 1950-х годах художник Джон Уитни собрал гармонограф из военного утиля, оставшегося после Второй мировой войны. Он купил блок управления зенитной артиллерийской батареей М5 (большой металлический ящик со множеством ручек и рычагов, представлявший собой первый аналоговый компьютер, который использовался для расчета направления выстрелов по вражеским самолетам) и переделал его так, чтобы вращающиеся детали могли передвигать пишущий элемент по закону простого гармонического колебания в двух направлениях. Уитни мог корректировать скорость и размах колебаний синусоиды в электронном режиме, что позволяло ему в гораздо большей степени контролировать процесс и устраняло последствия затухания колебаний. С помощью этого устройства Уитни создавал удивительные изображения, которые стали одними из самых известных за всю историю математического искусства, поскольку были использованы в заставке и на постерах к фильму Альфреда Хичкока Vertigo («Головокружение»), снятому в 1958 году. Закручивающиеся в водоворот, вызывающие головокружение концентрические петли являлись прекрасной визуальной метафорой для истерзанного внутреннего мира главного героя киноленты. Однако Уитни знаменит не только этими изображениями, а и тем, что его электронный гармонограф был также первым устройством для создания компьютерной анимации.
Красивые вибрации: фигуры, созданные гармонографами
© Карл Симс, www.karlsims.com
Примерно в тот период, когда гармонографы вошли в моду в викторианских салонах, один парижский физик понял, что можно создавать аналогичные фигуры с помощью двух камертонов и пучка света[101]. Демонстрации, устраиваемые Жюлем Антуаном Лиссажу, относятся к числу самых красивых экспериментов XIX столетия. Когда камертон издает звук, его металлические зубцы колеблются согласно закону простого гармонического движения. Лиссажу прикрепил к одному камертону небольшое зеркальце и направил на него луч света таким образом, чтобы он отражался на экране в виде светового пятна. Когда камертон начинал вибрировать, пятно вытягивалось в горизонтальную линию. Пятно света очень быстро перемещалось то в одну, то в другую сторону, однако наблюдатели воспринимали это движение как линию, поскольку изображение каждого пятна сохраняется в нашей зрительной системе на долю секунды дольше, чем находится там на самом деле. Затем Лиссажу добавил еще один камертон, к которому тоже было прикреплено зеркало. Второй камертон размещался перпендикулярно первому с тем, чтобы луч света отражался зеркалом первого камертона, колеблющегося в одном направлении, на зеркало второго камертона, колеблющегося в перпендикулярном направлении, после чего попадал на экран. Другими словами, камертоны вели себя так же, как и маятники в гармонографе, перемещая луч света под воздействием двух конкурирующих гармонических колебаний. Однако вместо колебаний один раз в секунду или что-то около этого камертоны колебались с частотой сотни раз в секунду. Публика видела на экране поразительные изображения, известные в наше время как фигуры Лиссажу.
Разные системы расположения камертонов образуют разные кривые. Если два одинаковых камертона издают звук одной и той же высоты, то их синусоиды идентичны, а полученная кривая представляет собой одну из кривых в первом ряду на рисунке ниже: эллипс, прямую линию или окружность. Форма кривой зависит от того, в какой момент начинается каждое колебание по отношению к другому колебанию. Лиссажу корректировал данный процесс, меняя расстояние между камертонами. Если частота колебания одного камертона в два раза больше частоты колебаний другого, полученная кривая относится ко второму ряду изображений — это может быть парабола или кривая в форме восьмерки. В оставшихся рядах представленного ниже рисунка показаны фигуры Лиссажу для других целых значений соотношения между частотами синусоид. Если соотношение частот нельзя описать двумя целыми числами, луч света не вернется в исходную позицию, и полученное изображение будет нечетким.
Фигуры Лиссажу — иллюстрация из книги, опубликованной в 1875 году. В левом столбце изображений для каждого ряда указано соотношение частот синусоид
Из книги: John Tyndall, Sound (Third Edition), Longmans, Green and Co., 1875
От частоты колебания камертона зависит, какую ноту он издает. Например, при частоте 262 колебания в секунду он издает ноту «до» третьей октавы. Таким образом, благодаря экспериментам Лиссажу у музыкантов появился новый, более эффективный способ калибровки камертонов: вместо того чтобы определять их настройку на слух — использовать зрение. Квалифицированные специалисты применяют пучки света в своих мастерских. Если у двух камертонов отличается высота звука, значит, частота колебаний у них тоже разная, поэтому двойное отражение луча света дает размытую картинку. Специалисты выбирают один камертон в качестве эталона, а второй обрабатывают до тех пор, пока рисунок на стене не превратится в эллипс — это подтверждает, что оба камертона звучат на одной ноте.
Фигуры Лиссажу — результат сложения двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний. Можно ли суммировать синусоиды, колеблющиеся вдоль одной и той же оси?
Разумеется, можно! И это приводит нас к одной из самых красивых и полезных теорем в математике. Для того чтобы вам было легче воспринимать дальнейший материал, позвольте мне объяснить три концепции, неразрывно связанные с изучением волн: частота, амплитуда и фаза. Частота — это количество колебаний, которые совершает волна за определенный промежуток времени; амплитуда — расстояние по вертикали между вершиной и впадиной волны; фаза — показатель позиции волны по горизонтали.
Вооружившись данными концепциями, мы можем дать математическое описание синусоид, которые представлены на рисунке ниже:
1) — это уже знакомая нам синусоида, описываемая уравнением y = sin x;
2) — если увеличить частоту в два раза (а это значит, что волна повторяется дважды за тот же период, за который исходная волна образуется только один раз), уравнение кривой будет выглядеть так: y = sin 2x;
3) — если удвоить амплитуду (то есть высота волны увеличивается в два раза), уравнение становится следующим: y = 2sin x;
4) — если изменить фазу, сместив волну влево на четверть ее длины, получим косинусоиду, которой соответствует уравнение y = cos x.
Все волны, образованные в результате изменения частоты, амплитуды и фазы синусоиды, тоже являются синусоидами. Частоту, амплитуду и фазу легче себе представить, вспомнив о том, что синусоиду создает перемещение точки по окружности: частота зависит от скорости перемещения точки, амплитуда — от радиуса окружности, а фаза — от исходной позиции точки;
5) — здесь я сложил синусоиду с косинусоидой. Складывая две волны, мы просто суммируем значения по вертикали в каждой точке горизонтальной оси. При этом происходит настоящее волшебство: результат сложения синусоидальной и косинусоидальной волны — это тоже синусоида, хотя и с другой фазой и амплитудой, равной корню из двух. В действительности сложение двух синусоид с одинаковой частотой всегда в результате дает синусоиду, независимо от значений их амплитуды и фазы.
Иными словами, если синусоиду прибавить к любому количеству синусоид с такой же частотой, но другими амплитудой и фазой, полученная кривая останется синусоидой — как фантастический монстр, всегда возвращающийся в свое первоначальное обличье. В ближайшее время мы вернемся к математике точек, перемещающихся по окружности, а пока давайте сделаем небольшое отступление и поговорим о перевороте иного типа — французской революции.
В 1798 году тридцатилетний профессор Политехнической школы в Париже Жозеф Фурье получил от министра внутренних дел срочное сообщение, в котором говорилось, что страна нуждается в его услугах и он «должен быть готов отправиться в путь по первому приказу»[102]. Через два месяца Фурье отплыл из Тулона в составе военной флотилии из 25 000 моряков под командованием генерала Наполеона Бонапарта, необъявленной целью которого было завоевание Египта.
Фурье был одним из 167 выдающихся ученых, входивших в состав египетской экспедиции. Их присутствие отображало идеологию научного прогресса, исповедуемую Великой французской революцией. Кроме того, Наполеон, будучи сам страстным поклонником математики, любил окружать себя людьми, разделявшими его взгляды. Говорят, что, когда французские войска добрались до Великой пирамиды в Гизе, Наполеон сел в тени у ее подножия, быстро что-то записал в своем блокноте и заявил, что в пирамиде достаточно камня для того, чтобы построить стену высотой три метра и толщиной один метр, которая окружила бы всю Францию