e — важнейший элемент математики роста.
π — первая константа, с которой мы знакомимся в школе; число e изучают гораздо позже, причем только те, кто специализируется на математике. Однако на уровне университетского образования число e занимает доминирующее положение. По чистой случайности вышло так, что e — это также самая распространенная буква в английском языке. Математическая роль числа e имеет свою аналогию в лингвистике. Когда в уравнении присутствует число e, это свидетельствует о расцвете экспоненциального роста, а цветение — признак зарождения жизни. Точно так же буква e привносит жизнь в письменный язык, превращая слова со смежными согласными в удобопроизносимое сочетание звуков.
У экспоненциального роста есть свой антипод — экспоненциальный спад. В его ходе величина многократно уменьшается в одной и той же пропорции. Например, экспоненциальный спад демонстрирует последовательность, каждый член которой в два раза меньше предыдущего:
1, , , , , , …
В случае экспоненциального спада эквивалент концепции периода удвоения — это фиксированный промежуток времени, необходимого для того, чтобы величина уменьшилась в два раза. В частности, в физике этот промежуток обозначается термином «период полураспада». Количество радиоактивных частиц в радиоактивном веществе сокращается по экспоненциальному закону, причем тоже с огромными различиями: период полураспада водорода-7 составляет 0,000000000000000000000023 секунды, тогда как кальция-48 — 40 000 000 000 000 000 000 лет.
Если говорить о примерах из повседневной жизни, то разность между температурой горячего чая и температурой чашки, в которую вы его только что налили, уменьшается по экспоненциальному закону. То же самое можно сказать и о снижении атмосферного давления по мере восхождения на гору.
Кривая чистого экспоненциального спада, показанная на рисунке ниже, описывается уравнением y = , которое можно представить и в такой форме: y = e—x. В случае экспоненциального спада градиент всегда имеет отрицательное значение и является величиной, обратной высоте. Кривая спада — это та же экспоненциальная кривая y = ex, отраженная вертикальной осью. У этой кривой есть одно интересное свойство: конечная площадь заштрихованной на рисунке области, ограниченной кривой и вертикальной и горизонтальной осями, равна 1, хотя длина этой области бесконечна, поскольку кривая никогда не достигнет горизонтальной оси.
Кривая экспоненциального спада y =
В майском выпуске журнала Acta Eruditorum 1690 года первооткрыватель числа e Якоб Бернулли снова вернулся к рассмотрению вопроса, над которым математики ломали голову уже целое столетие. Какую геометрическую форму образует кусок шпагата, закрепленный в обоих концах и провисающий под собственной тяжестью? Эта кривая (названная цепной линией — catenary, от латинского слова catena, «цепь») образуется в случае, когда тот или иной материал провисает под действием силы тяжести, как показано на рисунке ниже. Это может быть провисание электрического кабеля, ожерелья, скакалки или бархатного шнура. Поперечное сечение вздымающегося паруса — тоже цепная линия, развернутая на 90 градусов, поскольку ветер дует горизонтально, тогда как сила тяжести действует вертикально. Однако в отличие от многих других сложных математических задач, которые ученые ставили в XVII столетии, Якоб не знал ответа на этот вопрос до того, как поставил его. Год спустя ответ все еще ускользал от него. А через какое-то время решение задачи нашел младший брат Якоба Иоганн. Вы, наверное, подумали, что это стало поводом для большой радости в доме Бернулли, но на самом деле все было далеко не так. Семья Бернулли считалась одной из самых неблагополучных в математике.
Математическое украшение: цепная кривая
Семья Бернулли, первоначально обитавшая в Антверпене, скрывалась от преследований протестантов испанскими католическими властями. В начале XVII века торговцы специями Бернулли обосновались в швейцарском городе Базеле. Якоб, родившийся в 1654 году, был первым математиком в семье, которой предстояло стать великой династией ученых в разных областях науки. За три поколения восемь представителей семьи Бернулли заслужили звание выдающихся математиков, причем каждый сделал открытие, названное его именем. Якобу, изучавшему сложный процент, наибольшую известность принесла первая крупная работа по теории вероятности. По словам одного историка, он был «своевольным, упрямым, агрессивным, мстительным, одолеваемым чувством неполноценности, но все же твердо убежденным в своей уникальности»[111]. Из-за этого у него часто возникали конфликты с Иоганном, который был на тринадцать лет младше, но имел такой же скверный характер. Иоганн очень гордился тем, что ему удалось решить задачу о цепной кривой, и впоследствии с удовольствием вспоминал этот эпизод: «Усилия моего брата оказались тщетными; мне же повезло больше, поскольку у меня хватило способностей (я говорю это без хвастовства — с какой стати мне скрывать правду?), чтобы решить эту задачу»[112]. А еще он прибавил: «Надо признать, это стоило мне поисков, которые отняли всю ночь…» Всего одна ночь на решение задачи, с которой его брат не смог справиться за год? Вот это да! Со своими сыновьями Иоганн соперничал не меньше, чем с братом. Когда Французская академия наук присудила Иоганну премию вместе с его средним сыном Даниилом, он так болезненно воспринял это, что запретил сыну появляться в фамильном доме.
Как оказалось, у кривой, сущность которой так страстно стремился определить Якоб Бернулли, есть тайный ингредиент — e, число, открытое Якобом в другом контексте.
В современной системе обозначений уравнение цепной кривой выглядит так:
где a — это константа, от которой зависит масштаб кривой. Как показано на рисунке ниже, чем больше значение a, тем дальше друг от друга находятся концы кривой.
Графики цепной линиис разными значениями a
Если в уравнении цепной линии a = 1, то кривая имеет следующий вид:
Посмотрите внимательно на это уравнение: его член ex отображает чистый экспоненциальный рост, а член e—x — чистый экспоненциальный спад. Уравнение суммирует эти два члена и делит полученный результат на два, а это хорошо всем знакомая арифметическая операция — именно так мы должны сделать, чтобы найти среднее арифметическое этих двух значений. Другими словами, цепная линия — это среднее кривых экспоненциального роста и экспоненциального спада, как показано на рисунке ниже. Каждая точка такой U-образной кривой находится ровно посредине между двумя экспоненциальными кривыми.
Каждый раз, глядя на окружность, мы видим число π — отношение длины окружности к диаметру. Каждый раз, смотря на висящую цепь, свободно провисшую паутину или прогиб пустой бельевой веревки, мы видим число e.
Цепная линия — это среднее кривых экспоненциального роста и спада
В XVII столетии английский физик Роберт Гук открыл одно удивительное механическое свойство цепной линии: в перевернутом виде она представляет собой самую устойчивую форму для отдельно стоящих арок. Провисающая цепь находится в положении, в котором ее внутренние силы растягивают ее вдоль линии кривой. В перевернутом виде все эти растягивающие силы превращаются в силы сжатия, делая цепную линию идеальной аркой, в которой все силы сжатия тоже действуют вдоль линии кривой. В арке, имеющей форму цепной линии, нет изгибающих сил: она поддерживает себя собственным весом, не нуждаясь ни в каких скобах или опорах. Такая арка будет очень устойчивой при минимальном количестве кирпичной кладки. Для того чтобы арка стояла прочно, кирпичи даже не нужно скреплять цементным раствором, поскольку они прижимают друг друга по всей ее высоте. Гук был весьма доволен своим открытием, заявив, что «еще ни один зодчий не пытался сделать нечто подобное». Однако вскоре после этого инженеры начали использовать цепные линии в работе. До наступления компьютерной эры самый быстрый способ создать их сводился к тому, чтобы повесить цепь, начертить кривую, построить модель из жесткого материала и поставить ее в перевернутом положении.
Цепная линия — это своего рода опора природы, идеальный способ стоять на двух ногах. Арка в форме перевернутой цепной линии является отличительной чертой творчества Антонио Гауди, каталонского архитектора, построившего ряд самых замечательных зданий XX века, в частности храм Святого семейства в Барселоне[113]. Гауди привлекала не только эстетическая красота цепной линии, но и ее математические свойства. Благодаря тому что он использовал цепные линии в своей практике, строительная механика стала главным элементом проектирования зданий.
Однако в зданиях арки редко стоят отдельно. Как правило, они образуют колонны или своды, присоединенные к стенам, полам и крышам. Гауди понял, что весь архитектурный проект здания можно разработать, применив модель из свисающих цепей. Именно так он и поступил. Например, когда Гауди поручили создать проект церкви для Колонии Гуэля возле Барселоны, он сделал перевернутый вверх дном каркас проектируемого строения. Вместо металлических цепей Гауди использовал веревки с подвешенными к ним сотнями мешочков, наполненных свинцовой дробью. Под весом мешочков, закрепленных на веревках, образовалась сеть видоизмененных цепных линий, в форме которых арки представляли собой самую устойчивую конструкцию для поддержания соответствующего веса (такого как крыша или строительные материалы). Для того чтобы посмотреть, как будет выглядеть церковь в законченном виде, Гауди сфотографировал свою модель и перевернул снимок наоборот. Хотя церковь Колонии Гуэля так и не была закончена, Гауди применил эту методику в своей дальнейшей работе.