não sei nada, или I don’t know nothing (двойное отрицание»). В данном случае два отрицания усиливают отрицание, а не нейтрализуют друг друга.
Безусловно, в английском языке двойное отрицание равносильно утверждению. Лингвист Джон Лэнгшо Остин однажды на конференции сказал, что ни в одном языке дважды повторенное утверждение не дает отрицания. Говорят, что сидевший в зале философ Сидни Мордженбессер произнес в ответ: «Да-да».
Одним из первых приверженцев индийской системы счисления, включавшей в себя ноль и отрицательные числа, был Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми (около 750–850). Впоследствии латинские версии имени аль-Хорезми использовались для описания арифметических методов, которые он популяризировал; именно от его имен происходит и слово «алгоритм». Кроме того, аль-Хорезми разработал новый раздел математики — алгебру, название которой происходит от арабского слова al-jabr, что означает «восстановление». Алгебра — это язык уравнений, в котором для представления чисел используются такие символы, как x и y. В алгебре вопрос «Какое число, прибавленное к двум, дает ноль?» может быть выражен в виде задачи — найти x, когда:
x + 2 = 0
Ответ такой: x = −2. Независимо от того, считаете вы отрицательные числа имеющими смысл или нет, значение −2 — решение этого уравнения. Именно благодаря алгебре европейские математики эпохи Возрождения в конце концов включили отрицательные числа в определение числа. Какими бы абсурдными они ни казались, это все же были числа.
Вскоре алгебраисты столкнулись с еще одной проблемой. Пользуясь только положительными и отрицательными числами, а также четырьмя арифметическими операциями, такими как сложение, вычитание, умножение и деление, они обнаружили концепцию, которую не могли понять. Это было решение уравнения:
x2 = –1
Ответ — квадратный корень из минус единицы, или х = √−1. Однако вот в чем проблема: какое число, умноженное само на себя, может быть отрицательным? Это точно не положительное число, поскольку произведение двух положительных чисел — положительное число. Это и не отрицательное число, так как произведение двух отрицательных чисел — тоже положительное число. Первым отрицательные корни уравнений использовал Джероламо Кардано в 1545 году[127]. По его собственным словам, размышления о них приносили ему «умственные мучения», что неизбежно произойдет с каждым, кто еще не сталкивался с данным понятием. В итоге он просто проигнорировал его, заявив, что если решение уравнения — квадратный корень из отрицательного числа, то это «изящно не в меньшей степени, чем бессмысленно». Кардано открыл дверь в новый мир математики, а затем снова захлопнул ее.
Через несколько десятилетий соотечественник Кардано Рафаэль Бомбелли снова открыл эту дверь и робко вошел в нее. Квадратные корни из отрицательных чисел появлялись в алгебраических вычислениях все чаще и чаще, поэтому Бомбелли решил обращаться с ними как с положительными и отрицательными числами, складывая их, вычитая, умножая и деля при каждом их появлении. «Многие считали, что это безумная мысль, — писал он. — Создавалось впечатление, что вся эта область опирается на софистику, а не на истину». И все же квадратные корни из отрицательных чисел были не просто удобны, а давали возможность решать уравнения, которые раньше считались нерешаемыми. Если не задумываться о том, что значат квадратные корни из отрицательных чисел, они вполне могли вписаться в общую систему.
В 1637 году Рене Декарт назвал квадратные корни из отрицательных чисел «мнимыми», а столетие спустя Леонард Эйлер закрепил это понятие: «Все выражения типа √–1, √–2 и т. д. — это невозможные, или мнимые числа, поскольку они представляют собой корни из отрицательных чисел. В отношении таких чисел мы можем, в сущности, утверждать, что они не являются ни ничем, ни больше чем ничто, ни меньше чем ничто, а это неизбежно делает их мнимыми или невозможными». Эйлер обозначил число √–1 специальным символом i (от англ. imaginary — «мнимый») и доказал, что квадратный корень из любого отрицательного числа может быть выражен в виде величины, кратной i[128]. Например, √–4 равно 2i, поскольку √–4 = (√4 × — 1) = √4 × √–1 = 2 × i = 2i. В общем виде это можно записать так: √—n = (√n)i. Квадратные корни из отрицательных чисел (которые представляют собой величины, кратные i) известны под общим названием «мнимые числа».
Числа, не относящиеся к категории мнимых, называются действительными числами. Они действительные потому, что находятся на числовой оси, а значит, мы можем увидеть, что они и правда там есть. Числа 2, 3, 5, — 4 и π — действительные числа, а 2i, 3i, 5i, –4i и πi — мнимые. На самом деле множество мнимых чисел — это своего рода зеркальное отражение действительных чисел. Каждому действительному числу m соответствует мнимое число mi.
Когда действительное число прибавляется к мнимому, такая гибридная форма, как 3 + 2i, называется комплексным числом. Все комплексные числа имеют форму a + bi, где a и b — действительные числа, а i — это √–1[129]. Поскольку прибавить действительное число к мнимому в общепринятом смысле нельзя, знак плюс используется исключительно для разделения двух частей числа. Считается, что комплексное число — это одно число, состоящее из двух частей — действительной и мнимой. Если действительная часть равна нулю, тогда все число мнимое; если мнимая часть равна нулю, тогда число действительное.
Значение концепции числа, используемой поначалу для подсчета физических объектов, было расширено посредством введения понятия отрицательных, а затем и мнимых чисел. В связи с этим возник закономерный вопрос о том, создаст ли алгебра еще более абстрактную категорию чисел. Например, что представляет собой квадратный корень квадратного корня из минус единицы? Если всерьез задуматься об этой концепции, сперва она перевернет ваш разум вверх дном, а затем вывернет наизнанку. Речь идет о решении уравнения:
или:
что эквивалентно:
x2 = i
Поражает тот факт, что решение этого уравнения представляет собой комплексное число[130][131]:
В XVIII веке математики поняли, что применение мнимых чисел позволяет решить любое уравнение. Это вывод оказался настолько важным, что его стали позиционировать как основную теорему алгебры. Уравнение, записанное с помощью комплексных чисел, всегда имеет решение в виде комплексных чисел. Дверь, в которую вошел Рафаэль Бомбелли, для того чтобы изучить квадратные корни отрицательных чисел, оказалась дверью в изолированную комнату. Но что это была за комната! Болезненные чувства, испытываемые математиками по отношению к мнимым числам, уступили место радости. В настоящее время концепция числа i считается вполне естественным и эффективным расширением числовой системы. Благодаря введению единственного символа математики получили изысканно самодостаточную абстрактную вселенную. Это была выгодная сделка!
Мнимые числа — главные герои двух самых известных примеров математической красоты. Один из них — картина (о которой мы поговорим немного позже), а другой — уравнение, известное как тождество Эйлера. В 2003 году, во время атаки экотеррористов на автосалон в Лос-Анджелесе, эту формулу нанесли спреем на бок внедорожника. Характер данного рисунка привел к аресту студента, изучавшего физику в Калифорнийском технологическом институте[132]. «Все должны знать тождество Эйлера», — объяснил он судье. Безусловно, студент был совершенно прав, но от разрисовывания автомобилей все же следует воздержаться. Тождество Эйлера — это «быть или не быть» математики, самая знаменитая формула и фрагмент культурного наследия, находящий отклик и за пределами своей области:
eiπ + 1 = 0
Это поразительное равенство. Оно объединяет пять самых важных чисел в математике: 1 — первое натуральное число; 0 — абстрактное представление понятия «ничего»; π — отношение длины окружности к диаметру; е — экспоненциальная константа; i — квадратный корень из минус единицы. Все эти числа возникли в отдельных областях исследований и при этом образуют идеальное сочетание. Невозможно было даже представить себе столь безукоризненный синтез математической мысли. В математике красота — это изысканность формулировок и установление неожиданных связей. Не существует другого уравнения, которое было бы столь же кратким и в то же время столь же глубоким.
Но что же все-таки значит то, что у действительного числа (числа е) мнимый показатель степени (iπ)? В XIX столетии профессор математики Гарвардского университета Бенджамин Пирс ответил на этот вопрос так: «Мы не можем понять и не знаем, что это значит. Но мы доказали это, следовательно, оно должно соответствовать истине». Пирс был совершенно прав. Математика начинается с исходных предположений и приводит туда, куда они ведут. Именно поэтому она столь увлекательна. На самом деле Эйлер открыл эту формулу, позабыв о смысле. Поскольку тождество Эйлера — самое известное уравнение в математике, я бы оказал вам плохую услугу, если бы хотя бы кратко не рассказал эту историю.
Единственное, что вам понадобится в качестве подготовки, — принять без доказательства три следующих уравнения. Многоточия в конце означают, что правая сторона уравнения продолжается до бесконечности:
Если x равно 1, то первый ряд дает нам формулу расчета экспоненциальной константы е, о которой шла речь в предыдущей главе. (Помните, что ф