Первый Международный конгресс математиков прошел в 1897 году в Цюрихе. На втором конгрессе, состоявшемся в 1900 году в Париже, немецкий математик Давид Гильберт сделал доклад, в котором перечислил 23 нерешенные математические задачи, тем самым определив направление развития этой дисциплины на ближайшую сотню лет. Математики приезжают на Международный конгресс, чтобы оценить и осмыслить свои достижения, а объявления о присуждении Филдсовской премии содержат краткое описание самых интересных работ. Например, Линденштраусс получил медаль Филдса «за результаты по жесткости относительно мер в эргодической теории и за их применение в теории чисел», Смирнов — «за доказательство конформной инвариантности двумерной перколяции и модели Изинга в статистической физике», а Тяу — «за доказательство фундаментальной леммы в теории автоморфных форм новыми алгебро-геометрическими методами». Возможно, эти формулировки поразили вас не меньше, чем меня, когда я услышал их на конгрессе. На самом деле многим его участникам тоже было трудно понять все это даже после того, как они выслушали разъяснительные доклады. Британский математик Тимоти Гауэрс, лауреат Филдсовской премии за 1998 год, написал в своем блоге: «Если хотите произвести впечатление на друзей, постарайтесь сделать вид, что понимаете [работу Нго]. Если кто-то спросит вас, в чем основная идея его работы, вы можете ответить так: “Ну, самая глубокая его идея состояла в том, что расслоение анизотропной частицы Хитчина в формуле следа — это стек Делиня-Мамфорда”. Если это не произведет должного эффекта, тогда упомяните в разговоре об “искаженных пучках” — они здесь будут явно к месту»[140]. Передовые достижения в области математики настолько сложны в концептуальном плане, что во всем мире найдется не более нескольких сотен человек, способных понять, что именно сделал каждый из обладателей медали Филдса. Что касается работы Нго, математика, специализирующегося на самых абстрактных концепциях, таких людей еще меньше.
Однако краткое описание работы Виллани оказалось более доступным для понимания, чем остальные. Он был удостоен Филдсовской премии «за доказательство нелинейности затухания Ландау и сходимости к равновесию в уравнении Больцмана». Здесь, по крайней мере, было нечто понятное даже для неспециалиста в данной области. Уравнение Больцмана, которое австрийский физик Людвиг Больцман вывел в 1872 году, описывает поведение частиц газа и является одним из самых известных в классической физике. Как оказалось, Виллани — не только ценитель галстуков XIX столетия, но и поклонник ученого мирового уровня тех времен.
Уравнение Больцмана, известное под названием «дифференциальное уравнение с частными производными», выглядит так:
Если вы изучали исчисление в школе, вы увидите в этой формуле ряд знакомых символов, особенно таких, как вытянутый символ ∫ или изогнутый символ ∂. Если вы не изучали этот предмет, не волнуйтесь — немного позже я вам объясню, что значат все эти символы. Исчисление — это важнейшее интеллектуальное достижение эпохи Просвещения, и присуждение Филдсовской премии Седрику Виллани свидетельствует о том, что в данной области до сих пор осуществляются передовые математические исследования. Мы с вами еще вернемся к этому вычурно одетому французскому математику и его уравнению, но для того, чтобы вооружиться необходимыми концептуальными и терминологическими инструментами, нам понадобится сначала перенестись с юга Индии на Сицилию, примерно в III столетие до нашей эры.
На лицевой стороне медали Филдса находится портрет бородатого Архимеда, заслужившего репутацию самого выдающегося математика Античности. Однако Архимеда чаще всего вспоминают в связи с его вкладом в физику. Например, когда он выскочил из ванной с возгласом «Эврика!», это было не математическое открытие, а прорыв в области гидростатики, получивший название «закон выталкивающей силы», или «закон Архимеда». К числу наиболее известных изобретений Архимеда относится гигантский крюк, с помощью которого древние греки топили корабли римлян, пытавшихся захватить его родной город Сиракузы, а также винт, вращая который вручную можно было поднимать воду. Историк Плутарх писал, что сам Архимед считал сооружение машин «низменным и грубым» и был «околдован геометрией». Когда Архимед принимал ванну и его не одолевали мысли о физике, «он продолжал чертить геометрические фигуры на золе очага и даже на собственном теле, натертом маслом и благовониями, проводил пальцем какие-то линии, отдавшись во власть великого наслаждения, которое испытывал от изучения геометрии»[141].
Изначальная задача геометрии состояла в расчете площади. (Термин «геометрия», или «измерение земли», впервые использовал историк Геродот, описывая метод, который изобрели египетские сборщики налогов для расчета площади земель, затопленных ежегодными разливами Нила.) Как мы знаем, площадь прямоугольника равна произведению его ширины на высоту; исходя из этого, можно сделать вывод, что площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Древние греки нашли различные методы вычисления площади более сложных фигур. Среди них самым значительным достижением была «квадратура параболы» Архимеда, или метод вычисления площади фигуры, ограниченной параболой и прямой. Как показано на рисунке ниже, Архимед сначала нарисовал большой треугольник, вписанный в параболу, а затем на его сторонах построил новые треугольники[142]. На каждой из двух сторон треугольников меньшего размера он построил еще меньшие треугольники, и так далее, придерживаясь условия, что три вершины каждого треугольника должны находиться на параболе. Чем больше треугольников рисовал Архимед, тем сильнее их совокупная площадь приближалась к площади параболического сегмента. Если бы этот процесс продолжался и дальше, бесконечное количество треугольников полностью покрыло бы требуемую площадь.
Квадратура параболы
Далее Архимед доказал, что если площадь большого треугольника равна Т, то площадь каждого из двух треугольников меньшего размера составляет , а площадь каждого из четырех треугольников, построенных на их сторонах, равна и т. д. Другими словами, площадь параболического сектора, представляющая собой сумму всех треугольников, — это бесконечный ряд:
или
или
В заключение Архимед доказал, что сумма этого ряда равна . Следовательно, чтобы вычислить площадь между прямой и параболой, достаточно начертить треугольник, измерить длину его основания и высоту, рассчитать площадь и умножить полученный результат на . Я не буду приводить здесь доказательство Архимеда, а вместо этого покажу рисунок, который содержит в себе это доказательство. Математические схемы такого типа называются доказательством без слов. Приведенный ниже рисунок — пожалуй, мой самый любимый в этой книге, и он гласит, что
Посмотрите на этот рисунок и попытайтесь понять почему. (А если не сможете, откройте Приложение 6.) Если это уравнение верно, тогда общая площадь равна:
Что и требовалось доказать.
Квадратура параболы Архимеда — самый наглядный пример применения метода последовательных исчерпываний: суммирование последовательности площадей малых фигур, приближающихся к площади большой фигуры. Доказательство этого метода считается наиболее значительным достижением Архимеда, поскольку отображает первую «современную» трактовку математической бесконечности. За две сотни лет до Архимеда философ Зенон предостерегал против использования такого понятия, как бесконечность, в серии парадоксов. В самом знаменитом из них, «Ахиллес и черепаха», демонстрировалось, что сложение бесконечного количества величин приводит к абсурдному результату.
Представьте себе, говорил Зенон, что Ахиллес пытается догнать черепаху. Когда атлет достигнет того места, где она была, когда он начал свой бег, черепаха проползет немного дальше. Когда он доберется до второй позиции, черепаха снова продвинется дальше. Ахиллес может продолжать свой бег сколько угодно, но каждый раз, когда он будет достигать того места, где находилась черепаха, она уже будет немного впереди. Зенон утверждал, что если рассматривать движение как бесконечное количество рывков на протяжении бесконечного количества интервалов, то быстроногий Ахиллес никогда не догонит неповоротливую черепаху. Древние греки так и не смогли развязать логические узлы Зенона, поэтому математики всячески избегали концепции бесконечности в своей работе. Даже Архимед, использовавший метод последовательных исчерпываний, никогда не называл всеобъемлющую сущность именем «бесконечный ряд» так прямо, как это делаю я. Но различия касались исключительно терминологии, а не самой идеи. Архимед был первым мыслителем, создавшим аппарат для работы с бесконечным рядом, имеющим конечный предел. Это было важно не только для покорения площадей гораздо более сложных фигур, чем парабола, но и для начала концептуального пути к исчислению. Архимед стал первым из тех атлантов, на плечи которых обопрется в свое время Исаак Ньютон.
Если бесконечность — это самое большое число, тогда какое число самое маленькое? В XVII столетии математики ввели новую концепцию под названием «бесконечно малая величина» — величина, которая меньше любой другой действительной величины, но все же больше ноля.
Бесконечно малая величина была и чем-то, и ничем: достаточно большая для применения в математике, но и достаточно малая, чтобы исчезнуть, когда вам это необходимо. Рассмотрим в качестве иллюстрации окружность, изображенную на рисунке ниже. В нее вписан двенадцатиугольник — фигура с 12 сторонами, состоящая из 12 идентичных треугольников с общей вершиной, совокупная площадь которых примерно равна площади круга. Если я построю в этой окружности многоугольник с большим числом сторон, содержащий большее количество более узких треугольников, их совокупная площадь еще сильнее приблизится к площади круга. Если я продолжу увеличивать количество сторон, в предельном случае я получу многоугольник с бесконечным количеством сторон, содержащих бесконечное количество бесконечно узких треугольников. Площадь каждого такого треугольника представляет собой бесконечно малую величину, но их совокупная площадь равна площади круга.