Может показаться, что данное математическое отступление было излишним, но есть непосредственная польза в том, что мы стали мыслить о волновых функциях как о векторах. Во-первых, становится понятно правило Борна, согласно которому вероятность получить любой конкретный результат измерения равна квадрату его амплитуды. Подробнее мы обсудим этот момент позже, однако легко увидеть, какой смысл заключен в этой идее. Если волновая функция – это вектор, то у нее есть длина. Логично предположить, что со временем длина этого вектора может уменьшаться или увеличиваться, но это не так; согласно уравнению Шрёдингера, меняется лишь «направление» волновой функции, а длина ее остается постоянной. Длину волновой функции можно вычислить по теореме Пифагора, для этого достаточно знать геометрию на уровне старших классов.
Числовое значение длины вектора несущественно, мы просто можем выбрать удобное число, зная, что оно останется постоянным. Пусть это будет единица, то есть будем считать, что любая волновая функция это вектор, длина которого равна единице. Сам этот вектор подобен гипотенузе прямоугольного треугольника, а его компоненты – катетам. Тогда теорема Пифагора подсказывает нам простое отношение: сумма квадратов амплитуд дает единицу, |a|2 + |b|2 = 1.
На этом простом геометрическом факте основано правило Борна для расчета квантовых вероятностей. Сами амплитуды в сумме не дают единицу, а их квадраты – дают. Все это напоминает важную особенность теории вероятности: сумма вероятностей различных исходов должна быть строго равна единице. (Что-то должно произойти, и общая вероятность всех возможных исходов в сумме дает единицу.) Еще одно правило заключается в том, что вероятности обязательно выражаются неотрицательными числами. Опять же, амплитуды в квадрате соответствуют этому требованию: амплитуды могут быть отрицательными (или комплексными), но их квадраты являются неотрицательными вещественными числами.
Не успев как следует задуматься, мы уже видим, что «амплитуды в квадрате» обладают подходящими свойствами, чтобы описывать вероятности исходов: это множество неотрицательных чисел, в сумме всегда дающих единицу, поскольку длина волновой функции равна единице. В этом вся суть: правило Борна сводится к теореме Пифагора, применяемой к амплитудам вероятностей различных исходов. Вот почему речь идет об амплитудах в квадрате, а не о самих амплитудах, не о квадратных корнях из амплитуд или о чем-нибудь столь же безумном.
Векторная картина позволяет красиво объяснить и принцип неопределенности. Как вы помните, электроны с верхним спином распределяются в соотношении пятьдесят на пятьдесят, превращаясь в электроны с левым и правым спинами, когда их пропускают через «следующий», горизонтально ориентированный магнит. Это говорит о том, что электрон в состоянии верхнего спина находится в суперпозиции правого и левого спинов, как и электрон с нижним спином.
Так, идея левого или правого спина определенным образом связана с идеей верхнего или нижнего спина; каждую из этих возможностей можно рассматривать как суперпозицию двух других. Мы уже говорили, что чистые состояния с верхним и нижним спинами образуют базис для определения произвольного состояния кубита – любое квантовое состояние можно записать как суперпозицию двух этих чистых состояний. Однако чистые состояния с левым и правым спинами образуют другой, но тоже вполне хороший базис. Так что любое состояние кубита можно также разложить и по этому базису.
Рассмотрим эту картину с точки зрения векторов. Если изобразить плоскость и отложить верхний спин по оси абсцисс, а нижний спин – по оси ординат, то из приведенных выше соотношений мы увидим, что направления правого и левого спинов окажутся под углом в сорок пять градусов к этим осям. Любую волновую функцию можно разложить как по осям «вверх-вниз», так и по осям «вправо-влево». Одна система координат повернута относительно другой, однако обе эти системы прекрасно подходят, чтобы разложить по ним любой интересующий нас вектор.
Теперь понятно, откуда берется принцип неопределенности. Для единственного спина принцип неопределенности гласит, что состояние не может иметь определенного значения спина одновременно и в исходном базисе (вверх-вниз), и в повернутом базисе (вправо-влево). Именно это и показано на рисунке: если состояние соответствует чистому верхнему спину, то автоматически является некоторой комбинацией левого и правого спинов, и наоборот.
Как нет квантовых состояний, которые были бы одновременно локализованы по координате и импульсу, так нет и состояний, которые были бы одновременно локализованы по горизонтальному и вертикальному спинам. Принцип неопределенности отражает взаимосвязь того, что существует в реальности (квантовые состояния), и того, что мы можем измерить (одна наблюдаемая величина в каждый момент времени).
5Запутанные вдалиМногочастичные волновые функции
Научно-популярные описания дискуссий между Эйнштейном и Бором часто создают впечатление, будто Эйнштейн никак не мог уложить в голове принцип неопределенности, поэтому тратил время на изобретение хитрых способов его обойти. На самом деле в квантовой механике его смущала ее очевидная нелокальность – событие в одной точке пространства, казалось бы, может непосредственно влиять на эксперимент, который проводится очень далеко. Ему потребовалось некоторое время, чтобы облечь свои опасения в хорошо сформулированное возражение, и, занимаясь этим, он помог осветить одну из самых глубоких особенностей квантового мира: феномен запутанности.
Запутанность возникает, поскольку существует только одна волновая функция для всей Вселенной, а не отдельные волновые функции для каждого ее фрагмента. Откуда нам это известно? Почему не может быть отдельной волновой функции у каждой частицы или поля?
Рассмотрим эксперимент, в котором мы стреляем друг в друга двумя электронами, движущимися с одинаковой скоростью в противоположных направлениях. Поскольку заряд у обоих электронов отрицательный, они оттолкнутся друг от друга. В классической физике, зная исходные координаты и скорости электронов, мы могли бы в точности вычислить те направления, в которых они отскочат друг от друга. Но в квантовомеханическом контексте все, что мы можем – это рассчитать вероятность, с которой они могут наблюдаться на тех или иных траекториях после взаимодействия друг с другом. Волновая функция каждой частицы распределяется, условно говоря, сферическим образом, пока мы наконец не пронаблюдаем частицу и не зафиксируем конкретное направление, в котором она движется.
Если действительно провести этот эксперимент и посмотреть, в каких направлениях будут разлетаться электроны, то мы заметим кое-что важное. Поскольку изначально у электронов были равные скорости и противоположные направления движения, их суммарный импульс был нулевым. А поскольку импульс сохраняется, то и после взаимодействия их суммарный импульс должен быть равен нулю. Таким образом, хотя нам и может казаться, что каждый из электронов может двигаться в любом направлении, на самом деле, в каком бы направлении ни двигался один из них – другой будет двигаться в строго противоположном.
Если призадуматься, то это довольно забавно. Для первого электрона существует вероятность отскочить под разными углами, и для второго тоже. И если бы у каждого из них была отдельная волновая функция, то эти возможности были бы совершенно не связаны друг с другом. Можно было бы представить, что мы наблюдаем всего один из электронов и измеряем, в каком направлении он движется. Второй электрон остается нетронут. Откуда ему «знать», что он должен двигаться в направлении, противоположном первому, когда мы начнем его измерять?
На этот вопрос мы уже ответили. Дело в том, что электроны не имеют двух отдельных волновых функций: их поведение описывается единой волновой функцией Вселенной. В данном случае мы игнорируем всю остальную Вселенную, сосредоточившись только на этих двух электронах. Но мы не можем игнорировать один электрон, сосредоточившись лишь на другом: прогнозы, которые мы делаем для наблюдения за любым из двух электронов, могут кардинально меняться в зависимости от исхода наблюдения за вторым. Электроны находятся в состоянии запутанности друг с другом.
Волновая функция – это присваивание комплексного числа, амплитуды, любому возможному исходу наблюдения, и квадрат этой амплитуды равен вероятности того, что мы будем наблюдать данный результат, если сделаем такое измерение. Если речь идет о более чем одной частице, это означает, что мы присваиваем амплитуду каждому возможному результату наблюдения всех частиц одновременно. Например, если бы мы наблюдали их координаты, то волновую функцию Вселенной можно рассматривать как присвоение амплитуды каждой возможной комбинации координат всех частиц во Вселенной.
Напрашивается вопрос – а возможно ли визуализировать нечто подобное? Можно визуализировать простой случай, когда одиночная воображаемая частица перемещается всего в одном измерении. Допустим, это электрон, заключенный в тонком медном проводе: рисуем линию, которая соответствует возможным координатам этой частицы, и чертим график функции, представляющей амплитуду в каждой точке этой линии. (На самом деле мы жульничаем даже в этом простом примере, так как откладываем на графике вещественные числа, а не комплексные, но пусть будет так.) Для двух частиц, ограниченных таким же одномерным движением, можно начертить двумерную плоскость, в которой будут представлены координаты каждой из двух частиц, а затем сделать трехмерный контурный график для волновой функции. Обратите внимание: речь идет не о единственной частице в двумерном пространстве, а о двух частицах, каждая из которых находится в одномерном пространстве, так что волновая функция, определенная на двумерной плоскости, описывает координаты обеих частиц.
Поскольку скорость света конечна, а с момента Большого взрыва прошло конечное количество времени, мы можем видеть лишь ограниченную область космоса, которую называем «наблюдаемая Вселенная». В наблюдаемой Вселенной примерно 10