– Я это понимаю, – ответил отец. – Энтропия объективно существует, но мы можем определить и измерить ее лишь после того, как примем несколько допущений. Но меня это никогда особо не волновало – она же полезна! А вот в существовании многих миров я вовсе не уверен.
– Дойдем и до этого, но пока позволь мне развить эту аналогию. Подобно энтропии, феномен «мира» в эвереттовской квантовой механике – это обобщенная концепция, а не фундаментальная. Это полезное приближение, помогающее делать физические выводы. Отдельные ветви волновой функции не закладываются в теорию на уровне ее базовой архитектуры. Просто нам, людям, исключительно удобно представлять себе суперпозицию множества таких миров, а не считать квантовое состояние недифференцированной абстракцией.
Глаза отца немного расширились.
– Так, все еще хуже, чем я думал. Ты пытаешься сказать, что сама концепция «мира» – это не вполне определенное понятие в многомировой интерпретации.
– Ну, не менее определенное, чем энтропия. Будь мы с тобой демонами Лапласа из XIX века, знающими координаты и импульс каждой частицы во Вселенной, нам никогда не пришлось бы опускаться до такого грубого понятия, как «энтропия». Аналогично, если бы мы знали точную волновую функцию Вселенной, то никогда не стали бы говорить о «ветвях». Но и в обоих случаях мы с тобой – всего лишь ограниченные создания с ограниченной информацией, и потому обращение к этим высокоуровневым концепциям оказывается весьма кстати.
Алиса чувствовала, что отец теряет терпение.
– Объясни мне нормально, сколько там вообще миров, – сказал он. – Если ты не можешь этого сделать, то продажник из тебя неважный.
– Должно быть, это та самая честность в любой ситуации, которую ты прививал мне с детства, – ответила Алиса, пожав плечами, – но все зависит от того, как именно мы будем делить квантовое состояние на миры.
– Должен же быть какой-нибудь один правильный способ сделать это?
– Иногда! В простых ситуациях, где измерения дают явно дискретные результаты. Так, при измерении спина электрона можно смело сказать, что волновая функция ветвится надвое, а количество миров – что бы это понятие ни значило – удваивается. Но когда мы измеряем величину, которая в принципе непрерывна, например координату частицы, все уже не настолько очевидно. В таком случае мы можем определить суммарный вес, присваиваемый конкретному интервалу возможных значений, узнать квадрат волновой функции, но абсолютное количество веток узнать не можем. Это количество будет зависеть от того, насколько тонко мы решим поделить наше описание результата измерения, то есть в конечном счете оно зависит от нашего выбора. Мне очень нравится, как по этому поводу выразился Дэвид Уоллес: «Спрашивать, сколько всего миров – все равно что интересоваться, сколько впечатлений вы вчера получили или сколько сожалений было у раскаявшегося преступника. В обоих случаях уместно перечислить только самое важное, но вопрос “сколько?” неуместен».
Но ее собеседника это явно не удовлетворило. Немного подумав, отец ответил:
– Смотри, я здесь пытаюсь быть честным. Готов признать, что миры не фундаментальны, поэтому в их определении присутствует некоторое приближение. Но ты ведь можешь сказать мне, существует ли конечное количество миров или они по-настоящему бессчетны?
– Честный вопрос, – согласилась Алиса с некоторой неохотой. – К сожалению, ответа мы не знаем. Есть верхний предел количества миров, равный размеру гильбертова пространства – пространства всех возможных волновых функций.
– Но нам известно, что гильбертово пространство бесконечно велико, – заметил отец. – Оно бесконечномерно даже для единственной частицы, что уж говорить о квантовой теории поля. Поэтому звучит так, будто и количество миров бесконечно.
– Мы не уверены, конечно или бесконечно число измерений у гильбертова пространства в нашей конкретной Вселенной. Но нам известны некоторые системы, которым соответствуют гильбертовы пространства с конечным числом измерений. Например, у одного кубита спин может быть верхним или нижним, так что он соответствует двумерному гильбертову пространству. Если у нас есть N кубитов, то соответствующее им гильбертово пространство является 2N-мерным – размеры гильбертова пространства растут по экспоненте при увеличении количества частиц, которые мы в него включаем. Так, в чашке кофе примерно 1025 электронов, протонов и нейтронов, и спин каждого из них описывается кубитом. Значит, гильбертово пространство для чашки кофе – с учетом одних только спинов, координаты частиц мы в данном случае не рассматриваем – имеет размерность около.
– Излишне говорить, – продолжала Алиса, – что это безумно большое число. Единица с 1025 нулями, если записать в двоичной системе. Впрочем, ты бы все равно не успел сделать это – для записи такого числа времени нужно больше, чем существует вся наблюдаемая Вселенная.
– Но ты ведь явно жульничаешь, фактическое число гораздо больше, – ответил отец. – Ты считаешь спины, но у частиц есть и координаты в пространстве. И таких координат бесконечное множество. Вот почему гильбертово пространство для совокупности частиц бесконечномерно – количество измерений просто равно числу возможных результатов измерения.
– Верно. Хью Эверетт действительно считал, что любое квантовое измерение делит Вселенную на бесконечное количество миров, и его это вполне устраивало. Кажется, что бесконечность – это много, но в физике мы постоянно оперируем бесконечными величинами. Вещественных чисел от 0 до 1 бесконечно много, ты же знаешь. Если гильбертово пространство бесконечномерное, то не имеет особого смысла говорить о количестве отдельных миров. Но можно группировать похожие миры и говорить об их общем весе – квадрате амплитуды, – который они имеют в сравнении с другой группой.
– Отлично. Итак, гильбертово пространство бесконечномерное, но ты хочешь сказать, что следует говорить лишь об относительном весе различных видов миров?
– Сначала дослушай! – настаивала Алиса. – Реальный мир – это не набор частиц, и квантовая теория поля его тоже не описывает.
– Правда? – спросил отец с деланым отчаянием. – Чем же я тогда занимаюсь всю жизнь?
– Ты игнорируешь гравитацию, – ответила Алиса. – И это вполне разумно, когда речь идет о физике элементарных частиц. Но со стороны квантовой гравитации существуют признаки, позволяющие предположить, что количество различных возможных квантовых состояний конечно. Если это так, то существует максимальное количество миров, о которых разумно говорить, учитывая размерность гильбертова пространства. Есть расхожие оценки количества измерений гильбертова пространства в наблюдаемой части Вселенной, порядка. Большое число, но любое даже очень большое конечное число гораздо меньше бесконечности.
Ее отец, казалось, задумался.
– Хм… Откровенно говоря, не уверен, что мы знаем что-то о квантовой гравитации наверняка…
– Поэтому я и говорю, что мы на самом деле не знаем, конечно или бесконечно количество миров.
– Справедливо. Но тогда у нас новая проблема. Мне кажется, что ветвление должно происходить постоянно, всякий раз, когда квантовая система запутывается с окружающей средой. Можно ли предположить, что даже это ошеломительно большое число, которое ты только что назвала, недостаточно велико? Мы уверены, что в гильбертовом пространстве найдется место для всех веток волновой функции, возникающих во Вселенной по мере ее развития?
– Хм, честно говоря, никогда об этом не задумывалась. – Алиса взяла салфетку и стала набрасывать на ней какие-то числа. – Посмотрим, значит, в наблюдаемой части Вселенной где-то 1088 частиц, в основном это фотоны и нейтрино. По большей части они мирно путешествуют в пространстве, ни с чем не взаимодействуя и не запутываясь. Итак, с большим запасом предположим, что каждая частица во Вселенной ежесекундно участвует в миллионе взаимодействий, при каждом из которых волновая функция делится надвое, и это происходит с момента Большого взрыва, который наступил примерно 1018 секунд назад. Это 1088 × 106 × 1018 = 10112 разделений, общее число ветвей получается равно.
– Хорошо, – кажется, Алиса была очень довольна собой, – все равно большое число, но гораздо меньше, чем количество измерений в гильбертовом пространстве Вселенной. На самом деле несравнимо меньше. Поэтому можно смело завысить количество необходимых веток. Так что даже если у нас нет четкого представления о количестве веток, можно не беспокоиться, что гильбертово пространство переполнится.
– Ну хорошо, а то я немного заволновался. – Мартини приобрело приятную солоноватость от оливок. Отцу нравилось, насколько Алиса похожа на него. – Неужели ты никогда раньше не задавалась этим вопросом?
– Думаю, большинство эвереттианцев обучаются думать об относительных весах различных ветвей волновой функции, а не подсчитывать что-либо. Мы не знаем конечного ответа, поэтому кажется, что нет особого смысла об этом беспокоиться.
– Мне нужно какое-то время, чтобы это переварить. Я всегда думал, что предполагается существование бесконечного количества миров и что многомировая интерпретация подразумевает, что где-то может произойти что угодно, а в волновой функции присутствуют все возможные миры. Думал, что в этом и есть ее фишка. В моменты, когда я никак не мог сделать правильные расчеты, было приятно думать, что в каком-то другом мире я оказался тибетским ламой или гениальным миллиардером-филантропом, хозяином жизни.
– Подожди, разве нет? – Алиса изобразила удивление. – Мне всегда казалось, что ты немного похож на ламу.
– Раз уж на то пошло, в каком-то мире я должен был родиться ламой-миллиардером.
– Пока мы не сбились с темы, – продолжила она, – замечу, что ты был бы не ламой или миллиардером, а совершенно другим человеком. Уверена, мы еще вернемся к этому. Но, что более существенно для нашего разговора, многомировая интерпретация не утверждает, будто где-то происходит «все что угодно»: она утверждает, что «волновая функция эволюционирует согласно уравнению Шрёдингера». Некоторые события никогда не происходят, потому что уравнение Шрёдингера к ним н