теория струн, в которой частицы заменяются маленькими петлями или сегментами одномерной «струны». (Не спрашивайте, из чего состоят струны, – из того же, что и все остальное.) Сами струны невероятно малы, настолько, что при наблюдении на расстоянии кажутся нам точечными частицами.
Исходно теория струн была предложена, чтобы продвинуться в понимании сильного ядерного взаимодействия, но в этом она не помогла. Одна из проблем заключалась в том, что эта теория неизбежно прогнозирует существование частиц, которые выглядят и ведут себя в точности как гравитоны. Изначально этот момент казался раздражающим, но вскоре физики задумались: «Хм-м, гравитация же существует. Может быть, теория струн – это и есть квантовая теория гравитации?» Оказывается, это действительно так, более того, здесь имеется бонус: теория дает конечные прогнозы относительно всех физических величин, не требуя бесконечного количества входных параметров. Популярность теории струн взлетела в 1984 году, когда Майкл Грин и Джон Шварц продемонстрировали, что она математически непротиворечива.
Сегодня теория струн – это самый разрабатываемый подход к исследованию квантовой гравитации, далеко обходящий все прочие, хотя и у других идей есть свои приверженцы. Второй по популярности подход называется петлевая квантовая гравитация, которая начиналась с попыток напрямую проквантовать общую теорию относительности путем хитрого подбора переменных. В рамках этой теории мы не пытаемся рассмотреть кривизну пространства-времени в каждой его точке, а изучаем, как вращаются векторы при их движении по замкнутым петлям в пространстве. (Если пространство плоское, они вообще не вращаются, тогда как в искривленном пространстве они могут вращаться очень сильно.) Теория струн претендует на звание теории всех сил и материи сразу, тогда как петлевая квантовая гравитация нацелена конкретно на гравитацию. К сожалению, в этих теориях существуют препятствия, не позволяющие собирать экспериментальные данные, и они одинаково непреодолимы для всех альтернатив, поэтому в настоящее время мы не можем определить, какой из подходов правильный (и найден ли таковой вообще).
Тогда как теория струн достигла некоторых успехов в решении технических проблем квантовой гравитации, она практически не пролила света на проблемы концептуальные. Действительно, один из способов осмысления различных подходов, принятый среди исследователей квантовой гравитации, – поставить вопрос о том, как мы должны думать о концептуальной стороне вещей. Теоретик-струновик, по-видимому, считает, что если найти решение всех технических сложностей, то концептуальные проблемы в конце концов решатся сами собой. Все, кто думает иначе, могут предпочесть петлевую квантовую гравитацию или любой другой из альтернативных подходов. Когда данные не позволяют дать однозначного ответа, мнения превращаются в глубоко укоренившиеся догмы.
Теория струн, петлевая квантовая гравитация и другие идеи следуют общей логике: они стартуют с классических переменных, которые затем квантуются. В рамках того подхода, о котором мы говорим в этой книге, все должно быть немного иначе. Природа изначально квантовая, она описывается волновой функцией, которая эволюцонирует согласно соответствующей версии уравнения Шрёдингера. Такие феномены, как «пространство», «поля», «частицы», удобны при рассуждении о волновой функции в пределах классической физики. Мы не хотим начинать с частиц и полей, а затем квантовать их, мы собираемся извлечь их из исходно квантовой волновой функции.
Как найти «пространство» в волновой функции? Мы хотим найти в волновой функции черты, которыми она напоминает известное нам пространство, в частности такую составляющую, которая соответствовала бы метрике, помогающей определять расстояния. Итак, давайте подумаем, в каком виде расстояния представлены в обычной квантовой теории поля. Для простоты будем учитывать только расстояния в пространстве, а позднее поговорим о том, как в эту картину может вписываться время.
В квантовой теории поля есть один раздел, где расстояния фигурируют в самом очевидном виде, и об этом мы говорили в предыдущей главе: в пустом пространстве поля в различных его областях запутаны друг с другом, но чем дальше эти области расположены друг от друга, тем меньше между ними запутанность. Концепция «запутанности», в отличие от «пространства», всегда доступна нам в любой абстрактной квантовой волновой функции. Итак, возможно, здесь мы сможем найти точку опоры, рассмотрев структуру запутанности состояний и воспользовавшись ею для определения расстояний. В данном случае нам требуется количественная мера того, насколько запутанной является квантовая подсистема. К счастью, такая мера существует: это энтропия.
Джон фон Нейман продемонстрировал, как в рамках квантовой механики вводится понятие энтропии, которое существует параллельно с классической энтропией. Согласно объяснению Людвига Больцмана, мы исходим из набора составляющих, которые могут смешиваться друг с другом различным образом, – таковы, например, атомы и молекулы в жидкости. В таком случае энтропия – это способ подсчета количества способов, которыми можно упорядочить эти составляющие так, чтобы на макроуровне система внешне выглядела одинаково. Энтропия связана со степенью неведения: при рассмотрении состояний с высокой энтропией мы не так много можем сказать о микроскопических деталях системы, если судим о ней только по ее наблюдаемым макроскопическим свойствам.
Энтропия в трактовке фон Неймана сугубо квантовомеханическая по природе и возникает в результате запутанности. Рассмотрим квантовую систему, разделенную на две части. Это могут быть два электрона или два квантовых поля в разных областях пространства. Система в целом, как обычно, описывается волновой функцией. У нее есть вполне определенное квантовое состояние, даже если результаты измерений этой системы мы можем спрогнозировать только с некоторой вероятностью. Если две части этой системы запутаны, то для всей этой системы есть всего одна волновая функция, а не отдельная волновая функция для каждой из двух частей. Иными словами, части системы не находятся в определенных квантовых состояниях сами по себе.
Фон Нейман показал, что во многих отношениях факт отсутствия у запутанных подсистем собственных волновых функций аналогичен тому, как если бы у них были волновые функции, просто не известные нам. Квантовые подсистемы очень напоминают классическую ситуацию, допускающую множество разных состояний, которые на макроуровне выглядят одинаково. Причем такую неопределенность можно количественно выразить через величину, которая сегодня называется «энтропия запутанности». Чем выше энтропия квантовой подсистемы, тем сильнее эта подсистема запутана с внешним миром.
Вернемся к примеру с двумя кубитами, один из которых у Алисы, а другой у Боба. Вполне возможно, что они не запутаны, то есть у каждого кубита собственная волновая функция, соответствующая, например, равной суперпозиции верхнего и нижнего спинов. В данном случае энтропия запутанности у каждого кубита равна нулю. Даже если нам доступно лишь вероятностное прогнозирование результатов измерений, каждая из подсистем все равно остается в определенном квантовом состоянии.
Но представьте, что два кубита запутаны и находятся в равной суперпозиции состояний «оба спина верхние» и «оба спина нижние». У кубита Алисы нет собственной волновой функции, поскольку он запутан с кубитом Боба. Действительно, Боб мог бы измерить спин своего кубита и вызвать ветвление волновой функции так, чтобы кубит Алисы тоже раздвоился на два варианта, у каждого из которых – определенное состояние спина. Но ни одна из копий Алисы не знает, что это за состояние. Алиса оказывается в неведении и способна предсказать только то, что ее спин может с пятидесятипроцентной вероятностью оказаться верхним или нижним. Обратите внимание на тонкую разницу: Алисин кубит не находится в квантовой суперпозиции, где она не знает, каков будет результат измерения; он в таком состоянии, где при измерении в каждой из веток будет получен определенный результат измерения, но Алиса не будет знать, какое это состояние. Следовательно, мы считаем, что ее кубит обладает ненулевой энтропией. Идея фон Неймана заключалась в том, что мы должны приписать кубиту Алисы ненулевую энтропию даже до того, как Боб измерит свой, поскольку, в конце концов, она даже не знает, выполнит ли он измерение. Это и есть энтропия запутанности.
Рассмотрим, как энтропия запутанности проявляется в квантовой теории поля. Давайте ненадолго отвлечемся от гравитации и рассмотрим область пустого пространства в состоянии вакуума, обозначенную границей, которая отделяет внутреннюю область от внешней. Пустое пространство сильно текстурировано, в нем полно квантовых степеней свободы, каждую из которых можно считать колебательной модой полей. Эти моды внутри области будут запутаны с модами извне, поэтому с каждой областью связана своя энтропия, даже если общее состояние – это просто вакуум.
Мы даже можем вычислить, какова эта энтропия. Ответ: она бесконечна. Такое осложнение часто встречается в квантовой теории поля: оказывается, что на многие вопросы, очевидно важные с физической точки зрения, находятся только «бесконечные» ответы, поскольку существуют бесконечно разнообразные варианты возможных колебаний поля. Но, как и в случае с энергией вакуума в предыдущей главе, мы можем прибегнуть к обрезанию, то есть рассматривать моды, начиная лишь с некоторой минимальной длины волны. Результирующая энтропия получается конечной, и, оказывается, она пропорциональна площади той области, в границах которой она определяется. Несложно понять почему: колебания поля в одной области запутаны с колебаниями во всех прочих областях, но большая часть запутанности сосредоточена в близлежащих областях. Общая энтропия некоторой области пустого пространства зависит от величины запутанности между данной областью и другими, находящимися за ее пределами, а эта величина пропорциональна площади рассматриваемой области.