Это интригующее свойство квантовой теории поля. Выберите некоторую область в пустом пространстве, и окажется, что энтропия этой области будет пропорциональна площади ее границы. Это соотношение связывает геометрическую величину, то есть площадь области, с «материальной» величиной – с количеством энтропии внутри данной области. Все это отдаленно напоминает уравнение Эйнштейна, которое также связывает геометрию (кривизну пространства-времени) с «материальной» величиной (энергией). Есть ли здесь в самом деле какая-то связь?
Такая связь возможна, как отмечается в провокационной статье Теда Джекобсона, гениального физика из Мэрилендского университета. Эта статья вышла в 1995 году. В обычной квантовой теории поля, не учитывающей гравитацию, энтропия пропорциональна площади в состоянии вакуума, но в более высокоэнергетичных состояниях это правило может не соблюдаться. Джекобсон постулировал, что в гравитации есть что-то особенное: когда в расчеты включается гравитация, энтропия области всегда пропорциональна площади ее границы. Едва ли мы могли ожидать подобного от квантовой теории поля, но, возможно, как раз это и происходит, когда в игру вступает гравитация. Мы можем представить, что так оно и есть, и посмотреть, что в таком случае будет.
А будут настоящие чудеса. Джекобсон предположил, что площадь поверхности пропорциональна энтропии той области, которую она охватывает. Площадь – это геометрическая величина, невозможно рассчитать площадь поверхности, не обладая некоторыми знаниями о геометрии того пространства, к которому она относится. Джекобсон отметил, что можно соотнести площадь очень небольшой поверхности с той самой геометрической величиной, которая фигурирует в левой части уравнения Эйнштейна. Тем временем энтропия сообщает нам кое-что о «материи» в широком смысле: о том веществе, которым наполнено пространство-время. Концепция энтропии исходно возникла в рамках термодинамики, где соотносилась с количеством теплоты, которую теряет система. Теплота – это одна из форм энергии. Джекобсон утверждает, что эту энтропию можно напрямую соотнести с членом «энергия», расположенным в правой части уравнения Эйнштейна. С помощью таких маневров ему удалось вывести уравнение Эйнштейна для общей теории относительности, а не просто постулировать его, как это сделал Эйнштейн.
Чтобы сказать то же самое более прямо, рассмотрим небольшую область в плоском пространстве-времени. У нее есть определенная энтропия, поскольку моды внутри этой области запутаны с модами вовне. Теперь предположим, что мы немного изменим квантовое состояние, так чтобы степень запутанности рассматриваемой области с остальными снизилась и, следовательно, снизилась ее энтропия. В представлении Джекобсона, в ответ на это немного уменьшается и площадь области. И Джекобсон показывает, что такой отклик геометрии пространства-времени на изменения в квантовом состоянии эквивалентен эйнштейновскому уравнению общей теории относительности, которое связывает кривизну с энергией.
С этого начался всплеск интереса к так называемой энтропийной, или термодинамической, гравитации. Важные вклады в эти исследования были сделаны также Тхану Падманабаном (2009) и Эриком Верлинде (2010). Поведение пространства-времени в общей теории относительности можно рассматривать просто как естественную тенденцию систем стремиться к конфигурациям с более высокой энтропией.
Это весьма радикальная смена перспективы. Эйнштейн мыслил в терминах энергии, конкретной величины, связанной с определенными конфигурациями материи во Вселенной. Джекобсон и другие настаивают, что можно прийти к тем же выводам, размышляя об энтропии – совокупном феномене, возникающем в результате взаимодействия множества малых составляющих системы. Такая простая смена точки зрения может стать решающим шагом к открытию фундаментально квантовой теории гравитации.
Джекобсон не ставил своей целью предложить теорию квантовой гравитации, он предложил новый способ вывода эйнштейновского уравнения для классической общей теории относительности, где квантовые поля действуют как источник энергии. Такие термины, как «площадь» и «область пространства», наводят на мысль, что в вышеизложенной дискуссии пространство-время трактуется как осязаемый, классический феномен. Но учитывая центральную роль, которая отводится энтропии запутанности в его выводах, сам собой возникает вопрос, можно ли адаптировать базовые идеи Джекобсона к такому подходу, который изначально является более квантовым, где само пространство возникает из волновой функции.
В многомировой интерпретации волновая функция – лишь абстрактный вектор, живущий в гильбертовом пространстве, математической конструкции с очень высокой размерностью. Обычно волновые функции делаются так: берется классический феномен, а затем квантуется, в результате чего мы сразу получаем средство для описания того явления, которое должна представлять волновая функция, то есть базовые составляющие этой волновой функции. Но в данном случае мы не можем позволить себе такой роскоши. У нас есть только само состояние и уравнение Шрёдингера. Мы абстрактно рассуждаем о «степенях свободы», но они не являются квантованной версией какой-либо очевидной классической величины. Они – квантовомеханические сущности, из которых проявляется и пространство-время, и все остальное. Джон Уилер любил говорить о «бытии из бита» («It from Bit»), предполагая, что физический мир (каким-то образом) возник из информации. Сегодня, когда пристальное внимание уделяется запутанности квантовых степеней свободы, принято говорить о «бытии из кубита» (It from Qubit).
Вновь обратимся к уравнению Шрёдингера и отметим, что, согласно этому уравнению, скорость изменения волновой функции во времени зависит от гамильтониана. Как вы помните, гамильтониан позволяет описать, сколько энергии содержится в системе, а также компактно выразить всю ее динамику. Стандартная черта гамильтониана в реальных условиях заключается в его динамической локальности – подсистемы взаимодействуют только с теми подсистемами, которые расположены поблизости, а не с теми, что находятся далеко. Взаимодействия могут распространяться в пространстве, но не быстрее скорости света. Итак, любое событие, происходящее в некоторый момент времени, воздействует только на то, что находится поблизости.
Учитывая, какую задачу мы перед собой поставили – определить, как из абстрактной квантовой волновой функции возникает пространство, – мы не можем позволить себе начать с отдельных частей и разобраться в их взаимодействиях. Мы знаем, что означает «время» в данном контексте – оно, кстати, присутствует в уравнении Шрёдингера и обозначено буквой t, – но у нас нет частиц, или полей, или даже координат в трехмерном мире. Мы словно оказались в безвоздушном пространстве, и нам нужно найти кислород как и где угодно.
К счастью, именно в данном случае обратное проектирование работает весьма хорошо. Мы не будем начинать с отдельных компонентов системы и выяснять, как они взаимодействуют, а пойдем другим путем. Имея целостную систему (абстрактную волновую функцию) и ее гамильтониан, можем ли мы каким-либо разумным способом разложить ее на подсистемы? Все равно как если бы вы всю жизнь покупали нарезанный хлеб, а затем вам дали целую буханку. Можно представить множество способов ее нарезать, но есть ли среди них один, который явно лучше всех?
Да, есть, если мы считаем, что локальность – важное свойство окружающего мира. Можно решать эту задачу бит за битом, или кубит за кубитом, в любом темпе.
В общем виде квантовое состояние можно рассматривать как суперпозицию множества базисных состояний с определенной фиксированной энергией. (Точно так же, как произвольное спиновое состояние электрона можно рассматривать как суперпозицию электрона, который определенно имеет спин вверх, и электрона, который определенно имеет спин вниз.) Гамильтониан говорит нам, каково будет точное значение энергии для каждого возможного состояния с определенным значением энергии. Имея такой список всех возможных значений энергий, можно задать вопрос, подразумевает ли какой-то конкретный способ разделения волновой функции на подсистемы, что эти подсистемы взаимодействуют «локально».
Фактически при наличии случайного списка энергий мы не найдем способа разделить волновую функцию на локальные подсистемы, но при наличии подходящего гамильтониана такой способ будет ровно один. Требование, чтобы физика выглядела локально, подсказывает нам правильную совокупность степеней свободы, по которым можно разложить нашу квантовую систему.
Иными словами, нам не приходится начинать с набора фундаментальных первокирпичиков реальности, а потом складывать из них мир. Можно начать с мира и задать вопрос, существует ли способ, позволяющий представить мир в виде совокупности фундаментальных первокирпичиков. При наличии подходящего гамильтониана такой способ будет, и все имеющиеся у нас данные о мире, наше восприятие мира – все это подсказывает, что подходящий нам гамильтониан действительно существует. Легко вообразить возможные миры, где законы физики были бы совершенно не локальными. Но сложно представить, какова была бы жизнь в таком мире или была бы она в принципе возможна, ведь локальность физических взаимодействий помогает навести во Вселенной порядок.
Возможно, перед нами постепенно начинает вырисовываться, как из волновой функции проявляется пространство. Когда мы говорим, что существует уникальный способ разделить нашу систему на степени свободы, которые локально взаимодействуют с соседними, мы на самом деле имеем в виду исключительно то, что каждая из степеней свободы взаимодействует лишь с небольшим количеством других степеней свободы. Понятия «локальный» и «ближайший» не навязаны нам исходно – они обусловлены тем, что эти взаимодействия очень особенные. Правильно говорить не о том, что «степени свободы взаимодействуют, только когда находятся поблизости друг от друга», а что «мы