Можно продемонстрировать, как работает принцип Ферма, показав, как свет путешествует из источника в определенном направлении по всем возможным траекториям. Каждая световая волна имеет фазу, этот термин относится к величине запаздывания в волновом цикле. Если у двух волн одна фаза, их пики и впадины идеально совпадают, если они расходятся на 180 градусов, то пики одной волны совпадают с впадинами другой. Если фазы отличаются на другую величину, то пики и впадины не совпадают и не чередуются, напоминая нечто вроде застежки-молнии с несинхронно расположенными зубцами.
Световые волны, двигающиеся практически одинаковыми маршрутами, обычно мало отличаются по фазе. Если, с другой стороны, две световые волны выбирают разные пути, то временная задержка часто приводит к значительной фазовой разнице. Следовательно, близость траекторий является простейшим способом гарантировать минимальную разность фаз.
Отличие между сходными и разными путями проявляется в процессе интерференции: наложения волн таким образом, что возникает одна-единственная волна. Волны без сдвига фаз, или с малым сдвигом, демонстрируют конструктивную интерференцию, пики и впадины накладываются и формируют более мощную волну. Другая ситуация при разности фаз, близкой к 180 градусам: тут происходит деструктивная интерференция, пики и впадины гасят друг друга, и получается более плоская волна.
Таким образом, две волны, идущие схожими маршрутами, должны интерферировать конструктивно. Волны, идущие различными путями, могут в разной степени отличаться по фазе, поэтому и взаимодействуют они по одному из многочисленных шаблонов, большей частью деструктивных.
Теперь разберемся, где в дело вступает принцип Ферма.
Рассмотрим интерференцию всех волн, представляющих все возможные пути от источника к точке назначения. Те волны, чьи маршруты требуют наименьшего количества времени, почти совпадают по фазе. Следовательно, они интерферируют конструктивно, и результатом становится волна с большей амплитудой (высотой пиков и глубиной провалов). Другие волны, наоборот, гасят друг друга из-за разности фаз, формируют более плоские профили.
Таким образом, путь с наименьшим временем становится наиболее заметным, и мы видим его как луч света.
В классической механике объектам не всегда требуется наименьшее время и/или кратчайший путь, чтобы путешествовать из одной точки в другую. Вы бы удивились, если бы бросили баскетбольный мяч и увидели, что он отправился к кольцу по прямой линии. Подобный объект будет следовать по определенной кривой, по параболе, и здесь придется использовать другой физический принцип, принцип наименьшего действия, чтобы объяснить его поведение.
Действие – это особенная величина, определяемая умножением единиц энергии на время. В отличие от таких переменных как позиция или скорость, которые отличаются от точки к точке и от момента к моменту, она определяется для траектории в целом, от одного события в пространстве и времени до другого.
Действие связано с другой величиной, именуемой «лагранжиан», которая представляет собой разницу между кинетической энергией (энергией движения) и потенциальной энергией (энергией положения) для определенного объекта или набора объектов. Вкратце говоря, действие – это интеграл (сумма) значений лагранжиана для каждого момента времени вдоль определенной траектории.
Когда вы бросаете баскетбольный мяч, например, и тот взлетает в воздух, его кинетическая энергия трансформируется в потенциальную, а значение лагранжиана уменьшается. Когда мяч падает к кольцу, потенциальная энергия превращается в кинетическую, а значение лагранжиана растет. Умножим значения лагранжиана для каждого момента времени на бесконечно малый временной интервал, сложим эти значения, используя интегральное исчисление, и получим значение действия для данной траектории.
Ирландский математик Уильям Гамильтон предложил принцип наименьшего действия. В соответствии с ним объект выбирает траекторию, которая оптимизирует (минимизирует или максимизирует) действие. Обычно минимизирует. Следовательно, если вы рассчитаете действие для каждого возможного пути, которым может двинуться баскетбольный мяч, то наименьшая величина определит настоящую траекторию.
С математической точки зрения высчитывание действий для всех возможных путей и минимизация действия реализуется как набор соотношений, именуемых уравнениями Лагранжа. Они описывают то, как на самом деле движется тело, и в случае с баскетбольным мячом определяют параболическую кривую от рук к кольцу.
Принцип наименьшего действия удивителен тем, что он перестраивает классическую физику на интуитивном базисе. Все во вселенной пытается найти оптимальный путь от старта к финишу, и в этом соревновании побеждают и выживают наиболее выгодные траектории.
Подобно отметкам в школьном дневнике, отражающим плохое или хорошее поведение, действие представляет количественно эффективность каждого пути, выделяя тот, который окажется в данном случае лучшим.
А лучшим оказывается та траектория, которой следует объект в физической реальности.
Возлияния и вдохновение
У Фейнмана было немало озарений по поводу того, как приложить квантовые методы к теории поглощения, но ему приходилось много работать, чтобы создать нужный математический инструментарий. Никакая из существующих техник не могла связать разделенные расстоянием объекты, непосредственно влияющие друг на друга. Чаще и чаще в усталый мозг приходили мысли о том, что нужен всецело новый подход. Ричард понимал, что ему придется начать с нуля и неким образом перестроить квантовую физику, используя принцип наименьшего действия… но как?
На шикарной Палмер-сквер, расположенной через Нассау-стрит от кампуса, располагалось одно из самых известных заведений Принстона, «Нассау Таверн» (сейчас «Нассау Инн»). Сделав перерыв в занятиях, Фейнман решил посетить устроенную там пивную вечеринку. И очень удачно, ведь именно там он встретил человека, который помог ему поставить на место последний кусок квантовой головоломки.
Герберт Йеле, физик из Германии, познакомился с Ричардом на вечеринке и осведомился, над чем тот работает. Йеле только что сбежал из печально известного концлагеря Гюрс во Франции, куда нацисты поместили ученого за пацифизм и антифашистские взгляды. Едва прибыв в США, он сразу отправился в Принстон.
Фейнман рассказал, чем занят, Йеле задумался и вспомнил ключевую статью Дирака «Лагранжиан в квантовой механике»29, опубликованную в 1933 году. Статью не слишком хорошо знали (по меньшей мере, в Америке) в то время, поскольку она появилась не в самом известном журнале Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion.
В этой работе Дирак продемонстрировал, как переход между двумя квантовыми состояниями может быть описан с помощью произведения специальных математических множителей, именуемых «обобщенными преобразующими функциями», которые зависят от действия, связанного с лагранжианом. Вспомним, что лагранжиан определен разницей между кинетической и потенциальной энергией в каждой точке пространства. Эти энергии зависят от динамических переменных (положение и импульс).
Обобщенные преобразующие функции конвертируют действие в факторы, которые при умножении постепенно превращают начальное квантовое состояние в конечное через цепь последовательных этапов. Достижение такого результата соотносится с разрезанием любого квантового процесса на крошечные трансформации, что-то наподобие разделения кинопленки на отдельные снимки.
Хотя этот метод большей частью технический, мы можем проиллюстрировать его ключевую идею с помощью аналогии. Давайте представим квантовый процесс как ряды костяшек домино, и то, как они расставлены на неровной поверхности, определяет квантовое состояние и динамические переменные. И как только динамические переменные запускают обобщенные преобразующие функции, которые постепенно конвертируют квантовые состояния из одного в другое по определенной траектории, мы можем вообразить, что неровность рельефа произведет каскад падающих плашек, опрокидывающих одна другую последовательно по конкретному курсу.
Шансы на то, что каждая костяшка упадет, определенным образом соотносятся с тем, где именно она стоит. Схожим образом динамические переменные квантового состояния в некоей точке во времени устанавливают шансы его «опрокидывания» определенным образом, чтобы сформировать следующее состояние, и так далее, ведя тем самым к ряби квантовых трансформаций от старта к финишу.
Много-много дорог
Фейнман ухватился за предложение Йеле и, вооружившись им, устремился к долгожданной цели. В статье Дирака он увидел, что методы с использованием лагранжиана идеальны для квантования разработанной ими с Уилером теории поглощения. Формулируя гипотезу в терминах принципа наименьшего действия и определяя классическую траекторию как путь наименьшего действия, он мог очертить его как набор квантовых вероятностей.
В нашей аналогии это подобно демонстрации линии, вдоль которой больше всего упавших костяшек – связанной с наиболее вероятным путем из классической физики – окруженной множеством других траекторий, не так загроможденных в силу того, что они менее вероятны. Другими словами, в то время как конкретный ландшафт порождает тенденцию для домино падать определенным образом, формируя наиболее вероятный путь, по которому пойдет процесс, шансы на то, что он отклонится в сторону, тоже есть. Классическая траектория в любом случае является предпочитаемой, но Фейнман придумал как показать, что она не более чем пик на холме квантовых альтернатив. Подобным образом он смог встроить фундаментальную неопределенность квантовой физики в теорию поглощения.
Как понял Фейнман, квантовая неопределенность предписывает то, что взаимодействия не могут быть сведены к одной-единственной траектории, подобное сведение выглядит попыткой пропустить грозовое облако через провод. Квантовые позиции аморфны подобно облакам, и все же иногда бьют молнии, освещая наиболее эффективный путь для прохождения заряда.