x = с, y = e, c и e равны нулю.
Как говорит Лейбниц на своем языке, и то и другое – ничто, но не абсолютно, а относительно. То есть это такие ничто, которые сохраняют различие в отношениях. Следовательно, c остается равным e, так как оно остается пропорциональным x, а x не равно y.
Таково обоснование старого дифференциального исчисления, и интерес этого текста состоит в том, что здесь дано обоснование посредством простой, или обыкновенной, алгебры. Это обоснование совершенно не ставит под сомнение специфичность дифференциального исчисления.
Я читаю этот прекрасный текст: «Итак, в данном случае будет x – c = x. Предположим, что этот случай подчиняется общему правилу; тем не менее c и e не будут ничто в абсолютном смысле, потому что они вместе сохраняют отношение cx : xy, или отношение между целым синусом или лучом и касательной, которая касается угла в точке c, и угол этот, как мы предположили, всегда остается одним и тем же. Ибо если бы c и e были ничто в абсолютном смысле, в этом исчислении, в случае совпадения точек c, e и a, так как все ничто равны друг другу, то c и e были бы равны друг другу, а уравнение, или аналогия, x = c, имело бы вид x = 0 = 1. А y = e имело бы вид y = 0. А это все равно что сказать x = y, что было бы нелепостью».
«Итак, в алгебраическом исчислении мы находим следы трансцендентного исчисления различий (то есть дифференциальное исчисление), и сами его сингулярности, в каких некоторые ученые сомневаются, и даже алгебраическое исчисление не могли бы обойтись без этого, так как здесь сохраняются все преимущества, и одно из наиболее значительных – общий характер этого исчисления, дабы оно могло охватывать все случаи».
Точно так же я могу считать, что состояние покоя есть бесконечно малое движение или что круг есть предел бесконечного ряда многоугольников, количество сторон которых до бесконечности увеличивается. Что является сравнимым во всех этих примерах? Необходимо рассмотреть случай, где имеется один-единственный треугольник, как крайний случай двух подобных треугольников, у которых противостоят вершины. Здесь вы почувствуете, что, может быть, мы движемся к тому, чтобы наделить «виртуальное» искомым смыслом. Я мог бы сказать, что в случае с моей второй фигурой, где имеется лишь один треугольник, другой треугольник присутствует, но лишь виртуально. Он присутствует виртуально, потому что a виртуально содержит e и c, отличные от a. Почему же e и c остаются отличными от a, если они уже не существуют? e и c остаются отличными от a, когда они не существуют, потому что они входят в отношение – а оно-то продолжает существовать, когда его члены исчезли! Точно на том же основании покой будет рассматриваться как частный случай движения, а именно – как бесконечно малое движение. Относительно моей второй фигуры,xy, я бы сказал, что треугольник CEA отнюдь не исчез в обычном смысле слова, однако надо сказать, что теперь его невозможно построить, и все-таки он является вполне детерминированным, так как в этом случае с = 0, e = 0, но а не равно нулю.
c – это совершенно детерминированное отношение, равное x. Стало быть, оно является детерминируемым и детерминированным, но назначить его невозможно. Точно так же покой есть совершенно детерминированное движение, но назначить это движение невозможно; точно так же круг есть многоугольник, который невозможно задать, но все-таки вполне детерминированный. Вы видите, что означает «виртуальное». Виртуальное теперь отнюдь не означает «неопределенное» – и сюда можно привлечь все тексты Лейбница. Ни слова не говоря, он проделал дьявольскую операцию – это его право, – он дал слову «виртуальное» новое значение, вполне неукоснительное, но не сказал об этом ни слова. Он скажет об этом в других текстах: «виртуальное» теперь не означает «стремящееся к неопределенному», это означает «не назначаемое (inassignable){ То есть «не допускающее точного определения».}, но все-таки детерминированное». Эта концепция виртуального сразу и очень новая, и очень строгая. Еще надо было бы иметь технику и понятия, чтобы наделить смыслом выражение, поначалу слегка таинственное: не назначаемое, но все-таки детерминированное. Оно не назначаемо, так как c стало равным нулю и так как e стало равным нулю. Но все-таки оно вполне детерминировано, так как, хотя c включает в себя нуль, оно не равно ни нулю, ни единице, оно равно x. e включает в себя нуль и равно y.
Кроме того, Лейбниц был поистине гений преподавания. Ему удалось объяснить тем, кто имел дело только с элементарной алгеброй, что такое дифференциальное исчисление. Он не предполагает никакого понятия дифференциального исчисления.
Что касается идеи о том, что в мире существует непрерывность, то мне кажется, что слишком многие комментаторы Лейбница превращают ее в теологическую – больше, чем этого требует Лейбниц: они довольствуются утверждением о том, что бесконечный анализ – это анализ, проведенный в разуме Бога, и это верно, если брать букву текстов; но оказывается, что в дифференциальном исчислении перед нами прием, не приравнивающий нас к разуму Бога; это, разумеется, невозможно, но дифференциальное исчисление дает нам прием, чтобы мы могли осуществить весьма обоснованное приближение к тому, что происходит в разуме Бога, и приблизиться к этому мы могли бы благодаря вот этой символике дифференциального исчисления; ведь, в конце концов, Бог тоже оперирует символикой, правда другой. Итак, это приближение к непрерывности состоит в том, что максимум непрерывности обеспечивается, когда некий случай задан, а крайний, или противоположный, случай может с известной точки зрения считаться включенным в случай, определенный вначале.
Вы определяете движение, ну и ладно; вы определяете многоугольник, ну и ладно! – вы все равно рассматриваете крайний, или противоположный, случай – покой, или круг, лишенный углов. Непрерывность – это установление пути, согласно которому «внешний» случай: покой как противоположность движению, круг как противоположность многоугольнику – можно считать включенным в понятие случая внутреннего. Непрерывность существует, если внешний случай может рассматриваться как включенный в понятие случая внутреннего.
Лейбниц только что показал почему. Вы найдете формулу предикации: предикат включен в субъект.
Поймите хорошенько. Я называю «обобщенным внутренним случаем» концепт движения, включающего все движения. По отношению к этому первому случаю я называю «внешним случаем» покой, или же круг по отношению ко всем многоугольникам, или же один-единственный треугольник по отношению ко всем комбинированным тре угольникам. Я задаюсь целью построить понятие, которое включает всю дифференциальную символику; понятие, которое соответствует обобщенному внутреннему случаю, но, тем не менее, включает и внешний случай. Если мне это удастся, я смогу сказать, что, по всей вероятности, покой – это бесконечно малое движение, совершенно так же, как я говорю, что мой единственный треугольник представляет собой оппозицию между двумя подобными треугольниками с противостоящими вершинами, просто один из двух треугольников стал не назначаемым (inassignable). Вот в этот момент существует непрерывность от много угольника к кругу, существует непрерывность от покоя к движению, существует непрерывность двух подобных треугольников, противопоставленных вершиной – одному-единственному треугольнику.
В середине XIX века величайший математик, которого звали Понселе, создаст проективную геометрию в более современном смысле – совершенно лейбницианском. Вся проективная геометрия зиждется на том, что Понселе называл просто-напросто аксиомой непрерывности: если вы возьмете дугу окружности, отсеченную в двух точках прямой; если вы проведете прямую, то наступит момент, когда она будет касаться дуги окружности лишь в одной точке, а как только она выйдет из круга, она больше не будет касаться дуги ни в одной точке. Аксиома непрерывности Понселе говорит о возможности рассматривать случай с касательной как крайний, то есть считать, что одна из точек не исчезает, что обе точки всегда присутствуют, но виртуально. Когда происходит то, что мы рассматриваем, то две точки не исчезли, они всегда присутствуют, но виртуально. Это аксиома непрерывности, позволяющая построить целую систему проекции, так называемую проективную систему. Математика сохранит ее полностью – это грандиозная техника.
Во всем этом есть какая-то комичная бесшабашность, но это нисколько не стесняет Лейбница. Здесь тоже комментаторы ведут себя весьма любопытно. С самого начала они топчутся в области, где речь идет о том, чтобы показать, что истины существования – это не то же самое, что и сущностные, или математические, истины. Чтобы показать это – но ведь одна из весьма обобщенных и гениальных пропозиций Лейбница такова: разум Бога, бесконечный анализ, – и тогда что такое все это? И наконец, когда речь заходит о том, чтобы показать, в чем истины существования несводимы к математическим истинам, когда речь заходит о том, чтобы показать это конкретно, все, что Лейбниц говорит убедительного, сводится к математике. Забавно, не так ли?
Какой-нибудь «записной отрицатель» скажет Лейбницу: ты объявляешь нам, что говоришь о несводимости истин существования, а несводимость эту ты можешь определить конкретно, лишь используя сугубо математические понятия… И что ответил бы Лейбниц? «Во всевозможных текстах меня всегда заставляли говорить, что дифференциальное исчисление обозначает некую реальность. Я никогда не утверждал этого, – отвечает Лейбниц, – дифференциальное исчисление есть хорошо обоснованная условность». Лейбниц придает колоссальное значение тому, что дифференциальное исчисление лишь символическая система, она не «вычерчивает» никакой реальности, она обозначает способ отношения к реальности. А хорошо обоснованная условность – что такое? Не по отношению к реальности это условность, а по отношению к математике. Здесь нет никакого противоречия. Дифференциальное исчисление есть нечто символическое, но по отношению к математической реальности, а отнюдь не по отношению к реальной реальности. А вот по отношению к математической реальности система дифференциального исчисления есть вымысел. Лейбниц также употребляет словосочетание «хорошо обоснованный вымысел». Это вымысел, хорошо обоснованный по отношению к реальности математики. Иными словами, дифференциальное исчисление использует концепты, которые не могут обосновываться как с точки зрения классической алгебры, так и с точки зрения арифметики. Это очевидно. Величины, которые представляют собой ничто и которые равны нулю, суть арифметический нонсенс; тут нет ни арифметической, ни алгебраической реальности, это вымысел. Итак, на мой взгляд, Лейбниц отнюдь не имеет в виду того, что дифференциальное исчисление не обозначает ничего реального; он имеет в виду, что дифференциальное исчисление несводимо к математической реальности. Стало быть, в этом смысле перед нами вымысел, но, как раз потому, что это вымысел, Лейбниц может заставить нас помыслить существование этого. Иными словами, дифференциальное исчисление есть своего рода союз математики и существующего, то есть это символика существующего. И как раз потому, что это – хорошо обоснованный вымысел по отношению к математической истине, это еще и основополагающее и реальное средство исследования реально существующего. Вы, стало быть, видите, что означает «исчезающее», «исчезающее различие»: это отношение, которое продолжает существовать, когда исчезли члены отношения. Отношение