Лекции о Лейбнице. 1980, 1986/87 — страница 13 из 76

c, когда c исчезло, то есть совпало с a. Итак, вы построили некую непрерывность с помощью дифференциального исчисления. Лейбниц с полным на то основанием настаивает: поймите, что в разуме Бога между предикатом «грешник» и понятием «Адам» действительно есть непрерывность. Непрерывность существует благодаря исчезающему различию – исчезающему до такой степени, что, когда Бог творит мир, он только и делает, что рассчитывает! И какое исчисление он использует? Очевидно, не математическое… В этом вопросе Лейбниц «плавает» между двумя объяснениями. Итак, Бог творит мир, исчисляя. Бог исчисляет, мир творится. Идею бога-игрока мы находим повсюду. Мы всегда можем сказать, что Бог сотворил мир играючи, но ведь весь мир об этом и говорит. Это неинтересно. Однако игры друг на друга не похожи. Существует текст Гераклита, [где] речь идет об играющем ребенке, который поистине создает мир. Он играет, но во что? Во что играют греки и дети греков? Разные переводы предлагают разные игры. Но Лейбниц этого не говорит: когда он объясняется по поводу игры, то дает два объяснения. В проблемах заполнения{ Буквально «мощения» (pavage).}, владея проблемами математики и архитектуры: если дана поверхность, то какая фигура ее заполнит лучше других? И вот более сложная проблема: если вы берете прямоугольную поверхность и хотите заполнить ее окружностями, то вы не заполните ее до конца. А квадратами вы ее заполните до конца? Это зависит от их размера. А прямоугольниками? Равными или неравными? И потом, если вы предполагаете две фигуры, то какие из них сочетаются между собой, чтобы полностью заполнить пространство? Если вы хотите заполнять пространство окружностями, то какой другой фигурой вы заполните пустоту? Или же предпочтете всего не заполнять… Вы видите, что это крепко связано с проблемой непрерывности. Если вы решите всего не заполнять, то в каких случаях и при помощи каких фигур вы достигнете заполнения возможного максимума? Здесь задействуются несоизмеримые величины, здесь задействуются величины несравнимые – это вдохновляет Лейбница. Когда Лейбниц говорит, что Бог вызывает к существованию и избирает лучший из возможных миров (это мы уже видели), то мы опережаем Лейбница, прежде чем он это скажет: вот вам лучший из возможных миров, вот вам кризис лейбницианства, вот вам общераспространенное антилейбницианство XVIII века: они не поддержали историю возможных миров.

Он был прав, Вольтер, к этой философии можно отнестись с той взыскательностью, какой Лейбниц, очевидно, не удовлетворяет – особенно с точки зрения политики.{ Как известно, Вольтер злобно высмеял идею Лейбница о наилучшем из миров в своей философской повести «Кандид».} И поэтому Вольтер не смог простить Лейбница. Но если мы проникнемся благочестием, то что же имел в виду Лейбниц, утверждая, что существующий мир есть лучший из возможных? Очень простую вещь: поскольку существует множество возможных миров и они всего лишь несовместимы друг с другом, то Бог выбирает лучший, а лучший мир не тот, где меньше всего страдают! Рационалистический оптимизм в то же время проникнут безграничной жестокостью: это отнюдь не тот мир, где не страдают, это мир, в котором реализуется максимальное количество кругов! Если я осмелюсь употребить бесчеловечную метафору, то очевидно, что круг страдает, когда он становится всего лишь аффектом многоугольника. А когда покой становится всего лишь аффектом движения, то вообразите страдание покоя… Итак, это лучший из миров, потому что в нем реализуется максимум непрерывности. Другие миры были возможными, но в них реализовалось бы меньше непрерывности. Этот мир самый прекрасный и гармоничный единственно в силу вот такой безжалостной фразы: потому что в нем осуществляется максимум возможной непрерывности. Если же это происходит ценой вашей плоти и крови, – ерунда. Поскольку Бог не только справедлив, то есть стремится к максимуму непрерывности, но к тому же еще и кокетничает, он хочет варьировать свой мир. И тогда Бог скрывает эту непрерывность. Он вычерчивает некий сегмент, который должен был бы быть в отношениях непрерывности к предыдущему, но прячет этот сегмент неизвестно куда, чтобы скрыть свои неисповедимые пути. Уж для нас-то нет возможности обнаружить его! Ведь этот мир творится у нас за спиной. И вот, очевидно, XVIII век обходится со всей этой историей Лейбница не слишком хорошо. Вы видите, каковы законы заполнения: лучший из миров будет тем, где фигуры и формы заполнят максимум пространства-времени, оставив минимум пустоты. А вот второе объяснение Лейбница, и тут он выглядит еще сильнее: шахматная игра. Так что получается, что между фразой Гераклита, где содержится намек на какую-то греческую игру, и Лейбницем, который намекает на шахматную игру, существует большая разница, и проявляется она в тот самый момент, когда обобщенная формула «Бог играет» могла бы внушить веру, что эта игра есть своего рода блаженство. Как Лейбниц понимает шахматную игру: шахматная доска – это пространство; фигуры – это понятия. Каков лучший ход в шахматах или какова лучшая совокупность ходов? Лучший ход или совокупность ходов – такие, которые способствуют тому, чтобы при определенном количестве и определенной ценности фигур они заняли максимальное пространство, максимум всего пространства шахматной доски. Ваши фигуры следует поставить так, чтобы они распоряжались максимальным пространством.

Почему это всего лишь метафоры? Здесь перед нами та же разновидность принципа непрерывности: максимум непрерывности. А вот что не получается как в метафоре шахматной игры, так и в метафоре заполнения? Дело в том, что в обоих случаях вы ссылаетесь на некое вместилище. Мы показываем ситуацию так, как если бы возможные миры соперничали между собой за то, чтобы воплотиться в определенном вместилище. В случае с заполнением это поверхность заполнения; в случае с шахматной игрой это шахматная доска. Однако в условиях сотворения мира нет предварительно данного вместилища!

Стало быть, надо сказать, что мир, который доходит до существования, – это тот мир, который реализует в себе самом максимум непрерывности, то есть содержит наибольшее количество реальности или сущности. Я бы не сказал «существования», так как существовать будет мир, содержащий наибольшее количество не существования, но сущности в виде непрерывности. Непрерывность – это на самом деле и есть средство, способствующее содержанию максимального количества реальности.

Итак, философия – это прекраснейшее зрелище. В этой лекции я ответил на вопрос, что такое бесконечный анализ. Я еще не ответил на вопрос, что такое совозможность. Вот так.

Лекция 3

(29.04.1980)

Сегодня мы должны рассмотреть вещи забавные, способствующие отдыху, но также и весьма тонкие.

Ответ на вопрос о дифференциальном исчислении: мне кажется, невозможно сказать, что в конце XVII века и в XVIII веке существуют люди, для которых дифференциальное исчисление представляет собой искусственный прием, и люди, для которых дифференциальное исчисление есть нечто реальное. Мы не можем сказать этого, потому что разрыв проходит не здесь. Лейбниц никогда не переставал говорить, что дифференциальное исчисление – это всего лишь прием, символическая система. Стало быть, по этому вопросу никаких разногласий нет. Разногласия начинаются в понимании того, что такое символическая система, но в том, что касается несводимости дифференциальных знаков ни к какой математической реальности, то есть к реальности геометрической, арифметической и алгебраической, существует всеобщее согласие. Расхождение появляется вот где: там, где одни полагают, что дифференциальное исчисление – это всего лишь условность, и условность очень хитрая, а другие считают, что, наоборот, его искусственный характер по отношению к математической реальности позволяет ему быть в некоторых аспектах адекватным по отношению к реальности физической. Лейбниц никогда не считал, что его анализ бесконечно малых, его дифференциальное исчисление в том виде, как он их задумал, достаточны для того, чтобы исчерпать область бесконечного в том виде, как он, Лейбниц, ее понимал. Возьмем, например, исчисление. Существует то, что Лейбниц называет исчислением минимума и максимума, которое совершенно не зависит от дифференциального исчисления. Стало быть, дифференциальное исчисление соответствует известному порядку бесконечного. Верно, что ни одно качественное бесконечное не может быть уловлено дифференциальным исчислением, однако Лейбниц настолько осознает это, что он устанавливает другие разновидности исчисления, соотносящиеся с другими порядками бесконечного. Это направление анализа качественного бесконечного, или даже, попросту говоря, актуального бесконечного, закрыл отнюдь не Лейбниц. Закрыла этот путь кантовская революция; именно кантовская революция навязала известную концепцию неопределенного и занялась наиболее безусловной критикой актуального бесконечного. Этим мы обязаны Канту, а вовсе не Лейбницу.

В геометрии, начиная с греков и до XVII века, вы сталкиваетесь с двумя типами проблем. Есть проблемы, где речь идет о том, чтобы найти так называемые прямые линии и так называемые прямолинейные плоскости. Здесь достаточно классической геометрии и классической алгебры. Вы берете проблемы и достигаете необходимых решений: это Евклидова геометрия. Еще у греков, а затем, разумеется, в Средние века геометрия непрестанно оказывается перед проблемой иного характера: это когда необходимо искать и определять кривые и криволинейные плоскости. Вот в чем все геометры согласны между собой: здесь классических методов геометрии и алгебры уже недостаточно.

Уже греки придумали особый метод, который называется методом исчерпания: он позволяет определять кривые и криволинейные плоскости, а также решать уравнения разных степеней, и предел здесь – бесконечность, бесконечность разнообразных степеней в уравнении. Вот эти-то проблемы делают необходимым дифференциальное исчисление и вдохновляют Лейбница на его открытие; дифференциальное исчисление принимает эстафету у старого метода исчерпания. Если вы сочетаете математическую символику с теорией, а не привязываете ее к проблеме, для которой эта символика создана, то вы уже ничего не сможете понять. Дифференциальное исчисление имеет смысл лишь тогда, когда перед вами уравнение, чьи члены возведены в разные степени. Если же у вас этого нет, то говорить о дифференциальном исчислении – нонсенс. Важно рассмотреть теорию, соответствующую некоей символике, но вы должны столь же полно рассмотреть и практику. Следовательно, в анализе бесконечно малых ничего понять невозможно, если мы не увидим, что все физические уравнения по природе своей уравнения дифференциальные. Иначе физические явления изучать невозможно – и Лейбниц здесь будет очень силен: Декарт располагал всего лишь геометрией, алгеброй и тем, что придумал сам Декарт, назвав аналитической геометрией, но, сколь бы далеко он ни продвигался в этом открытии, оно фактически предоставило ему средства схватывать фигуры и движение лишь в аспекте прямолинейности; а ведь множество явлений природы суть в конечном счете, феномены криволинейного типа, и здесь учение Декарта не работает. Декарт застрял на фигурах и движении. Лейбниц переведет это на свой язык: одно и то же – говорить, что природа работает криволинейным способом, и говорить, что помимо фигур и движения существует нечто, а именно – о