Относительно философии я всегда думал две противоречивые вещи: то, что она не требует специального знания, что в этом смысле кто угодно способен к философии, – и в то же время заниматься ею невозможно, если мы не будем чувствительны к известной философской терминологии, а терминологию вы всегда можете создать, но вы не можете создать ее, делая что угодно. Вы должны знать, что такое термины вроде следующих: категория, концепт, идея, априори, апостериори – совершенно так же, как мы не можем заниматься математикой, если нам неизвестно, что такое a, b, xy, переменные, константы, уравнения; вот минимум. Итак, вы можете наделять значением все эти пункты.
«Сингулярное» существует с незапамятных времен в определенном логическом лексиконе. «Сингулярное» есть то, что отличается от универсального и в то же время входит с ним в отношения. Существует и другая пара понятий: частное, соотносящееся с общим. Итак, сингулярное и универсальное друг с другом соотносятся; частное и общее также вступают в отношения. Суждение о сингулярности это не то же самое, что так называемое частное суждение, и это не то же самое, что так называемое общее суждение. Я буду прав, сказав, что в классической логике – формально – сингулярное мыслилось в соотношении с универсальным. Но нельзя сказать, что это понятие тем самым неизбежно исчерпывается: когда математики используют выражение «сингулярность», с чем они его соотносят? Необходимо руководствоваться словами. Существует философская этимология, или же философская филология. «Сингулярное» в математике отличается от «регулярного», или противостоит ему. Сингулярное есть то, что не подчиняется правилу, регулярности.
Есть и еще одна пара понятий, используемых математиками, и это «примечательное» и «обыкновенное». Математики говорят нам, что существуют сингулярности примечательные и сингулярности, которые примечательными не являются. Но для нашего удобства Лейбниц еще не проводит этого различения между сингулярным непримечательным и сингулярным примечательным; Лейбниц использует как эквиваленты «сингулярное», «примечательное» и «заметное». Так что если вы обнаружите у Лейбница слово «заметное», считайте, что здесь необходимо вглядеться, что это не означает «хорошо известное»; Лейбниц увеличивает это слово, наделяя его необычным значением. Когда он заговорит о заметном восприятии, поймите, что он имеет в виду нечто важное. Какой интерес в этом для нас? Дело в том, что математика по отношению к логике уже представляет собой некий поворот. Математическое употребление концепта «сингулярность» ориентирует сингулярность на отношения с обычным, или регулярным, а уже не с универсальным. Нас приглашают отличать то, что является сингулярным, от того, что является обычным, или регулярным. Какой нам от этого интерес? Представьте себе, что кто-то говорит: это не имеет силы для философии, так как теория истины всегда ошибается; относительно мысли мы прежде всего задавались вопросом, что в ней истинного и что ложного; но ведь вы знаете: в мысли идут в счет не истинное и ложное, а сингулярное и обычное. Что в мысли сингулярное, что приметное, что обыкновенное. Ну вот: что обыкновенное? Я думаю о Кьеркегоре, который – гораздо позднее Лейбница – скажет, что философия всегда пренебрегала важностью одной категории и это категория интересного! Может быть, это и неверно, что философия пренебрегала ею; существует по меньшей мере философско-математическое понятие сингулярности, и, может быть, оно скажет нам что-нибудь интересное о концепте интересного.
Важный математический ход состоял в том, что сингулярность больше не мыслилась по отношению к универсальному; дело в том, что она мыслилась по отношению к обыкновенному, или к регулярному. Сингулярное есть то, что выходит за рамки обыкновенного и регулярного. И если мы это скажем, то уже это уведет нас очень далеко, так как если мы это скажем, то превратим сингулярность в философский концепт, даже если мы найдем основания сделать это в такой благоприятной области, как математика. Однако в каком случае математика говорит нам о сингулярном и обыкновенном? Ответ прост: в связи с определенными точками, взятыми на кривой. Необязательно на кривой, но гораздо обобщеннее мы говорим о некоей фигуре, и о фигуре этой можно сказать, что характер ее таков, что она может включать сингулярные точки и другие, регулярные, или обычные. Зачем же нам эта фигура? Затем, что фигура есть нечто детерминированное! И тогда сингулярное и обычное – это часть детерминации: взгляните-ка, как это интересно! Вы видите, что, когда мы ничего не говорим и топчемся на месте, мы продвигаемся далеко вперед. Почему бы не определить детерминацию вообще, сказав, что это – сочетание сингулярного и обычного, и всякая детерминация будет такой!
Я беру очень простую фигуру: квадрат. Вашим законным требованием было бы спросить меня: каковы сингулярные точки квадрата? Существуют четыре сингулярные точки квадрата: это четыре его вершины: a, b, с и d. Мы стремимся определить сингулярность, но остаемся на уровне примеров; мы проводим ребяческие исследования, мы говорим о математике, но не знаем ни слова о ней. Мы знаем как раз то, что у квадрата четыре стороны, а, стало быть, четыре сингулярные точки, его экстремумы. И это как раз маркирующие точки – именно потому, что прямая линия конечна, а другая, с другой ориентацией, начинается под углом в 90° к ней. Чем же тогда будут обычные точки? Это – бесконечное множество точек, которые образуют каждую сторону квадрата, но четыре крайние точки будут называться сингулярными.
Вот вопрос: куб, сколько вы «дадите» ему сингулярных точек? Вижу ваше полное оцепенение! В кубе восемь сингулярных точек. И это то, что в наиболее элементарной геометрии мы сможем назвать сингулярными точками: точки, которые отмечают конец прямой линии. Вы чувствуете, что это только начало. Итак, я противопоставил бы сингулярные точки точкам обычным. Кривая, прямолинейная фигура: может ли быть так, что я мог бы сказать о них, что сингулярные точки с необходимостью образуют их экстремумы? Может быть, нет, однако предположим, что, на первый взгляд, я мог бы сказать что-нибудь подобное. Кривая портит всю ситуацию. Возьмем простейший пример: дугу окружности, по вашему выбору – выпуклую или вогнутую. Внизу я вычерчиваю вторую дугу, выпуклую, если первая вогнутая, и вогнутую, если первая выпуклая. Две дуги встречаются в одной точке. Под ними я вычерчиваю прямую линию, которую называю, в соответствии с природой вещей, ординатой. Я вычерчиваю ординату. Я провожу перпендикуляры. Это пример Лейбница из текста с изысканным названием «Tantanem anagogicum», это небольшое семистраничное сочинение, написанное по-латыни, и заглавие означает «анагогический опыт»{ Существует работа Лейбница «Анагогический опыт исследования причин» – Собр. соч. в 4-тт., т. III.}. Итак, AB имеет две характеристики, это единственный сегмент, проведенный от ординаты, который является уникальным; все остальные, как говорит Лейбниц, имеют двойника, маленького близнеца. На самом деле, xy имеет зеркало, образ в x1y1, и вы можете приближаться к AB с разными степенями исчезающих различий: только AB будет единственным, без близнеца. Второй пункт: об AB можно сказать, что это максимум или минимум: максимум по отношению к одной из дуг окружности, минимум по отношению к другой. Уф, вы всё поняли. Я бы сказал, что AB есть сингулярность.
Я ввел простейший пример с кривой: дугу окружности. А вот нечто посложнее: показанное мною состоит в том, что сингулярная точка не обязательно привязана к экстремуму или ограничена им, она вполне может находиться в середине, и в данном случае находится в середине. И это будет то минимум, то максимум, то оба сразу. Отсюда важность исчисления, которое Лейбниц продвинет очень далеко и которое он назовет исчислением максимумов и минимумов; и даже сегодня это исчисление имеет колоссальное значение, например в феноменах симметрии, в физических и оптических явлениях. Итак, я бы сказал, что моя точка A есть сингулярная точка; все остальные точки обычные, или регулярные. Они бывают обычными, или регулярными, двумя способами: дело в том, что они располагаются ниже максимума и выше минимума, и, наконец, у каждой существует двойник. Итак, мы немного уточняем это понятие обычного.
А вот другой случай; вот сингулярность другого случая: возьмите сложную кривую. Что мы назовем ее сингулярностями? Сингулярности сложной кривой – это в простейшем случае соседние точки, а вы знаете, что понятие соседства в математике, которое весьма отличается от понятия смежности, есть ключевое понятие для всей области топологии, и как раз понятие сингулярности способно объяснить нам, что такое соседство, – итак, по соседству с некоей сингулярностью нечто изменяется: кривая возрастает или убывает. Эти точки роста или убывания я и назову сингулярностями. Обычное – это ряд, это то, что находится между двумя сингулярностями; речь идет о соседстве той сингулярности, которая располагается рядом с другой сингулярностью: вот что называется обычным, или регулярным.
Вы видите, что эти отношения очень странны (словно свадьбы): разве так называемая классическая философия в каком-то относительном смысле не связала свою судьбу с классическими геометрией, арифметикой и алгеброй, то есть с прямолинейными фигурами, а те – с ней? Вы мне скажете, что прямолинейные фигуры уже включают сингулярные точки, – согласен, но стоит мне обнаружить и построить математическое отношение сингулярности, как я могу сказать, что в простейших прямолинейных фигурах его не было. Никогда простейшие прямолинейные фигуры не давали мне серьезного повода и реальной необходимости вводить понятие сингулярности. Это навязывает себя лишь на уровне сложных кривых. Стоит мне найти нечто подобное на уровне сложных кривых, тогда да, я отступаю, и я могу сказать: ага, это уже было в дуге окружности, это уже было в такой простой фигуре, как прямолинейный квадрат, но прежде – вы не сможете.