Итак, я высказываю это очень приблизительно; я пытаюсь разработать это для тех, кто интересуется Спинозой исключительно технически; прочие из вас могут запомнить из этого то, что им угодно… В то же время это любопытно, потому что эта гипотеза привлекает меня, и я не могу как следует понять, почему. Существует одна вещь, которая меня настораживает: дело в том, что вся история маятников и вращающихся дисков в XVII веке очень продвинута, но как раз если Спиноза имел в виду именно это, то почему он не сделал даже намека на эти проблемы вибраций, даже в письмах? И потом: модель маятника совсем не учитывает то, что мне кажется существенным, а именно: этого присутствия актуальной бесконечности и термина «бесконечно малый». Вы видите: ответ Геру, когда он комментирует Спинозу, таков: соотношение движения и покоя следует понимать как вибрацию простого маятника. Вот так. Я отнюдь не утверждаю, что я прав, действительно нет… Геру утверждает, что простые тела обладают у Спинозы, несмотря ни на что, фигурой и величиной. Предположите обратное [нрзб.], предположите, что очень простые тела поистине являются бесконечно малыми, то есть что они не имеют ни фигуры, ни величины. Вот в этот момент модель простого маятника работать не может, и не может быть, что вибрация определяет отношение движения и покоя.
Зато у нас есть другой путь, а потом вы, возможно, можете найти еще. Другим путем мог бы быть следующий, – я еще раз возвращаюсь к своему вопросу: какие типы отношений могут существовать между термами, которые предполагаются бесконечно малыми? Ответ совсем прост: между бесконечно малыми термами – если мы понимаем то, что в XVII веке означало «бесконечно малое», то есть не имеющее дистрибутивного существования, но с необходимостью входящее в некую бесконечную совокупность, – ну что ж, между бесконечно малыми термами может иметься только один тип отношения: дифференциальные отношения. Почему? Бесконечно малые термы суть термы исчезающе малые, то есть отношения, которые остаются, когда исчезают термы. Вопрос – совсем простой – таков: каковы отношения, остающиеся, когда исчезают их термы?
Три типа отношений
Займемся простой математикой. Я считаю, что я говорю очень элементарно, – я считаю, что в XVII веке были известны три типа отношений:
✓ дробные отношения, которые известны очень-очень давно;
✓ алгебраические отношения, которые известны [нрзб.] и предощущались задолго до этого, что само собой разумеется [нрзб.], однако они получили очень точный статус в XVI и XVII веках, – в XVII веке, если иметь в виду Декарта, то есть в первую половину XVII века;
✓ и, наконец, дифференциальные отношения, которые в эпоху Спинозы и Лейбница представляли собой великий вопрос для математиков.
Я приведу примеры. Мне хотелось бы, чтобы это было прозрачным для вас, даже если то, чем я занимаюсь, отнюдь не математика:
✓ пример дробного отношения: ⅔;
✓ пример алгебраического отношения: ax + by = и т. д. Отсюда вы можете вывести x/y равно:
✓ пример дифференциального отношения, мы его видели: dx / dy = z.
Хорошо. Какое различие существует между этими тремя типами отношений? Я бы сказал, что дробное отношение является несводимым. Почему? Если я говорю ⅔, то ⅔ – это опять-таки не число. Почему ⅔ – не число? Потому что невозможно назначить число, которое, будучи умноженным на 3, дает 2. Стало быть, это не число. Дробь не есть число, это комплекс чисел, которые я решаю условно считать числом, то есть которые я условно подчиняю правилам сложения, вычитания, умножения. Но дробь, очевидно, не число. Как только я нахожу дробь, я могу трактовать числа как дроби, то есть как только я начинаю пользоваться символикой дробей, я могу считать число, например, дробью от 2: я всегда могу записать 4 над 2: 4 над 2 = 2. Но дроби, в своей несводимости к целым числам, чисел не имеют: это комплексы целых чисел. Хорошо. Стало быть, уже дробь способствует возникновению своего рода независимости отношения от своих термов. В этом очень важном вопросе логики отношений вся отправная точка данной логики, очевидно, такова: в каком смысле существует непротиворечивость отношения независимо от его термов? Дробное число может дать мне уже своего рода первое приближение, но это не препятствует тому, что в дробном отношении термы следует еще более специфицировать. Термы должны быть специфицированы, то есть вы всегда можете надписать 2 над 3, но отношение здесь – между двумя термами: 2 и 3. Оно несводимо к этим термам, поскольку само является не числом, а комплексом чисел; но они должны быть специфицированными, термы должны быть даны.
Еще один шаг. Когда я имею алгебраическое отношение типа x, деленное на y, на сей раз у меня нет заданных термов, у меня есть две переменные. У меня есть переменные. Вы видите, что все происходит так, как если бы отношение приобрело степень независимости, высшую по отношению к его термам. У меня больше нет необходимости назначать какое-либо детерминированное значение. В дробном отношении я не могу избегнуть следующего: я должен назначать детерминированное значение термам отношения. В алгебраическом же отношении у меня даже нет больше необходимости назначать детерминированное значение термам отношения. Термы отношения суть переменные. Но тем не менее еще необходимо, чтобы мои переменные имели детерминируемое значение. Иными словами, x и y могут иметь всевозможные разновидности сингулярных значений, но они должны иметь хотя бы одно. Вы видите: в дробном отношении я могу иметь лишь одно сингулярное значение либо же эквивалентные сингулярные значения. В алгебраическом отношении у меня больше нет необходимости в каком-либо сингулярном значении; это не препятствует тому, что мои термы по-прежнему имеют специфицируемое значение, и это отношение действительно не зависит от любого конкретного значения переменной, но зависит от детерминируемого значения переменной.
Дифференциальное отношение
Вот что совсем ново в дифференциальном отношении: мы устраиваем его, делая третий шаг. Когда я говорю dy / dx, вы помните то, что мы видели: dy по отношению к y равно нулю: это бесконечно малая величина. dx по отношению к x равно нулю: стало быть, я могу записать это – и в XVII веке постоянно так и пишут – в такой форме: dy / dx = 0 / 0. Но ведь отношение 0 / 0 не равно нулю. Иными словами, когда исчезают термы, отношение остается. На этот раз термы, между которыми устанавливается отношение, не являются ни детерминированными, ни даже детерминируемыми. Единственно детерминируемым является отношение между его термами. Именно здесь логика делает скачок, и скачок основополагающий. В этой форме дифференциального исчисления открыта область, где отношения уже не зависят от их термов: термы сводятся к исчезающим величинам, а отношение между этими исчезающими величинами не равно 0. Так что я записал бы – здесь я передаю все очень приблизительно: dy / dx = z. Что означает “= z “? Это, разумеется, означает, что дифференциальное отношение dy / dx, которое складывается между исчезающей величиной x и исчезающей величиной y, строго говоря, ничего не сообщает нам об x и y, но кое-что сообщает нам о z. Например, примененное к окружности, дифференциальное отношение dy / dx кое-что говорит нам о касательной, называемой «геометрическая касательная».
Оставаясь на самом простом уровне, нет необходимости ничего понимать; я могу, стало быть, записать dy / dx = z. Что это означает? Смотрите, что отношение – в том виде, в каком оно существует, – когда его термы исчезают, отсылает к некоему третьему терму z. Это интересно: это должно быть очень интересно: именно исходя отсюда возможна некая логика отношений. Что вот это значит? О z мы скажем, что это предел дифференциального отношения. Иными словами, дифференциальное отношение стремится к некоему пределу. Когда исчезают термы отношения, x и y становятся dy и dx; когда термы отношения исчезают, остается отношение, потому что оно стремится к пределу z. Когда устанавливается отношение между бесконечно малыми термами, это не отменяет в то же время того, что оно стремится к некоему пределу. Такова основа дифференциального исчисления в том виде, как его понимали или интерпретировали в XVII веке.
Отношения движения и покоя
Отныне вы понимаете, почему эта интерпретация дифференциального исчисления образует единое целое с пониманием некоего актуального бесконечного, то есть с идеей бесконечно малых величин исчезающих термов. Отныне я даю свой ответ на вопрос: ну что же в самом деле Спиноза говорит нам, говоря об отношениях движения и покоя, о пропорциях движения и покоя, заявляя: бесконечно малые, бесконечная совокупность бесконечно малых принадлежит к такому-то индивиду при таком-то отношении движения и покоя; что есть это отношение? Я не смог бы заявить, подобно Геру, что это некая вибрация, уподобляющая индивида маятнику; это дифференциальное отношение. Это дифференциальное отношение в том виде, как оно выявляется в бесконечных множествах, бесконечно малых.
И действительно, если вы возьмете письмо Спинозы о крови, которое оказало мне неоценимую помощь, и две составные части крови – хилус и лимфу, то что оно, в сущности, говорит нам? Оно сводится к тому, что существуют корпускулы хилуса, или же, скорее, что хилус есть бесконечное множество простейших тел. Лимфа – это другое бесконечное множество простейших тел. Что же отличает два бесконечных множества? Здесь именно что дифференциальное отношение. На сей раз вы видите dy / dx, которое таково: бесконечно малые части хилуса, деленные на бесконечно малые части лимфы, и это дифференциальное отношение стремится к некоему пределу: а именно, хилус и лимфа образуют кровь. Если бы дело обстояло так, мы могли бы спросить, почему бесконечные множества разл