у («сегодня понедельник»), а высказывание q («2jc — положительное число») заменим на q \ так чтобы сохранялось отношение импликации («завтра вторник»). Если подставим эти высказывания на места р и q соответственно формуле, то получим:
Из высказывания «если сегодня понедельник, то завтра вторник», вытекает, что «если не завтра вторник, то не сегодня понедельник».
Нетрудно заметить, что это высказывание также истинно, как исходное, из которого оно получено путем подстановки.
Отсюда же видно, что (как и в случае силлогизма) истинность выводного высказывания не зависит от содержания исходных высказываний, а только от их истинности или ложности и характера связи между ними. Значит, вывод опять представляет результат определенных формальных операций над высказываниями. Так что мы имеем здесь определенную логику, которую можно назвать логикой высказываний.
Теоретическое, дедуктивное доказательство, таким образом, состоит в применении правил вывода к высказываниям, истинность которых была либо дана предварительно, либо установлена. «Несколько точнее полное доказательство может быть охарактеризовано следующим образом. Оно состоит в построении цепи высказываний, обладающих такими свойствами: начальными членами являются высказывания, предварительно уже принятые за истинные; все последующие члены могут быть получены из предшествующих посредством правил вывода; и, наконец, последним членом является высказывание, которое требуется доказать».
Между прочим, автор этого определения известный логик А. Тарский отмечает, «какую чрезвычайно элементарную форму, с точки зрения психологической, приобретают все математические рассуждения благодаря знанию и применению законов логики и правил вывода; сложные умственные процессы целиком могут быть сведены к выполнению таких простых требований, как внимательное соблюдение положений, ранее принятых за истинные, учет структурных, чисто внешних соотношений между этими положениями и выполнение механических видоизменений согласно предписаниям правил вывода».
К сожалению, именно психологически дело обстоит далеко не так просто. В действительности мышление никогда не протекает, как «выполнение механических видоизменений» высказываний «согласно предписаниям правил вывода». С этой точки зрения, логика не описывает фактического протекания теоретического мышления. Она лишь формулирует его основы — те отношения суждений и высказываний, на которые оно опирается. Как любая абстракция, как всякая идеальная модель, логика представляет теоретическое мышление таким, каким оно должно было бы быть, если бы в нем не действовали никакие факторы, кроме логических отношений, выраженных в своем предельно полном, строгом и сознательном виде.
Фактически это, конечно, не так, да и не может быть так, потому что мыслит не мышление, а человек. Поэтому на протекание даже самого теоретического мышления всегда влияют разнообразнейшие человеческие факторы: привычки и предрассудки, ожидания и установки, чувства и желания и т.д. Да и само протекание мышления происходит с самыми разными степенями сознательности и развернутости.
В частности, почти никогда дедуктивное мышление и доказательство не протекают в голове в виде цепочек полных силлогизмов. Главная посылка умозаключения, устанавливающая общее положение, на основе которого делается вывод, обычно не формулируется «в уме», а часто и вообще не сознается.
«Это число без остатка делится на 3, потому что сумма составляющих его цифр делится на 3». «Кит — млекопитающее. Следовательно, он дышит легкими». «Натрий входит в первую группу таблицы Менделеева. Значит, он одновалентен» и т.п. В такой форме протекают обычно дедуктивные умозаключения фактически.
Нетрудно заметить, что большие посылки, которые представляют общее правило, общий закон, общее положение, дающие основание для указанных заключений, это: «Все числа, сумма цифр которых делится без остатка на 3, сами делятся на 3 без остатка», «Все млекопитающие дышат легкими», «Все элементы, которые входят в первую группу таблицы Менделеева, являются одновалентными». Однако, именно эти предпосылки заключения не формулируются. Их истина подразумевается. Но сами они как бы остаются за кулисами.
Иногда может быть пропущена и меньшая, т.е. частная, посылка. Например, утверждение «Все млекопитающие дышат легкими. Значит, и кит дышит легкими», выступает для нас тоже как абсолютно убедительное. Здесь «за кулисами» остается второе необходимое утверждение: «Кит — млекопитающее» (точнее: «Истинно, что кит — млекопитающее»).
Подобные общие высказывания могут выстраиваться в длинные цепочки. Например:
3 — нечетное число.
Все нечетные числа — натуральные числа.
Все натуральные числа — рациональные числа.
Следовательно, 3 — действительное число.
Умозаключения с опущенными посылками могут в свою очередь выступать как посылки составного рассуждения и т.д.
Например:
Все ромбы—параллелограммы, та как они имеют попарно параллельные стороны.
Все квадраты — ромбы, так как они имеют взаимноперпендикулярные диагонали, делящиеся в точке их пе-ресечения пополам.__
Следовательно, все квадраты параллелограммы.
В логике такие формы умозаключений называют, соответственно, энтимемами, соритами, эпихейремами и пр. Их все считают как бы «выродившимися», «неполными умозаключениями». Однако, психологические исследования дедуктивного мышления (C.J1. Рубинштейн, И. Линдворски, Г. Штеринг, Вайнеке) показали, что это не так. Фактически как раз энтимема составляет психологически первичную форму умозаключения. В этой форме мы делаем выводы. И только если от нас потребуют обстоятельства (чтобы доказать другим), разворачиваем вывод полностью во всех его посылках и промежуточных звеньях.
Перевод вывода в такую «правильную» форму полного умозаключения вызывает какое-то внутреннее сопротивление. Рассуждение типа «Все млекопитающие дышат легкими. Кит — млекопитающее. Кит дышит легкими» кажется крайне искусственным, ужасно скучным, ненужно «разжеванным» и вообще «рассчитанным на дурака».
Почему?
Испытуемые в опытах, которые мы проводили, отвечали: «Потому что здесь много лишнего», «Все и так понятно», «Что млекопитающее дышит легкими, всем известно. Зачем это специально говорить?» и т.п.
Зато те лица, которые испытывали сомнение в истинности заключения, запрашивали добавочную информацию, обычно относившуюся именно к недостающей посылке: «А разве все млекопитающие обязательно дышат легкими?», «Элементы первой группы бывают только одновалентные?» и т.д.
Значит то, что «и так понятно», человеку не требуется формулировать «для себя» в виде особой посылки.
Ну, а если «все понятно» и «все известно»? Тогда и все умозаключение «для себя» человеку не нужно!
Действительно, кто, кроме абстрактного логика или человека, выжившего из ума, будет заниматься выведением утверждения «Кай смертен» из положений, что «Все люди смертны» и что «Кай — человек»? Все это и так ясно. Игра с посылками не даст нового знания, а посему будет переживаться как абсолютно ненужная и искусственная.
Таким образом, психологически вывод выступает для человека как умозаключение только в том случае, если он дает человеку новое знание. Так, например, утверждение «кит дышит легкими» для некоторых людей может нести новое значение. Тогда его вывод из утверждения «кит — млекопитающее» выступает психологически как умозаключение, как доказательство. Если... если человек знает о млекопитающих, что они дышат легкими.
Итак, психологическая структура умозаключения оказывается иной, чем логическая. Психологически отнесение кита к млекопитающим означает, что мы можем использовать всю информацию, содержащуюся в понятии «млекопитающее» для выяснения свойств кита. Или иначе, можем приписать киту все свойства, имеющиеся у млекопитающих. Это и есть те новые знания
о ките, которые дает связывание его с понятием «млекопитающие».
Дыхание легкими — только одно из этих свойств. И, значит, только одно из новых знаний о ките, скрытых в высказывании: «Кит — млекопитающее». Ведь понятие «млекопитающее» отображает еще и такие признаки, как «живородящее», «теплокровное», «позвоночное» и т.д. и т.д. И все эти признаки скрыто сразу приписываются киту высказыванием «кит — млекопитающее».
Все эти знания о ките содержатся уже в указанном суждении. Дедуктивное умозаключение только как бы раскрывает те или иные из этих сведений, содержащихся в высказывании «кит — млекопитающее». (Например, что он живородящий, что он дышит легкими и т.д.)
Сколько таких новых сведений о ките можно получить из этого высказывания? Столько, сколько у нас есть знаний о млекопитающих. Соответственно, столько можно будет сделать выводов о ките и столько построить умозаключений. Большая посылка формулируется только «для других», когда (для обоснования вывода) им надо указать, какие именно знания из всего, что известно о млекопитающих, мы используем в данном случае (например, то, что млекопитающие дышат легкими). «Для себя» этого, понятно, не требуется. Мы и так знаем то, что знаем. Поэтому фактически большая посылка не фигурирует в нашем мышлении как часть вывода. Психологически она переживается просто как часть наших знаний.
Отметим, что если посылки частично не сознаются, то формальные отношения, которые составляют основу вывода, как правило, вообще не осознаются. Об этом свидетельствует тот факт, что обнаружение и осознание этих отношений зачастую требуют от человека значительного труда, умения и специальных знаний (логики). Подобно герою Мольера, который не знал, что всю жизнь он говорил прозой, подавляющее большинство людей рассуждает, выводит, доказывает, опровергает, не подозревая, что они опираются при этом, или, вернее, подчиняются при этом определенным законам и правилам логики предикатов и логики высказываний.
Впрочем, «подчиняются» — это тоже сильно сказано и содержит изрядную долю идеализации. Так было бы, если бы на умозаключения и доказательства не влияли бы никакие другие факторы, кроме логических (т.е. формы и соотношения высказываний, а также законов и правил выведения). Фактически, как мы уже отмечали, что тоже далеко не так.