[385] довольно большую сумму, которую пришлось за него выложить (вдвое больше, чем за Библию). А еще он, возможно, помог привлечь Пачоли к службе при герцогском дворе. Математик прибыл в Милан в 1496 году и поселился по соседству с Леонардо в замке Корте-Веккья. Их объединяла любовь к геометрии. На сохранившемся портрете (илл. 57) Пачоли изображен вместе со студентом перед столом, на котором лежат транспортир, циркуль и штифт, а с потолка свешивается многогранник с 18 квадратными и 8 треугольными гранями (ромбокубооктаэдр), наполовину заполненный водой.
Менее известной, но не менее важной частью работы Пачоли при миланском дворе было участие — наряду с Леонардо — в подготовке всяческих представлений и прочих сиюминутных забав. Вскоре после приезда в Милан Пачоли завел записную книжку, озаглавленную «О могуществе чисел», и принялся вносить в нее загадки, математические головоломки, «волшебные» фокусы и всякие комнатные игры и шарады, которыми он озадачивал публику при дворе. Среди фокусов были, например, такие: как заставить яйцо ходить по столу (нужны пряди волос и воск), как заставить монету подниматься и опускаться в стакане (нужен уксус и магнитный порошок), как заставить курицу прыгать (нужна ртуть). Среди комнатных игр был впервые специально описанный стандартный карточный фокус, при котором кто-нибудь выбирает одну карту из колоды (здесь нужен сообщник); головоломки вроде той, в которой предлагается объяснить, как без потерь переправить в одной лодке через реку волка, козу и капусту; и математические игры с загадыванием числа, которое затем «отгадывают», попросив сообщить результат нескольких арифметических действий, произведенных с этим числом. Особенно нравились Леонардо те игры Пачоли, где нужно было чертить окружности вокруг треугольников и квадратов, используя только линейку и циркуль.
Пачоли и Леонардо сдружила их общая страсть к подобным интеллектуальным забавам и развлечениям. Имя Леонардо часто мелькает в записях Пачоли. Например, описав в общих чертах один фокус, Пачоли добавляет: «Ну что ж, Леонардо, теперь ты сам можешь придумать много похожих»[386].
Если же говорить о более серьезных занятиях, то Пачоли, превосходный наставник, обучил Леонардо различным тонкостям и красотам евклидовой геометрии и попытался научить его — уже с меньшим успехом — обращаться с квадратами и квадратными корнями чисел. Иногда, если какое-нибудь понятие казалось Леонардо сложным для понимания, он просто дословно записывал к себе в тетрадь целые куски из объяснений Пачоли[387].
Леонардо отплатил ему услугой за услугу: он выполнил ряд иллюстраций исключительной красоты и изящества к книге по математике, которую Пачоли начал писать уже в Милане. В трактате «О божественной пропорции» рассматривалась роль численных соотношений в архитектуре, искусстве, анатомии и математике. Леонардо, всегда интересовавшийся пересечением искусств с науками, был заворожен темой, которую выбрал его друг.
58. Ромбокубооктаэдр: иллюстрация Леонардо к книге Пачоли.
Большинство рисунков Леонардо к книге Пачоли, которая была закончена в 1498 году, изображали разновидности пяти геометрических фигур, известных как платоновы тела. Это правильные многогранники, имеющие у каждой вершины одинаковое число ребер: тетраэдры, кубы, октаэдры, додекаэдры и икосаэдры. Изобразил он и более сложные фигуры — например, ромбокубооктаэдр, имеющий 26 граней, из которых 8 представляют собой равносторонние треугольники, а 18 — квадраты (илл. 58). Леонардо первым придумал способ показывать такие фигуры максимально наглядно: он рисовал их не сплошными, а прозрачными и скелетообразными, как бы собранными из деревянных планок. 60 иллюстраций к трактату Пачоли стали единственными рисунками Леонардо, опубликованными при его жизни.
В этих иллюстрациях дар Леонардо проявился в искусном освещении и затенении, благодаря которым изображенные геометрические фигуры кажутся настоящими объемными предметами, висящими прямо у нас перед глазами. Свет падает под углом, создавая четкие и одновременно тонкие тени. Каждая из граней фигуры как будто превращается в оконное стекло. Леонардо так мастерски владел перспективой, что добивался полной иллюзии трехмерности. Он умел мысленно представить себе нужную фигуру как вполне реальный предмет, чтобы затем запечатлеть ее на бумаге. Впрочем, возможно, он действительно использовал настоящие деревянные модели, подвешивая их на ниточке, как тот прозрачный многогранник, что изображен на портрете Пачоли. Объединив наблюдения с математическими рассуждениями, Леонардо, понимавший свойства геометрических фигур и знавший особенности полета птиц, первым нашел центр тяжести треугольной пирамиды (точка, лежащая на расстоянии четверти высоты пирамиды от основания).
Пачоли с благодарностью написал, что рисунки к его книге «создал своей изумительной левой рукой, столь искушенной во всех математических премудростях, несравненный среди нынешних смертных, первый среди флорентийцев, наш Леонардо да Винчи, который жил в ту счастливую пору вместе со мной, состоя на том же регулярном жалованье, в дивном городе Милане». Позднее Пачоли называл Леонардо «достойнейшим из живописцев, перспективистов, зодчих и музыкантов, обладателем всех совершенств» и вспоминал «ту счастливую пору, когда мы оба состояли на службе славнейшего герцога Миланского, Лодовико Мария Сфорца Англо, в лета Господни с 1496-го по 1499-й»[388].
Книга Пачоли была посвящена прежде всего золотому сечению, или «божественной пропорции» — иррациональному числу, которое выражает соотношение двух величин и часто встречается в числовых рядах, в геометрии и в искусстве. Это число Φ (фи), которое равняется приблизительно 1,61803398, однако, поскольку речь об иррациональном числе, оно представляет собой бесконечную непериодическую десятичную дробь. Золотым сечением рассекают отрезок на две части таким образом, что отношение всей его длины к большей части равно отношению большей части к меньшей. Допустим, мы берем отрезок длиной 100 см и делим его на две части — 61,8 см и 38,2 см. Это очень близко к золотому сечению, потому что, разделив 100 на 61,8, мы получим приблизительно такую же величину, как при делении 61,8 на 38,2: в обоих случаях она составляет около 1,618.
Евклид писал о золотом сечении еще около 300 г. до н. э., и с тех пор число Φ всегда притягивало математиков. Пачоли первым присвоил ему название «божественной пропорции». В книге, так и озаглавленной (на латыни — De divina proportione), он описывал, как именно это соотношение проявляется в геометрических телах — кубах, призмах и многогранниках. По широко распространенным представлениям, растиражированным в том числе в «Коде да Винчи» Дэна Брауна, все произведения Леонардо построены на принципе золотого сечения[389]. Даже если это так, весьма сомнительно, что это делалось осознанно. Хотя и возможно расчертить «Мону Лизу» и «Святого Иеронима» таким образом, чтобы выявить в них присутствие заветной пропорции, любые попытки доказать, что Леонардо намеренно использовал точно выверенное математическое соотношение, неубедительны.
С другой стороны, Леонардо действительно интересовался гармоничными пропорциями и внимательно изучал, как они проявляются в анатомии, науке и искусстве. Этот интерес побуждал его выискивать сходство между пропорционально сложенным человеческим телом, музыкальной гармонией и другими соотношениями, которые присутствуют в творениях природы и воспринимаются как прекрасные.
Преобразование форм
Леонардо-художника особенно интересовало, как преобразуются формы предметов при движении. Когда он наблюдал за течением воды, у него сложилось представление о сохранении объема: при перетекании определенного количества воды форма ее изменяется, но объем остается прежним.
Понимание того, как преобразуются объемы, было очень полезно для художника — тем более для такого, как Леонардо, который чаще всего изображал тела в движении. Это помогало ему представлять, как форма предмета способна искажаться или преображаться, при том что объем его остается неизменным. «Вещь, которая движется, забирает столько пространства, сколько теряет», — писал он[390]. Это относится не только к количеству перелившейся воды, но и к согнутой руке, и к перекрученному человеческому торсу.
Леонардо все больше занимал вопрос о том, как можно использовать геометрию для понимания природных явлений, и он принялся исследовать разные теоретические случаи, в которых наблюдалось сохранение объема при преобразовании одной геометрической фигуры в другую. Например, можно было взять квадрат и преобразовать его в круг, который имел бы ровно такую же площадь. А в трехмерном пространстве можно было бы показать, как сфера превращается в куб, сохраняя прежний объем.
Силясь произвести подобные преобразования и постоянно записывая свои догадки, Леонардо способствовал возникновению топологии — раздела математики, который изучает свойства пространств, остающихся неизменными при различных деформациях. Мы видим, как он испещряет тетрадь за тетрадью (то упорно и одержимо, то рассеянно и машинально) серповидными фигурами, которые затем преобразует в прямоугольники той же площади, а иногда проделывает то же самое с пирамидами и конусами[391]. Леонардо умел зарисовывать подобные преобразования, просто представляя их мысленно, а иногда он проводил такие эксперименты при помощи мягкого воска. Но он не очень-то умел обращаться с алгебраическими инструментами геометрии, которые требовали перемножать квадраты, квадратные корни, кубы и кубические корни чисел. «Научись умножению корней у маэстро Луки», — записал он в тетради, имея в виду Пачоли. Однако Леонардо так и не овладел этими премудростями и потому до конца жизни пытался совершать геометрические преобразования, прибегая не к уравнениям, а к рисункам