Он начал собирать воедино свои записи, посвященные этой теме, а в 1505 году объявил о намерении написать книгу, «озаглавленную „О преобразовании“, т. е. о преобразовании одного тела в другое без убавления или возрастания материи»[393]. Этот трактат постигла та же судьба, что и все прочие: он так и остался блестящим черновиком на страницах тетрадей, но не превратился в печатную книгу.
Квадратура круга
Одна связанная с сохранением объема тема, которая очень увлекла Леонардо и в итоге лишила его покоя, восходила еще к задаче, сформулированной древнегреческим математиком Гиппократом Хиосским. Речь идет о «гиппократовых луночках» — серповидных фигурах, ограниченных дугами двух окружностей. Гиппократ обнаружил замечательное математическое свойство этих фигур: если построить луночку на катете равнобедренного прямоугольного треугольника, вписанного в бóльшую окружность, то площадь этой луночки будет равна половине площади этого треугольника. Так он впервые нашел способ точно вычислить площадь изогнутой фигуры, то есть луночки, найдя равновеликую ей фигуру с прямыми сторонами, вроде треугольника или прямоугольника.
Это заворожило Леонардо. Он заполнял страницы своих тетрадей окружностями и заштрихованными луночками, а потом чертил треугольники и прямоугольники, имевшие ту же площадь, что и луночки. Год за годом он упорно искал способы создавать дуговые фигуры, имевшие равновеликие площади с треугольниками и прямоугольниками, словно эта игра поработила его. Любопытно, что Леонардо никогда не записывал точных дат, обозначавших основные вехи его работы над картинами, зато к геометрическим занятиям относился совсем иначе: каждый маленький успех становился для него историческим моментом, который надлежало зафиксировать письменно. Однажды ночью он с явным торжеством записал: «Давно изыскивая способы построить прямой угол к двум равновеликим луночкам… ныне, в год 1509-й, в канун майских календ [30 апреля], я нашел решение в 22-м часу, в воскресенье»[394].
59. Поиск равновеликих по площади геометрических фигур.
За этим поиском равновеликих фигур стояли не только интеллектуальные, но и эстетические мотивы. Через некоторое время его геометрические экспериментальные фигуры — например, квазитреугольники, образованные дугами, — превратились в художественные элементы. На одной группе листов (илл. 59) он выполнил 180 чертежей, на которых криволинейные и прямолинейные фигуры частично накладываются друг на друга, а рядом объясняется, как соотносятся между собой площади заштрихованных и незаштрихованных частей[395].
Как обычно, Леонардо решил собрать все записи на эту тему в трактат, даже придумал для него латинское название: De ludo geometrico («О геометрической игре»). Можно уже не удивляться тому, что все эти страницы с рисунками и записями так никогда и не были опубликованы в виде трактата[396]. Здесь любопытен выбор слова ludus: оно обозначает забаву или развлечение, которое целиком поглощает внимание человека и в то же время напоминает игру. Похоже, иногда эта возня с луночками так затягивала Леонардо, что чуть не сводила его с ума. С другой стороны, для него это была увлекательная интеллектуальная игра, способная (как он полагал) приблизить его к тайнам прекрасных закономерностей природы.
Эта страстная одержимость привела Леонардо к древней неразрешимой задаче, о которой рассказывали Платон, Плутарх, Витрувий и другие. По легенде, в V веке до н. э. на остров Делос обрушилась чума, и его жители обратились в Дельфийское прорицалище за советом. Жрецы объявили, что чума прекратится, если они сумеют в точности удвоить жертвенник Аполлона, имевший форму куба. Делосцы увеличили вдвое длину каждого ребра куба, но чума продолжала свирепствовать. В ответ на жалобы пифия сказала, что делосцы, удвоив длину ребер, увеличили алтарь в восемь раз, а нужно ровно в два раза. Чтобы решить эту задачу геометрическим путем, требовалось умножить длину каждого ребра на корень кубический из 2.
Несмотря на сделанную памятку себе — «научись умножению корней у маэстро Луки», — Леонардо так и не справился с квадратными корнями, не говоря уж о кубических. Но даже если бы он умел с ними обращаться, в данном случае это не помогло бы ему. Греки, стремившиеся избавиться от чумы, тоже не могли решить задачу удвоения куба при помощи обычных вычислений, потому что корень кубический из 2 не является квадратичной иррациональностью. Зато Леонардо пытался найти геометрическое решение этой задачи: «Удвой квадрат, образуемый диагональным сечением данного куба, и у тебя будет диагональное сечение куба вдвое большего, чем данный». Он знал, что можно удвоить исходный квадрат, построив на его гипотенузе новый квадрат, и в данном случае решил просто действовать по аналогии, но запутался[397]. Эта задача не решается при помощи циркуля и линейки.
Бился Леонардо и над другой сходной проблемой — над квадратурой круга, знаменитейшей математической задачей древности. Она состоит в следующем: нужно взять круг и, пользуясь только циркулем и линейкой, построить квадрат точно такой же площади. Именно эта задача заставила Гиппократа Хиосского придумывать, как можно превратить криволинейную фигуру в треугольник той же величины. Леонардо увяз в этой задаче на десять с лишним лет.
Теперь мы знаем, что математически решить задачу квадратуры круга можно лишь при помощи трансцендентного числа p, которое нельзя выразить в виде дроби и которое не может быть корнем многочлена с рациональными коэффициентами[398]. Поэтому решение нельзя найти, используя только циркуль и линейку. Однако настойчивые попытки Леонардо сделать это демонстрируют блеск его мысли. Однажды, очень устав после бессонной ночи, он с ликованием внес в тетрадь одну из тех памятных записей, которые он делал, отмечая свои важные математические прозрения: «В ночь святого Андрея [30 ноября] я довел до конца квадратуру круга; и когда закончилась свеча, которая горела всю ночь, и закончилась бумага, на которой я писал, задача была решена»[399]. Но ликовал он напрасно, это была ложная победа, и уже вскоре он вернулся к работе и искал другие пути решения.
Один его подход заключался в опытном вычислении площади круга. Он разбивал круг на множество узких секторов, превращал их в треугольники и вычислял площадь каждого из них. Еще он развертывал линию окружности и высчитывал ее длину. К более сложному способу его привела любовь к гиппократовым луночкам. Он нарезал круг на множество прямоугольников, которые легко было измерить, а затем использовал метод Гиппократа, чтобы найти фигуры, равновеликие по площади оставшимся криволинейным обрезкам.
Еще больше времени отнял у него другой метод: разделив круг на множество секторов, он разделил их все на треугольники и сегменты. Он сложил из получившихся полосок прямоугольник, а потом проделал то же самое с уменьшавшимися сегментами, постепенно приближаясь к бесконечно малым треугольникам. Этот процесс, по сути, предвосхитил дифференциальное и интегральное исчисление, но Леонардо не владел навыками, которые спустя два столетия позволили Ньютону и Лейбницу разработать математический анализ.
До конца жизни Леонардо зачаровывало преобразование фигур. Поля его тетрадных страниц, а порой и целые страницы, заполнены треугольниками внутри полукружий, которые, в свой черед, вписаны в квадраты, а те вписаны в круги. Он все время играл в эти игры, превращая одну геометрическую фигуру в другую, равновеликую ей по площади или объему. Он вывел 169 формул, позволявших построить квадрат с той же площадью, что у криволинейной фигуры, а на одном листе нарисовал столько примеров, что они смотрятся как образцы узоров для тканей. Даже последняя страница последней тетради Леонардо, где он оставил запись незадолго до кончины (ту самую, что заканчивается фразой «суп остывает»), вся изрисована треугольниками и прямоугольниками, площади которых он упорно вычислял и сравнивал.
Кеннет Кларк написал однажды, что эти «вычисления не интересны математикам и еще менее интересны историкам искусства»[400]. Это так, но Леонардо эти задачи казались интересными. Больше того — он был ими одержим. Пускай они и не привели ни к каким историческим открытиям в области математики, зато попытки решить их были неотделимы от его способности воспринимать и изображать движения — будь то движения птичьего крыла или воды, младенца Христа, егозящего на руках матери, или святого Иеронима, бьющего себя в грудь. А делал он это лучше, чем все художники прежних эпох.
Глава 14Природа человека
Анатомические рисунки(Первый период, 1487–1493)
В молодости, во Флоренции, Леонардо изучал анатомию человека главным образом для того, чтобы совершенствовать свое мастерство художника. Его предтеча, художник и инженер Леон Баттиста Альберти, писал, что знание анатомии жизненно необходимо художнику: ведь чтобы правильно изображать людей и животных, нужно прежде всего понимать, как они устроены внутри. «Следует сначала связать каждую кость в живом существе, затем приложить его мышцы и, наконец, целиком облечь его плотью», — писал он в трактате «О живописи», который стал настольной книгой Леонардо. «Прежде чем одеть человека, мы рисуем его голым, а затем уже облекаем в одежды, и точно так же, изображая голое тело, мы сначала располагаем его кости и мышцы, которые мы уже потом покрываем плотью так, чтобы нетрудно было распознать, где под ней помещается каждая мышца»