У одного Эйнштейна нет стандартного отклонения.
Альберт Эйнштейн распорядился в завещании, чтобы его мозг после смерти был передан исследователям, но изучение его анатомии не дало почти никаких интересных результатов[19]. Хотя мозг Эйнштейна во многих отношениях отличался от всех других, исследованных до этого, было невозможно выделить конкретные характеристики, сочетание которых сделало его гениальным. Для этого потребовалось бы изучение большого числа эйнштейнов, чтобы исследователи могли охарактеризовать типичный эйнштейновский мозг и выявить его отличия от столь же типичного мозга неэйнштейновского. Но Эйнштейн был только один, и его мозг оказался в точности таким же уникальным, как мозг любого другого человека.
Мы обычно считаем, что «средний» означает «типичный», а упоминания или изучения заслуживают отклонения от среднего. Однако очень часто это не так. По любому конкретному параметру — объему, весу, числу и глубине складок или любой другой характеристике — наш мозг так же отличается от среднего, как наш рост. Средний рост венгра — метр семьдесят пять, но мужчин именно этого роста мало. Почти все они слегка выше или ниже.
В связи с такими отклонениями от среднего статистики определяют не только среднее значение величины, которую исследуют, но и среднее отклонение от нее. На профессиональном языке статистиков этот параметр называется «стандартным отклонением». Например, рост типичного мужчины «ниже среднего» — на одно стандартное отклонение меньший среднего роста — равен 1 м 67 см, а рост типичного мужчины «выше среднего» — метр восемьдесят три. В этом смысле можно сказать, что мужчина ростом 167 см — такой же «средний», как и мужчина ростом 183 см; рост обоих отличается от среднего на одно стандартное отклонение. Строго говоря, то, что я тут описываю, не вполне точно соответствует стандартному отклонению; математики предпочитают использовать чуть более сложную формулу[20].
Из психологических исследований нам известно, что мы воспринимаем мир сквозь призму языка. Мы не считаем человека ростом 183 см поразительно высоким, как и человека ростом 167 см — удивительно низким. То, что большинство из нас считает примечательным, начинается где-то в паре стандартных отклонений от среднего. Так, рост 191 см мы считаем высоким, а уж когда со стула встанет человек, рост которого отличается от среднего на три стандартных отклонения — то есть равен 199 см, — он, несомненно, привлечет наше внимание. Но это все еще не чудо. А вот человек пятиметрового роста считался бы явлением чудесным. Его рост отличался бы от среднего более чем на сорок стандартных отклонений. Но на самом деле людей пятиметрового — и даже трехметрового — роста не существует.
Если кто-то говорит о среднем, не называя стандартного отклонения, к его словам всегда следует относиться с некоторым подозрением[21]. Такой человек вовсе не обязательно пытается нас обмануть; вполне возможно, что он говорит по незнанию. Но следует помнить, что средняя величина без стандартного отклонения дает мало информации. Взять, например, тот факт, что типичный ребенок начинает говорить в полтора года. Следует ли нам беспокоиться об умственном развитии нашей маленькой Моники, если ей уже исполнилось два года, а она все еще не научилась говорить? Если бы стандартное отклонение для возраста освоения речи равнялось паре месяцев, тогда у нас был бы повод для беспокойства. На самом деле оно составляет около полугода, так что запаздывание речевого развития Моники — вполне нормальное. Когда мама привела меня по этому же поводу к врачу, он сказал ей: «Не беспокойтесь, моя милая; он скоро наверстает упущенное».
Гений как чудо
У одного Эйнштейна нет стандартного отклонения. Он — уникальное явление, которое невозможно объяснить методами статистики. Эта же уникальность так сильно затрудняет точное определение концепции гениальности. Многие скажут, что гений — это человек с необыкновенным талантом, но талант — это другая концепция.
По счастью, талантливых людей много, так что эту концепцию можно исследовать с использованием статистических методов. Мне нравится следующее определение: иметь талант означает знать или уметь нечто, чему вы никогда не учились. Психологические исследования талантливых людей приходят приблизительно к тому же определению, возможно более профессионально сформулированному. Кого бы мы ни исследовали — лучших учеников старшей школы или золотых медалистов Международной научной олимпиады, — психологические профили талантливых личностей выходят, по сути дела, одинаковыми: чем больше человек знает за пределами того, чему он учился, тем он талантливее.
Умения людей с разными уровнями талантливости различаются словно небо и земля. Например, необычайно талантливый программист может превосходить программиста среднеталантливого на целый порядок по эффективности. Это до некоторой степени удивительно. Ситуация такая же, как если бы человек ростом 190 см оказался в десять раз более эффективным — или в десять раз более каким угодно, — чем человек ростом всего 183 см. По-видимому, разница в росте не имеет столь радикальных последствий даже для баскетболистов, для которых большой рост является преимуществом. Однако уровень таланта оказывается чрезвычайно важен.
Что же нам делать с концепцией гениальности? Возможно, она подойдет для обозначения необычайно высокого уровня талантливости. Когда говорят об «интеллекте уровня гения», этот интеллект определяют по линейной шкале: гениальность подобна обычной разумности, только гораздо больше. Но, возможно, гениальность в чем-то отличается и от разумности, и от талантливости качественно. Может быть, гения точнее определить как человека, способного придумывать такие вещи, о которых никогда не помыслят даже необычайно талантливые люди? Представим себе Ньютона или Эйнштейна, Моцарта или Пикассо.
Хотя представление о сферической Земле существовало еще в Античности, а идея о гравитации как измеримой силе восходит по меньшей мере к Галилею, то есть к концу XVI века, именно Ньютон позволил понять, как именно может быть устроено мироздание с круглой Землей и почему люди, находящиеся на ее «нижней стороне», не падают с нее — или, если они каким-то образом приклеены к поверхности Земли, как они могут жить вверх ногами, а вся их кровь не изливается им в голову. Вопрос о людях, живущих вниз головой, на самом деле был трудной загадкой. Церковь не принимала концепцию круглой Земли, вращающейся вокруг Солнца, не из одного только злобного упрямства. Дело не только в том, что такие идеи противоречили богословским догматам; на научные вопросы, которые следовали из такой космологии, также не было убедительных ответов. Ньютон разрешил это затруднение, предложив закон всемирного тяготения: идею, что одна и та же сила вызывает вращение планет вокруг Солнца и удерживает ноги человека на земле. Для этого требовался гений, способный открыть концепцию, о которой никто до него не мог и помыслить, и дать общее объяснение явлениям, казавшимся до этого и не связанными друг с другом и необъяснимыми.
В этом смысле гений кажется явлением уникальным и неповторимым — то есть, в нашей терминологии, чудом. И потому мы еще раз убеждаемся, что чудеса все же существуют, ведь время от времени, пусть и не слишком часто, рождаются ньютоны или эйнштейны. Это люди не просто необычайно талантливые. Они не только знают гораздо больше, чем выучили; они также знают нечто, чему нельзя научить, нечто выходящее за пределы самого смелого воображения их современников.
Сегодняшняя гениальная идея завтра будет общеизвестной истиной. Теорию, которую мог разработать только гений, через некоторое время будут преподавать тысячи весьма далеких от гениальности учителей. Сначала, когда идеи новы и революционны, понять их и передать новые знания может только великий учитель. Но со временем те, кого интересует эта теория, совершенствуют и упрощают ее и находят новые способы ее объяснения, которые значительно облегчают ее преподавание. В оригинале «Начала» Ньютона очень трудны для понимания. Я читал эту книгу и могу засвидетельствовать, что читать ее невозможно. Но материалы, изложенные в ней, ежегодно преподают тысячам и тысячам старшеклассников и первокурсников. Человек гениальный открывает новую территорию, а люди необычайно талантливые следуют по пути, проложенному гением. Позднее по их следам идут люди, талантливые лишь умеренно.
Я утверждал, что гений есть чудо, но мне по-прежнему нечего ответить моему другу Алексу, убежденному, что никаких чудес не бывает. Алекс сказал бы: «То, что является чудом для тебя, совсем не обязательно будет чудом для человека гораздо более талантливого». Действительно, мне кажется чудом пятиметровый прыжок в длину, но существуют спортсмены, способные прыгнуть дальше чем на восемь метров, так что даже восьмиметровый прыжок чудом не считается[22].
Было бы полезно попытаться каким-то образом выразить редкость появления чудес в численной форме. Для этого давайте посетим две воображаемых страны, в которых мы сможем узнать о тихих, спокойных средних величинах и диких, буйных крайностях. Назовем их Тихонией и Диконией, миром тихим и миром диким.
Тихония и дикония
Попробуйте угадать ответы на следующие вопросы:
Каков средний рост людей, которые выше двух метров?
Каков средний возраст людей, которые старше девяноста лет?
Каков средний чистый капитал людей с «очень крупным чистым капиталом», то есть имеющих по меньшей мере $5 млн оборотных финансовых средств? В мире порядка двадцати миллионов таких людей.
Какова средняя стоимость акционерного капитала компаний, имеющих активов более чем на $5 млрд? В последние годы в мире насчитывается от семи до восьми сотен таких компаний.
Первый и последний из этих вопросов появлялись в «Черном лебеде» Талеба. Ответов на них там, однако, не было. Мы жадничать не будем и приведем ответы на все вопросы: 203 см, 93 года, $80 млн и $27 млрд.
Из этих ответов мы начинаем видеть, что математика, действующая в первых двух вопросах, радикально отличается от той, что работает во второй паре. Хотя обе пары вопросов касаются конкретных численных данных, кажется, что они относятся к разным мирам. В чем же их отличия? Прежде всего мы замечаем, что в случае роста или возраста нет по-настоящему больших отклонений от среднего. Не бывает людей пятиметрового роста, и никто не доживает до 969 лет, возраста библейского патриарха Мафусаила. С другой стороны, вне всякого сомнения, существуют очень богатые люди — например, пресловутые братья Кох, состояние каждого из которых составляет около $40 млрд. Существуют и чрезвычайно дорогостоящие корпорации, например компания Apple, рыночная стоимость которой в августе 2012 года составила около $750 млрд. В коммерческой деятельности бывают приливы и отливы, и тремя месяцами позже стоимость Apple упала ниже $450 млрд. Такое крупное в процентном исчислении снижение было бы катастрофическим для большинства частных лиц, но компания без труда выжила и оправилась от него.
Талеб называет страну, в которой таких крупных отклонений от среднего не бывает, «Среднестаном», а то место, в котором такие чудовищные аномалии случаются, — «Крайнестаном». Я ничего не имею против названия Крайнестан, но слово «Среднестан» кажется мне неудачным. Талеб относится к Среднестану с пренебрежением. Он отвергает его методы и образ мыслей несмотря на то, что они дают вполне успешные результаты. Кажется, что внезапное превращение Ливана, бывшего в течение более чем столетия мирным и процветающим Среднестаном, в преисполненный насилия Крайнестан, свидетелем которому стал Талеб, внушило ему ненависть ко всему «среднему» и недоверие к теориям, существующим в таких местах.
Я предпочитаю называть место, не подверженное резким отклонениям, более нейтральным именем — «Тихонией». А раз уж у нас будет Тихония, то и Крайнестан можно переименовать: мы будем называть его «Диконией». В отличие от Талеба я не считаю, что наука Тихонии — это сплошное очковтирательство, и с гордостью продолжаю преподавать тихонские методы, не забывая при этом, что они применимы лишь к некоторым частям мира, а там, где они не действуют, они, как правило, вводят нас в заблуждение.
Не следует считать, что наука тихонская и наука диконская — две разные вещи. В обеих используется один и тот же научный метод, одна и та же математика. Дело лишь в том, что явления двух разных типов описываются при помощи разных математических моделей. И в обоих случаях встречается масса шарлатанства, в том числе демонстрация поражающих воображение средних значений без какого-либо упоминания о стандартных отклонениях.
Нам кажется вполне целесообразным, что биологи описывают поведение волков одной моделью, а поведение овец — другой. Одна модель относится к хищникам, живущим в дикой природе, а вторая — к травоядным сельскохозяйственным животным. У каждой из этих моделей есть область применимости, и нас не удивляет тот факт, что модель, удовлетворительно описывающую поведение волков, нельзя применить к овцам.
Хотя биологам требуются разные модели для описания волков и овец, а у физиков есть одна модель для взаимодействия субатомных частиц и другая для движения планет, все ученые придерживаются одного и того же научного метода: мы наблюдаем, проводим эксперименты, разрабатываем модели на основе экспериментальных результатов и пытаемся определить для каждой из них область применимости. Успешная модель позволяет нам предсказывать события, которые могут произойти в границах ее применимости. Иногда оказывается, что модель, разработанная для описания одного набора событий, может подойти к совершенно другой области — как происходит, например, в случае успешного применения моделей, взятых из физики, к экономическим явлениям.
Жизнь в Тихонии течет медленно и спокойно, без больших неожиданностей. Здесь нет крупных отклонений от среднего. Хотя в Тихонии есть люди высокие и низкие, люди умные и не очень умные, в ней нет ни пятиметровых великанов, ни сверхбогатых властелинов мира, ни гениев. Тем не менее в этом тихом мире происходит немало событий, и для понимания широкого спектра явлений, происходящих в нем, потребовались усилия множества талантливых мыслителей. Наше понимание Тихонии образует основу большей части нашего понимания Вселенной, и модели тихого мира не следует отбрасывать только потому, что существуют явления, которые они не в состоянии адекватно описать, — например, поведение мировой экономики в последние десятилетия.
По другую сторону границы, в Диконии, есть риск нарваться на всякое. Там можно встретить огромные отклонения от среднего — например, компанию Apple, которая даже после уменьшения капитала возглавляла в 2013 году список корпораций мира, причем по капитализации она более чем вдвое превосходила ближайших преследователей — Shell и IBM. Значения, отстоящие от среднего на сорок стандартных отклонений, встречаются в Диконии сплошь и рядом. По оценочной стоимости Apple опережает «рядовую» гигантскую корпорацию более чем в четыреста раз.
Опытные завсегдатаи пивных могут предсказать, когда начнется драка. Плавное течение разговора внезапно начинает прерываться сердитыми словами. В этот момент равновесие рушится, и уютный мир благовоспитанных посетителей бара, не лезущих в чужие дела, возмущается потасовкой. Нечто подобное происходит и в науке. Можно предсказать, что общепринятая научная модель вот-вот будет поставлена под сомнение, когда обнаруживается все больше и больше явлений, которые эта модель должна, но не может объяснить, и озадаченные ученые начинают высказывать недовольство. Именно из этой озадаченности и возникают радикально новые модели.
Нормальное распределение
Современники немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777–1855) называли его «принцем математиков»[23]. Одним из важнейших его открытий было так называемое нормальное распределение, которое называют также гауссианой, гауссовой кривой или, что менее точно, колоколообразной кривой (см. илл. 1). Нормальное распределение оказалось жизненно важным средством описания тихонских явлений. У явлений, распределенных нормально, бо́льшая часть значений находится вблизи среднего, и чем дальше мы отходим от среднего, тем более редкими становятся значения. Например, если нормальная кривая, изображенная на илл. 2, отражает распределение роста венгерских мужчин, то можно ожидать, что около двух третей (68 %) мужчин будут находиться в пределах одного стандартного отклонения от среднего роста, равного 175 см, — то есть будут иметь рост от 168 до 182 см. А отличаться от среднего более чем на три стандартных отклонения, то есть иметь рост более 196 см или менее 154 см, будут менее 0,1 %.
Греческая буква μ (мю), отмечающая середину оси абсцисс, обозначает среднее значение, или, если использовать более точный термин, математическое ожидание. Как видите, в точке μ кривая достигает максимума: это означает, что при нормальном распределении среднее значение и встречается чаще всего. Греческая буква σ (сигма) обозначает стандартное отклонение. Также можно видеть, что для 34,1 % населения измеряемая величина (например, рост) находится между средним значением и значением, превышающим среднее на одно стандартное отклонение. Еще для 34,1 % эта величина ниже среднего на одно стандартное отклонение или меньше. Кроме того, на три стандартных отклонения от среднего отличаются менее 0,2 % населения (один человек из пятисот). Так распределяются величины по гауссовой кривой. Во второй части книги я уделю некоторое время восхвалению ее описательных способностей. Сейчас же достаточно сказать, что это распределение очень хорошо моделирует многие природные явления.
Мой друг Алекс прав относительно чудес, пока речь идет о явлениях, распределенных нормально. Кривая нормального распределения спадает чрезвычайно быстро: на расстоянии четырех стандартных отклонений от среднего значение величины уже настолько близко к нулю, что зазор между кривой и осью абсцисс можно разглядеть только при помощи мощного микроскопа. На расстоянии десяти стандартных отклонений и далее не поможет и микроскоп. Лишь в одном из триллиона триллионов случаев можно ожидать отклонения от среднего, превышающего десять стандартных отклонений.
Поскольку, как выяснилось, гауссова кривая так хорошо описывает столь многие природные явления, казалось разумным применить ее и к явлениям экономическим. В конце концов статистическая идеология, на которой основано гауссово распределение, стала настолько непререкаемой догмой, что в течение приблизительно столетия создателям экономических моделей даже в голову не приходило использовать что-либо другое. Однако оказалось, что распределение Гаусса не вполне отражает механизмы, действующие в экономике. И это относится не только к экономике: за пределами области применимости этой конкретной модели лежат и многие другие явления. Во время финансового кризиса 2008 года я слышал от разных финансовых гуру, что «такого кризиса нельзя ожидать даже раз в десять тысяч лет». Хотя десять тысяч лет мне исполнится еще не скоро, я слышал такие же заявления по меньшей мере раза четыре, а то и пять — например, во время кризисов 1987 и 1998 годов, а также после 11 сентября. Видимо, что-то тут не так.
Илл. 1. Последняя банкнота достоинством в десять немецких марок (перед заменой марки на евро) с портретом Гаусса; на ней также изображена кривая нормального гауссова распределения
Илл. 2. Гауссова кривая, или нормальное распределение
(График Йожефа Бенце)
Не так тут то, что распределение Гаусса не предусматривает потрясений, возникающих, казалось бы, на ровном месте. Оно весьма хорошо предсказывает развитие событий в Тихонии, но не в состоянии справиться с бурным миром Диконии. Для описания таких кризисов нам нужна принципиально другая модель. На самом деле такие модели есть, и существуют они так же давно, как и гауссово распределение, ставшее столь надежной основой тихонской науки.
Возвращаясь к нашей аналогии с началом драки в пивной, можно сказать, что обитатели Тихонии понимают: увеличение частоты громких выкриков означает, что мирный мир Тихонии вот-вот сменится хаотическим миром Диконии. Тут почти не важно, идет ли речь о кабацких драках или экономических показателях. В обоих случаях мы находимся в пределах области применимости новой модели, которую мы создали для описания экстремальных ситуаций, возникающих в Диконии.
Наука Тихонии достигла таких высот, что ей удалось разработать модели, применимые не только к явлениям, обычным для самой Тихонии, но и к хаотическим событиям, происходящим в Диконии. В этом состоит одна из причин, по которым нам не следует пренебрегать тихонской наукой: модели Диконии были созданы наукой Тихонии. Методы остаются в точности теми же самыми. Отличаются только модели.
Распределение Коши
Портрета математика Огюстена Луи Коши (илл. 3) не встретишь на банкнотах, хотя он был изображен на французской почтовой марке, выпущенной в честь двухсотлетия со дня его рождения, а его имя можно найти в числе семидесяти двух имен французских естествоиспытателей, инженеров и математиков, выгравированных на Эйфелевой башне. Имя Коши, как и имя Гаусса, входит в число тех, что чаще всего встречаются студентам инженерных и математических факультетов. Приблизительно через 150 лет после Ньютона он устранил многие из неоднозначностей дифференциального и интегрального исчисления и придал этой науке форму, пригодную для преподавания на начальных университетских курсах.
Илл. 3. Огюстен Луи Коши (1789–1857), французский математик и физик
Кривую, которую построил Коши, можно видеть на илл. 4, и на первый взгляд она кажется очень похожей на кривую Гаусса. Когда я говорил выше, что называть распределение Гаусса «колоколообразной кривой» неточно, я как раз и имел в виду распределение Коши и многие другие кривые, форма которых также напоминает колокол. Казалось бы, ничто не заставляет предположить, что это распределение способно описывать гораздо более дикий мир, чем гауссова кривая.
При ближайшем рассмотрении оказывается, что на расстоянии трех стандартных отклонений от среднего кривая Коши не так близка к оси абсцисс, как кривая Гаусса, хотя и она подходит все ближе и ближе к оси при все бо́льших и бо́льших отклонениях. Так ли важно, насколько стремительно кривая приближается к оси абсцисс? Неужели сама природа модели, которую описывает кривая, фундаментально зависит от быстроты приближения этой кривой к нулю? Как мы вскоре увидим, это именно так.
Илл. 4. Распределение Коши
(График Йожефа Бенце)
Из всех математических и физических явлений, которые порождают кривую Коши, возможно, легче всего понять следующее. Предположим, женщина с винтовкой — назовем ее Фиби, в честь великой американской женщины-снайпера Фиби Энн Моузи, более известной под именем Энни Оукли, — стоит на некотором расстоянии — скажем, в десяти метрах — от стены, которая продолжается до бесконечности в обоих направлениях. Она закрывает глаза, крутится на месте и, остановившись под случайным углом к стене, стреляет в ту сторону, куда направлена в этот момент ее винтовка. Разумеется, в половине случаев она вообще промахнется, потому что будет стоять спиной к стене, но мы рассмотрим только те выстрелы, которые в стену попадают. Чаще всего пули будут бить в стену сравнительно недалеко от стрелка. Половина попаданий придется на 20-метровый участок, центром которого будет ближайшая к нашей героине точка стены. И если провести перпендикуляр от Фиби к этой точке, пули полетят по обе стороны от него под углом, не превышающим 45°. Поэтому самая высокая часть у кривой Коши, как и у кривой Гаусса, находится в середине. Но если винтовка Фиби окажется почти параллельно стене, то ее пуля поразит гораздо более удаленную точку. Распределение Коши описывает среднюю частоту попадания в каждую точку стены[24].
Основное различие между моделями Гаусса и Коши состоит в том, что в распределении Гаусса очень удаленные части стены оказываются в высшей степени безопасными. Если Фиби стоит в 10 м от стены и стреляет раз в секунду, причем угол, под которым она стреляет, задан нормальным распределением, то до попадания в точку, расположенную в 65 м или дальше, пройдет в среднем 10 000 лет, а в случае, если угол определяется распределением Коши, Фиби поразит отметку в 65 м в среднем всего за 21 с. Более того, достижение расстояния 1000 м или более займет в среднем всего 5 минут, 10 000 м — 52 минуты, 100 км — 9 часов, а 1000 км — всего лишь 3,6 суток. Таким образом, если при распределении Гаусса мы в безопасности уже чуть менее чем в сотне метров от винтовки Фиби, то в сценарии Коши нам не вздохнуть спокойно, даже будь мы в тысяче километров от нее.
Пули попадут в каждый участок стены — редко, но в течение разумного времени. В широко известной книге Криса Андерсона «Длинный хвост» (The Long Tail) утверждается, что в современной экономике возможности для развития бизнеса находятся именно в областях, далеких от среднего. Андерсон предлагает следующую стратегию: найти достаточно широкий канал распространения, по которому можно будет выводить на рынок не небольшое количество популярных товаров, а большое количество товаров непопулярных. В отличие от распределения Гаусса возможности, существующие вдали от среднего, совсем не столь редки. На илл. 5 показаны обе кривые на одном графике, и, посмотрев на него, можно понять, откуда взялось название книги Криса Андерсона. Хвостовая часть у кривой Коши значительно длиннее, чем у кривой Гаусса. Нельзя сказать, что один «хвост» длиннее другого — они оба продолжаются до бесконечности, — но гауссова кривая быстро становится настолько тонкой, что с практической точки зрения она, можно считать, и вовсе сходит на ноль.
Когда Коши взялся за исследование математических свойств своей кривой, он решил выяснить среднее значение распределяемой величины — в нашем случае это меткие выстрелы Фиби, оставившие отметки на стене. Ответ казался вполне очевидным: поскольку Фиби с равной вероятностью может прекратить свое вращение, глядя как влево, так и вправо, эта точка должна находиться в середине стены. Действительно, кривая симметрична, но, когда Коши попытался вычислить среднее ожидаемое значение для конечного числа выстрелов — например, десяти, ста или тысячи, — он обнаружил, что с увеличением их числа возрастает и вероятность того, что при одном из них винтовка Фиби будет направлена почти параллельно стене и пуля попадет в чрезвычайно удаленную точку, причем это попадание не будет скомпенсировано другими выстрелами. Поэтому среднее по большому числу выстрелов значение не приближается к середине стены — вместо этого оно скачет по всей оси, и на него сильно влияют попадания в очень удаленные точки[25].
Илл. 5. Распределения Гаусса и Коши
(График Йожефа Бенце)
Математик сказал бы, что распределение Коши не имеет математического ожидания. Среднее значение по большому числу выстрелов может соответствовать любой точке стены. Именно этого не происходит в распределении Гаусса. Чем больше производится выстрелов, тем ближе среднее значение распределения Гаусса оказывается к середине стены, потому что очень редкие попадания в удаленные точки компенсируются гораздо бо́льшим числом попаданий в точки, расположенные ближе к центру.
Нет у распределения Коши и стандартного отклонения. При этом отсутствие у него стандартного отклонения отличается от его отсутствия у одного Эйнштейна. На самом деле было бы точнее сказать, что у Эйнштейна есть стандартное отклонение, но оно равно нулю и, следовательно, не поддается разумной интерпретации. Распределение Коши не имеет стандартного отклонения в том смысле, что не существует столь большого числа измерений, которое позволило бы определить типичное отклонение попаданий от середины. Во всех явлениях, которые хорошо моделируются распределением Коши, стандартного отклонения не имеет не только единственный и неповторимый Эйнштейн; оказывается, что его не имеет и все население.
Концепция Коши приводит к дикому миру, в котором нельзя даже говорить о таких «очевидных» вещах, как типичное отклонение от типичного значения, — потому что ничего такого не существует: ни типичного значения (математического ожидания), ни типичного отклонения. Невозможно сказать, что является «средним». Если вам нужно среднее, вам придется оставить мир Коши и вернуться в безопасный и тихий мир Гаусса.
Поэтому можно сказать, что математика Тихонии происходит от Гаусса, а математика Диконии — от Коши. То, что редкость в Гауссовой Тихонии, может быть делом сравнительно обычным в Диконии Коши — например, выстрелы, поражающие цель далеко за пределами нашего поля зрения. Если бы человеческий рост был распределен по Коши, время от времени появлялись бы люди, рост которых доходил бы до пяти, десяти и даже тысячи метров. Во всех остальных отношениях эти люди были бы такими же, как мы, но только выросшими по случаю чрезвычайно высокими — так же как Фиби по случаю стреляет почти параллельно стене. В части III этой книги мы увидим, как распределение Коши привело к открытию некоторых странных законов Диконии.
Природа не терпит пустоты
Я оставил без ответа вопрос о том, следует ли считать гения чудом или просто человеком необычайно талантливым. Сделан ли он (сделана ли она) из того же материала, что и любой другой одаренный индивидуум? Возвращаясь к нашей метафоре, является ли гений попросту проявлением выстрела, который Фиби делает почти параллельно стене? Когда мой друг Алекс сказал, что то, что кажется чудом мне, может не казаться таковым человеку, гораздо более талантливому, он мог бы добавить: «Поскольку ты находишься сравнительно близко к середине, ты видишь не очень далеко, но человек, оказавшийся на большем расстоянии от нее, может видеть дальше; возможно, такому человеку может быть видно, что гения создал тот же стрелок, который создал и всех нас».
Пока что Алекс вполне может оставаться при своих убеждениях. Ему будет приятно узнать, что открытие Диконии подкрепляет его точку зрения: существуют явления, которые кажутся обычному разуму чудесами, но могут быть объяснены законами Диконии. Идея Диконии приемлема для Алекса, потому что это чисто научная концепция. До сих пор он был знаком только с Тихонией и безоговорочно верил в ее законы, хотя, по-видимому, не настолько, чтобы это помешало ему попытаться вывести венгерскую компанию на биржу Nasdaq.
Открытие Диконии помогло нам понять, что в тех частях мира, которые управляются диконскими законами, следует ожидать, что время от времени будут возникать чрезвычайно сильные отклонения, противоречащие здравому смыслу. До этого, когда объяснения можно было почерпнуть только из законов Тихонии, такие события считались чудесами. Но в Диконии торжествует точка зрения Алекса: такие отклонения — не чудеса, и в будущем гарантированно будут возникать другие, даже еще более крупные.
Возможно, законы Диконии лучше описывают не только миры финансов и технологий, но и мир человеческих способностей. Если это так, то, возможно, Алекс снова прав, и гениальность может быть всего лишь экстремальным проявлением талантливости в Диконии. С другой стороны, наука не просто все глубже и глубже проникала в законы дикого мира. Она установила также, что всегда будут существовать такие явления, объяснение которых выходит за пределы наших современных знаний.
Идея о том, что природа не терпит пустоты, — это древний принцип натуральной философии, восходящий по меньшей мере к Аристотелю, который утверждал, что, если попытаться удалить из некоторой области пространства всю материю, окружающая материя стремительно заполнит образовавшийся вакуум. Действительно, в нашем повседневном опыте природа рано или поздно заполняет все пустоты, по меньшей мере здесь, на Земле, где сила тяжести тянет все объекты вниз. В космическом пространстве, в котором вакуум — не исключение, а правило, дело обстоит совсем иначе. Тем не менее существуют признаки того, что нетерпимость к пустоте в той или иной форме и правда проявляется в весьма широкой области. По аналогии можно сказать, что всюду, где имеется пробел в знаниях — нечто, чего наука не может объяснить, — эта пустота неизбежно заполняется, как правило, объяснением, которое называет такое явление чудом.
Но, возможно, некоторые вещи будут считаться чудесами всегда, как бы далеко ни продвинулась наука. Я предлагаю отнести к этой категории появление гения, который, судя по многочисленным свидетельствам, во многих отношениях совершенно отличается от остальных людей. В терминах предложенной нами выше метафоры гений, возможно, аналогичен не случаю, в котором Фиби стреляет почти параллельно стене, а чему-то, вовсе не имеющему отношения к стрельбе. В таком случае гений — не удаленное от середины пулевое отверстие, но нечто принципиально иное, даже если во всех остальных отношениях гений выглядит точно так же, как и все остальные пулевые отверстия. Но если гений — всего лишь человек из плоти и крови, подобный всем остальным людям, как же гениальность может принципиально отличаться от талантливости? Я отвечу на этот вопрос и проясню введенные здесь смутные идеи в следующей главе, после разговора о «гипервещественных» числах.
Именно потому, что гений настолько сильно отличается от остальных людей, порог гениальности устанавливается так высоко. Даже Гаусса, возможно, следует считать всего лишь человеком чрезвычайно талантливым. Например, одна из его великих идей, возможность существования неевклидовой геометрии, которую он не счел достойной развития и публикации, была независимо разработана венгерским математиком Яношем Бойяи и российским ученым Николаем Ивановичем Лобачевским. Это говорит о том, что, хотя Гаусс обладал необычайным талантом, он не выдвигал идей, которых не мог вообразить никто другой. С другой стороны, Ньютон и Эйнштейн предложили новые космологии, никогда не приходившие в голову другим великим ученым и изменившие наши представления о Вселенной.
«Настоящие» чудеса
Если нам кажется естественным, что поведение волков и овец описывают разные модели, а для описания образа жизни трехиглой колюшки, вероятно, требуются модели, отличные от этих двух, то мы должны согласиться и с тем, что разные аспекты реальности тоже могут описывать радикально разные модели. Так уж устроен мир: в нем нет универсального закона для всего сразу, а если такой закон и есть, он существует на столь абстрактном уровне, что не поможет нам описать бо́льшую часть интересующих нас явлений. Даже физики, многим из которых хотелось бы сформулировать Теорию Всего, описывают одни явления при помощи распределения Гаусса, другие — при помощи распределения Коши, а третьи физические процессы — при помощи других моделей. Мир, может, и один, но проявления его бесконечно многообразны.
Биологические процессы и наша повседневная жизнь по большей части проходят — будь то легко и стремительно или медленно и трудно — в условиях Тихонии, хотя, как мы увидим далее, развитие экономики и техники, как теперь кажется, происходит по законам Диконии. Современные врачи лечат наши тихонские болезни при помощи диконской технологии. Например, всего несколько десятилетий назад лечение после инфаркта предполагало сложную операцию, за которой следовал длительный период выздоровления. Сейчас, если пациент вовремя попадает в больницу, бригада врачей вводит катетер через небольшой разрез на запястье и проводит его до закупоренной коронарной артерии, чтобы ее расширить, и пациент может вернуться к работе уже на следующий день после операции. Это тоже своего рода чудо — особенно с точки зрения пациента, для которого такой инфаркт когда-то мог стать смертельным.
Таким образом, бо́льшую часть времени мы живем в Тихонии, но диконские явления оказывают сильное влияние на нашу жизнь. Когда мы встречаемся лицом к лицу с теми аспектами мира, которые существуют по нетихонским законам, речь с большой вероятностью идет о чем-то из ряда вон выходящем. Такое столкновение с Диконией может быть опытом замечательно позитивным, как в случае выздоровления после инфаркта, но может стать и катастрофой — например, сокрушительным экономическим кризисом или внезапным цунами.
Мир Диконии — это не мир чудес. Скорее это такое место, в котором время от времени возникают огромные отклонения от среднего, соответствующие длинному и толстому «хвосту» распределения Коши. Некоторые из этих отклонений бывают такими гигантскими, настолько выходящими за рамки того, что может объяснить наш здравый смысл, что мы склонны считать их чудесами. Однако, хотя мы и признаем, что Дикония изобилует явлениями редкими и удивительными, в соответствии с нашим определением они не являются чудесами: они не уникальны и не неповторимы. Такие события могут быть очень редкими, так как нашей Фиби лишь изредка случается стрелять почти параллельно стене и попадать в точки чрезвычайно удаленные от ее середины, но мы тем не менее знаем, что рано или поздно, причем в течение некоторого обозримого времени, винтовка Фиби снова окажется развернута в направлении, близком к параллельному. В конце концов она будет нацелена даже еще ближе к параллельному направлению, и точка попадания окажется еще дальше. В мире Диконии очень трудно, даже невозможно сказать, является ли некое невообразимо странное событие истинным чудом или же попросту результатом выстрела нашей Фиби, которая по случаю оказалась развернута почти параллельно стене. Чтобы выявить фундаментальную разницу между этими двумя случаями, нам придется глубже исследовать природу Диконии, и к этой теме мы вернемся в части III.
Истинные чудеса значительно отличаются от ситуаций, в которых стрелок случайно стреляет в направлении, почти параллельном стене, и, таким образом, попадает в невообразимо далекую точку. Истинное чудо — это событие принципиально иное, нечто уникальное и неповторимое. Такие события происходят не только в Диконии, но и в Тихонии, потому что порождены не действием обычных законов природы, а чем-то радикально иным: они не противоречат законам природы, но и не являются следствием из них. Мы рассмотрим и такие истинные чудеса. В конце следующей главы я определю четыре типа чудес. Но сначала нам понадобится еще одна фундаментальная концепция.