Тот, кто вечно молод душою, никогда ничего не изучает глубоко.
В предыдущей главе мы видели, что глубокая асимметрия может порождать абсолютно симметричное гауссово распределение. Однако существуют и такие явления, распределениям которых присуща неотъемлемая асимметрия, и с этим ничего не поделаешь. Например, распределение семейных доходов (илл. 9) асимметрично, потому что у него есть жесткий нижний предел — нулевой доход, — а сверху оно не ограничено ничем. Поскольку мы не ожидаем в этом случае абсолютной симметричности распределения Гаусса, мы не считаем, что гауссова кривая должна сколько-нибудь точно описывать распределение доходов. Семейный доход определяется несколькими компонентами, и, следовательно, для доходов должен быть справедлив какой-то вариант центральной предельной теоремы. Но этому предположению, кажется, противоречит не только отсутствие симметрии. Кроме того, правая часть кривой приближается к горизонтальной оси гораздо медленнее, чем распределение Гаусса, но быстрее, чем распределение Коши, — на самом деле эта кривая больше похожа на распределение Коши, чем на гауссиану. Действительно, по двум последним столбцам можно заключить — и вполне справедливо, — что длинный хвост, начинающийся во второй половине распределения, тянется еще очень далеко. Действительно, чрезвычайно высокие доходы существуют и даже встречаются не слишком редко[47]. Значит ли это, что семейный доход — явление диконское?
Логнормальное распределение
Хотя этого не видно на первый взгляд, гауссиану все же можно использовать для описания распределения, представленного на илл. 9. Если отложить доходы по логарифмической шкале, так, чтобы расстояние от $1 до $10 по оси x было таким же, как расстояние от $10 до $100 и так далее, то кривая превратится в аккуратное, точное распределение Гаусса. Мы называем такие распределения логарифмически нормальными, или, сокращенно, логнормальными, потому что они выглядят как нормальное распределение, но в логарифмическом масштабе. Хотя действительно крупные доходы существуют, они не принадлежат к миру Диконии, потому что распределение Гаусса по-прежнему весьма хорошо их моделирует. Мы все еще не покинули пределов Тихонии.
Илл. 9. Распределение семейных доходов в США, 2010 г.
(График Йожефа Бенце, на основе данных интернет-сайта Бюро переписи населения США)
При помощи логарифмической шкалы математики сумели получить новую версию центральной предельной теоремы[48]. Если некоторая характеристика определяется несколькими слабыми компонентами, причем между этими компонентами нет достаточно сильной взаимозависимости и на одном конце распределения (левом или правом) существует естественная граница, не допускающая возникновения бо́льших или меньших значений, а на другом конце такого предела нет, то распределение этой характеристики по всей генеральной совокупности будет логнормальным.
Илл. 10. Распределение массы тела взрослых мужчин в Соединенных Штатах на 2010 г.
(График Йожефа Бенце, на основе данных интернет-сайта Cancer Network)
Масса тела является почти такой характеристикой, но все же не вполне. Разумеется, масса не может быть отрицательной, так что у нее имеется естественный нижний предел, но она ограничена и сверху, хотя верхняя граница находится дальше от среднего значения. На илл. 10 показано распределение массы тела взрослых мужчин в Соединенных Штатах на 2010 год. Этот график представляет собой нечто среднее между нормальным и логнормальным распределениями. Масса тела также принадлежит к миру Тихонии, даже если некоторые люди весят по 270 кг. Не следует считать вес таких людей чудом, так же как нельзя назвать состояние человека, имеющего миллионы долларов, чудесным богатством. Они попросту находятся на окраинах Тихонии. Это утверждение в целом соответствует истине, но, как мы увидим впоследствии, крайне большие доходы следует отнести к явлениям диконским.
Принцип Парето
Итальянский социолог и экономист Вильфредо Парето (1848–1923) также изучал распределение доходов, и именно он первым применил концепцию социальной элиты. Парето, вероятно, не был знаком с логнормальным распределением и поэтому попытался разработать для описания доходов свою собственную модель. Он получил формулу, дававшую относительно хорошее приближение наблюдаемого распределения крупных доходов, но доходам ниже среднего уровня она соответствовала хуже. По-видимому, этот недостаток его не беспокоил. Формула Парето не имеет ничего общего с формулой логнормального распределения, хотя в области больших значений кривая, которую она описывает, получается весьма похожей на кривую этого распределения.
Математики и экономисты все еще спорят о том, что́ лучше описывает реальное распределение высоких доходов — распределение Парето или логнормальное распределение[49]. Кроме того, они создали несколько других формул, которые хорошо работают в разных контекстах. Впрочем, одно не вызывает сомнений. Хотя формула распределения Парето даже проще, чем формула логнормального распределения, она не обладает всеми теми замечательными математическими свойствами, о которых мы говорили до сих пор: к ней неприменима никакая центральная предельная теорема и она не обеспечивает никакой стабильности. На взгляд математика, распределение Парето выглядит как дело рук шарлатана. Тем не менее заслуг Парето отрицать нельзя, потому что его формула непреднамеренно предсказала науку Диконии. Однако прежде, чем мы сможем существенно углубиться в этом направлении, нам нужно познакомиться с некоторыми диконскими явлениями. Хотя математики и воротили нос от формулы Парето, считая ее недостаточно строгой математически, и не интересовались практическими аспектами его работы, он открыл одно важное правило, касающееся распределения доходов. Правда, как оказалось, его выводы можно было более точно доказать в терминах логнормального распределения, чем распределения Парето.
Парето заметил, что около 80 % совокупного семейного дохода приходится приблизительно на 20 % всех семей. Илл. 9 демонстрирует, что около 20 % семей в Соединенных Штатах имеют доход более $100 000, а если поработать с данными еще немного, можно вычислить, что эти семьи действительно получают около 80 % всего годового дохода.
Парето обнаружил, что такой перекос равновесия действует не только в отношении доходов, но и в отношении размеров богатства и многих других типов ресурсов. Более того, выяснилось, что его наблюдение справедливо в применении к целому ряду, казалось бы, не связанных друг с другом явлений. В большинстве стран около 80 % населения живут приблизительно на 20 % заселенной территории. Около 80 % совокупной массы Галактики распределены среди 20 % ее звезд. Около 80 % нефтяных месторождений находятся на 20 % поверхности Земли. Около 20 % лесных пожаров уничтожают 80 % всех деревьев, сгорающих в пожарах. Этот список можно продолжать дальше и дальше[50]. Идея о том, что около 80 % результатов можно приписать всего лишь 20 % усилий, стала известна под названием принципа Парето, или «правила 80/20».
Одна из причин, по которым логнормальное распределение (такое, как мы видели в распределении доходов) не принадлежит к миру Диконии, заключается в том, что, хотя оно несимметрично, у него есть стандартное отклонение. В случае логнормального распределения, естественная граница на одном конце которого (например, нулевая нижняя граница в распределении доходов) находится приблизительно в двух стандартных отклонениях от среднего, действует правило 80/20.
Таким образом, логнормальное распределение не только образует теоретическую основу принципа Парето, но и говорит нам, в каких случаях принцип Парето применим. Если некоторое явление определяется несколькими компонентами, ни один из которых не подавляет остальные, и у его распределения существует естественный нижний или верхний предел, расположенный приблизительно в двух стандартных отклонениях от среднего, а с другой стороны естественного предела нет, то для такого явления справедлив принцип Парето. Этот набор требований кажется очень строгим, но ему соответствует на удивление широкий спектр явлений. В число конкретных примеров, которые часто приводят в руководствах по бизнесу и управлению, входят следующие:
• 20 % нашей деятельности приносят 80 % нашего дохода.
• 80 % жалоб потребителей связаны с 20 % ошибок.
• 80 % времени мы используем 20 % инструментов, имеющихся в нашем распоряжении.
• 80 % достижений спортсмена являются результатом 20 % его тренировки.
• 20 % продавцов обеспечивают 80 % продаж.
• 80 % звонков по сотовому телефону адресованы 20 % абонентов, записанных в нашей записной книжке.
• 80 % ссылок в сети ведут на 20 % всех сайтов.
• 80 % скачиваемой в сети музыки приходятся на 20 % всей музыки.
• 20 % клиентов компании обеспечивают 80 % ее дохода.
• 20 % проблем порождают 80 % убытков компании.
• И еще один, несколько более легкомысленный пример: 80 % занятий сексом приходятся на 20 % человеческой популяции. В эту статистику не включены проститутки, потому что с учетом их оказывается, что в процентном выражении часть населения, на которую приходится еще бо́льшая доля секса, становится еще меньше. Тем не менее «деловой» аспект принципа Парето можно применить и к ним: 20 % всех проституток производят 80 % суммарного дохода от предоставления сексуальных услуг.
Справедливость этих примеров зависит от нескольких факторов, в частности от того, насколько применимы в каждом случае условия центральной предельной теоремы, касающиеся логнормального распределения. Существуют ли несколько слабых компонентов? Действительно ли среди них нет доминантного? Действительно ли распределение жестко ограничено с одного конца? Правда ли, что с другого конца оно не ограничено ничем? Даже если все это действительно так, еще нужно проверить, отстоит ли естественный предел от среднего приблизительно на два стандартных отклонения. Если на все эти вопросы можно ответить утвердительно, то можно ожидать, что в данном случае будет действовать правило 80/20.
Область применимости правила 80/20
В отличие от того, что повторяют до изнеможения на курсах и в учебниках по предпринимательству из серии «Как быстро разбогатеть», принцип Парето вовсе не означает, что только на эти 20 %, дающие бо́льшую отдачу, и стоит обращать внимание. Многокомпонентный аспект логнормального распределения говорит нам, что, даже если удвоить усилия, пытаясь выжать еще больше из «важных» 20 % и пренебрегая остальными 80 %, результат не только не станет в два раза больше, но даже уменьшится, потому что эти компоненты и так уже работают с полной отдачей. От них больше ничего не добьешься. Чтобы получить дополнительный эффект, нужно сосредоточиться на оставшихся компонентах — тех 80 %, которые работают не в полную силу. Тем не менее принцип Парето полезно знать, особенно если нам нужно выбирать, куда именно приложить свои усилия.
Кроме того, логнормальное распределение ясно указывает на то, что принцип Парето далеко не универсален. Например, если естественная граница находится от среднего значения на расстоянии, меньшем двух стандартных отклонений, то менее 20 % причин будут порождать более 80 % следствий. Хороший пример такой ситуации можно найти в книгоиздательстве. Естественный нижний предел, разумеется, соответствует случаю, в котором не было продано ни одного экземпляра книги. В типичном варианте в Соединенных Штатах продаются 1–2 тысячи книг, но в то же время продажу нескольких миллионов экземпляров никак нельзя назвать редким событием.
В этом случае, когда естественный нижний предел расходится со средним менее чем на одно стандартное отклонение, из принципа Парето следует, что 20 % опубликованных книг покрывают не 80, а 97 % всех продаж[51]. Несмотря на это, издатели продолжают публиковать и остальные 80 %, и продажа нескольких тысяч экземпляров любой из опубликованных книг их вполне удовлетворяет. Помимо принципа Парето здесь также действует «длинный хвост» Криса Андерсона: увеличение прибыли приносит не более интенсивная эксплуатация малой высокодоходной доли, а усиленное внимание ко всему остальному — если у нас есть на то желание и силы или если издательство так мало, что у него в любом случае нет шансов выпустить бестселлер, который будет продаваться миллионными тиражами.
Тому, кто хочет применить принцип Парето к своей коммерческой деятельности, сперва нужно оценить свой типичный доход и типичное отклонение от него. Сделав это, можно проверить, действительно ли естественный нижний предел находится в двух стандартных отклонениях от среднего. Если это так, то действует правило 80/20. Если нет, верны будут совершенно другие цифры.
Правило 80/20 часто считают характеристикой Диконии, но на самом деле оно представляет собой прямое следствие из нормального распределения, так что целиком и полностью принадлежит Тихонии. Хотя это явление служит яркой иллюстрацией могущества тихонской науки, оно же заставляет задуматься вот о чем: если к Тихонии относится столь многое, какие же явления в ней не находятся? Что́ требует математической модели, которая описывает совершенно иной мир? В следующей главе мы увидим, что для некоторых явлений в сфере экономики действительно нужны абсолютно другие модели. Но сперва давайте исследуем еще некоторые из дальних окраин Тихонии.
Вечная молодость
В пределах Тихонии находится даже и проблема вечной молодости. На эту тему могут высказаться не только алхимики и розенкрейцеры, Питер Пэн, Дориан Грей и Хуан Понсе де Леон; знают ее и математики, и они говорят о ней на языке Тихонии. Они не пытаются остаться вечно молодыми и не спешат бежать в ногу с миром; не слишком интересует их и бессмертие. Вместо этого они заостряют внимание на более абстрактном, но и более практическом смысле этого термина, к которому можно применить средства математического анализа.
Если постановить категорически, что человек молод до тех пор, пока не достигнет определенного возраста, скажем тридцати или сорока лет, то дальше разговаривать, в сущности, не о чем. Никто не может оставаться молодым вечно. Но хронологический возраст — лишь одна из характеристик молодости и даже, возможно, не самая важная из них. Молодым также можно считать человека с долгим ожидаемым сроком жизни, и такое определение дает совершенно иную перспективу. Интуитивно не очевидно, но тем не менее справедливо, что ребенок в возрасте одного года «моложе», чем в момент рождения. Вероятность того, что новорожденный доживет, скажем, до шестидесяти, меньше, чем вероятность того, что годовалый ребенок проживет еще шестьдесят лет. В этом смысле годовалый младенец моложе. И чем дольше живет человек, тем короче становится оставшийся срок его жизни. А может быть, и нет.
Математики формулируют этот вопрос своим абстрактным образом: существует ли математический объект, не обладающий бессмертием, то есть в какой-то момент умирающий со стопроцентной вероятностью, но такой, что ожидаемая продолжительность его жизни не зависит от того, сколько он уже прожил?[52] Этот вопрос подразумевает, что даже вечно молодой организм рано или поздно умрет. В какой-то момент что-то внутри его ломается, и он умирает, но вероятность такого события не зависит от длительности жизни, прожитой организмом до этого момента. Вероятность того, что наш вечно молодой организм проживет, скажем, еще десять лет, сегодня такова же, какой она будет через год (если это существо еще будет живо), через двадцать восемь лет или через любое другое число лет. Это, разумеется, неверно в приложении к человеку. Прямо сейчас, в шестьдесят шесть, у меня больше шансов прожить еще десять лет, чем будет в девяносто четыре, то есть через двадцать восемь лет (если я к тому времени еще буду жив).
Ответ на этот вопрос таков: такой математический объект существует, и для каждой вероятности р того, что вечно молодое существо проживет еще одну единицу времени, существует, по сути дела, одна такая функция. Математики называют это распределение вечной молодости экспоненциальным распределением. На илл. 11 представлен график этого распределения при p = 2/3.
Как показано на илл. 11, через одну единицу времени (пусть это будет один год) площадь под кривой от 1 до бесконечности по оси x (заштрихованный участок) становится равна 2/3, и это означает, что у двух третей популяции продолжительность жизни составляет более одного года, то есть эти люди остаются в живых по прошествии года. Таким образом, вероятность того, что человек проживет этот первый год, действительно равна двум третьим. Аналогичным образом можно вычислить, что по прошествии двух лет в живых остаются четыре девятых популяции, то есть две трети от двух третьих исходной популяции, выживших к концу первого года, прожили еще один год. И так далее. В конце каждого года мы обнаруживаем, что две трети популяции, сумевшей остаться в живых, прожили еще год. (Если численность исходной популяции была равна А, то через t лет численность выжившей популяции будет равна A · (2/3)t.) Из-за того что переменная t стоит на месте показателя степени, эту функцию и называют экспоненциальной, то есть показательной. На самом деле математические соображения, которые привели к ее открытию, гораздо менее сложны, чем в случае распределения Гаусса, так что этот математический объект, несомненно, тоже относится к плодам математики Тихонии.
Илл. 11. Экспоненциальное распределение
(График Йожефа Бенце)
Таким образом, оказывается, что вечную молодость — по меньшей мере в математическом смысле — нельзя назвать теоретически невозможной. Но существуют ли такие объекты в реальном мире? Это уже вопрос не математический, а естественно-научный. Математика лишь говорит, что поиски таких источников вечной молодости не лишены смысла и она готова их моделировать, если только они будут найдены.
На самом деле существуют и природные, и искусственные объекты, к которым применимо это описание. Например, радиоактивная частица рано или поздно непременно должна распасться, но вероятность ее распада в течение следующих десяти минут в точности такая же, как вероятность ее распада через пять лет и десять минут, считая от настоящего момента, если ей удастся просуществовать эти пять лет. Другими словами, ожидаемое время до распада радиоактивной частицы совершенно независимо от времени ее существования. Такие частицы вечно молоды, и ожидаемая продолжительность их жизни соответствует экспоненциальному распределению.
То же описание весьма хорошо применимо и к некоторым бытовым предметам — например, к неоновой лампе. Рано или поздно (и обычно все-таки рано) любая неоновая лампа перегорает. Но ожидаемое время, остающееся до ее перегорания, не зависит от длительности ее горения. То есть теоретически уже бывшая в употреблении неоновая лампа ничем не хуже только что изготовленной. Она вечно остается молодой.
Экспоненциальное распределение полезно и для описания других явлений — например, длительности обычных телефонных разговоров. Длительность разговоров по-настоящему увлеченных сплетников распределена экспоненциально. Это означает, что, хотя даже сплетники рано или поздно вешают трубку, количество времени, в течение которого они готовы продолжать разговор, почти совершенно не зависит от того, как долго они уже проболтали. Сплетничество никогда не стареет.
Хотя вечная молодость не противоречит смертности — эти две черты прекрасно уживаются друг с другом, — в царстве биологии мы не находим вечно молодых. Организмы стареют и умирают. Почему же эволюция так и не породила нестареющего растения или животного?[53] Ответ на эту головоломку, насколько мы понимаем ее сейчас, весьма прост: стратегия выживания видов, которую выработала эволюция, использует генетическое разнообразие для обеспечения определенного уровня стабильности популяции особей перед лицом непредсказуемого воздействия среды. Другими словами, выгодно, чтобы соотношение долей разных характеристик в популяции оставалось более или менее постоянным из поколения в поколение. Если окружающая среда изменяется — но не слишком сильно, — вид обычно обладает достаточным разнообразием, чтобы некоторые особи заведомо смогли пережить такое изменение условий, даже если большинство представителей вида и погибнет. Затем выжившие размножатся и передадут своим потомкам новый набор характеристик, по всей вероятности лучше приспособленный к новым условиям. Такая стратегия требует вымирания старых генетических комбинаций (родителей) ради освобождения места для новых (детей), так что бессмертию в ней места нет.
Таким образом, разнообразие и стабильность — два важнейших фундаментальных принципа биологии — по-видимому, исключают вечную молодость. Возможно, не вечную жизнь, но определенно вечную молодость. Вечно молодое либо нестабильно, либо единообразно. Одна радиоактивная частица ничем не отличается от другой, и то же справедливо и в отношении неоновых ламп. Тот, кто вечно молод душою — то есть открыт всему в течение всей своей жизни, — платит за это дорогую цену: он никогда не приобретет ни мудрости, ни жизненного опыта.
Вечная молодость — явление с окраин Тихонии. Возможно, не так уж и важно, что она несовместима с жизнью и разнообразием. Напротив, захватывающие дух явления Диконии происходят из других источников.
События нулевой вероятности
Прежде чем мы сможем заняться наукой Диконии, нам нужно понять еще одно экстремальное явление Тихонии. Выше я упоминал, что наука, используемая в Диконии, — это та же самая традиционная наука, которая описывает Тихонию. Отличается только выбор естественно-научных и математических моделей. Дело в том, что наука — это всего лишь набор методов, принятый подавляющим большинством ученых. Именно общепринятость методов дает науке гарантию объективности — в том смысле, что справедливость научного вывода или научной теории теоретически (да и практически, в большинстве случаев) может быть независимо оценена по общепринятым стандартам.
Именно это отличает точные науки от других полезных и во многих случаях освященных временем способов познания мира — например, искусства, мистицизма, философии или религии. Получив научный результат, мы не только узнаем то, что мы только что выяснили об устройстве мира, но и точно знаем, как именно мы достигли этого результата. Несомненно, из Одиссеи или «Гарри Поттера» тоже можно узнать о мире многое. Лично я немало почерпнул из этих книг, но не могу ни точно восстановить тот путь, которым я пришел к этому знанию, ни даже выразить то, что я узнал, в численном виде. Я могу сказать только, что эти произведения достоверно рассказывают об окружающем меня мире и их чтение расширило мои познания о нем. Но я не могу даже точно сказать, что именно делает их такими достоверными; понятно только, что их достоверность — не научная. Я не могу сказать, что узнал из Одиссеи Гомера, будто боги классического пантеона вмешиваются в людские дела, а из «Гарри Поттера» — будто где-то существует тайное царство волшебства. То, что я узнал из этих книг, касается человеческих отношений, ценностей и страстей.
Более того, поскольку наука работает с моделями, мы можем понять диапазон применимости каждого конкретного результата. Никакая научная истина не есть истина абсолютная. Эти истины справедливы лишь в пределах применимости конкретной модели, в области, в которой результаты могут быть подтверждены и уточнены экспериментом. Именно поэтому модели, используемые для описания Тихонии и Диконии, могут быть радикально разными и в то же время верными — каждая в своем сегменте мира.
Чтобы мы смогли понять модели, описывающие Диконию, мне нужно упомянуть еще об одном аспекте тихонской науки. Для нее не вызывает никаких затруднений тот факт, что если вероятность некоего конкретного события равна нулю, то это не значит, что такое событие не может произойти. Это утверждение кажется противоречивым, но в его основе лежит весьма простая логика.
Представим себе, что мы ставим карандашную отметку в случайном месте листа бумаги. Вероятность того, что центр этой отметки попадет в какую-либо конкретную точку листа, равна нулю. Дело в том, что будь эта вероятность каким-либо положительным числом, назовем его х, тогда это же самое число x выражало бы и такую же вероятность попадания в любую другую точку. Но число точек на листе бумаги бесконечно, так что сумма вероятностей по всем точкам листа была бы равна не единице, как должно быть, а бесконечности. Поэтому вероятность попадания карандаша в какую-либо конкретную точку бесконечно мала — то есть равна нулю.
Но карандаш должен попасть в какое-то место листа, так что, когда мы прикасаемся карандашом к бумаге, происходит событие, имевшее за мгновение до этого нулевую вероятность. Математика Тихонии способна справиться с этой головоломкой без каких бы то ни было затруднений, хотя для того, чтобы сообразить, как нужно определить вероятность, чтобы можно было создать непротиворечивую теорию, потребовалось участие нескольких выдающихся талантов и пары-тройки гениев. Однако я не стану углубляться в технические детали их работы в этой области.
С точки зрения традиционной науки Тихонии осуществление события нулевой вероятности не означает, что произошло чудо. Или же мы можем сказать, что речь идет о мелком, повседневном чуде, относящемся к разряду того, что я назвал псевдочудесами. Таким образом, наука Тихонии способна работать не только с такими явлениями низкой вероятности, как чрезвычайно низкие или высокие доходы или вечная молодость. Она также может разбираться с событиями, которые происходят несмотря на то, что вероятность их наступления равна нулю. Именно поэтому мы то и дело сталкиваемся с псевдочудесами.
Все это важно понимать очень четко, потому что в дальнейшем мы увидим, что некоторые из чудес Диконии характеризуются не крайне малой или даже нулевой вероятностью, а отсутствием какой бы то ни было вероятности. То есть существуют такие явления, которым нельзя приписать никакой вероятности, — в том же смысле, в котором у распределения Коши нет стандартного отклонения. Это может быть связано, например, с тем, что такие события невообразимы, но произойти никак иначе они не могут. Есть множество других причин, по которым событию нельзя приписать хоть какой-либо вероятности, но оно тем не менее может произойти. Так обстояло дело со стрельбой нашей Фиби, которая могла попасть в стену в точке, находящейся почти невообразимо далеко.
Гёдель как окраина Тихонии
При обсуждении окраин Тихонии не следует забывать о теореме Гёделя, которая целиком и полностью происходит из тихонской математики, хотя и потрясла эту математику до самого основания. Она произвела поразительно необычный результат, который до того был невообразимым для многих из самых выдающихся теоретиков. Кроме того, она была с точки зрения математиков явлением в высшей степени нежелательным. В 1900 году, когда великий немецкий математик Давид Гильберт составил список наиболее насущных математических задач на наступающее столетие, одним из первых пунктов этого списка было доказательство того, что математика никогда не порождает противоречий[54]. Эту задачу Гёдель решил в своей второй теореме о неполноте, но полученный им результат был прямо противоположен ожидавшемуся. Вместо того чтобы доказать, что математика непротиворечива, он доказал, что доказать непротиворечивость математики внутри ее самой невозможно. Говорят, Гильберт рассердился, когда узнал о теореме Гёделя. Джон фон Нейман, как мы видели, просто забросил свои исследования в области логики.
До Гёделя всегда считалось самоочевидным, что для нахождения решения математической задачи требуются только достаточные способности, рассудительность и ловкость. Математик не был стопроцентно уверен, что решение существует, так как поставленная Гильбертом задача о непротиворечивости еще не была решена (не решена она и до сих пор), но у него не было причин сомневаться в том, что рано или поздно непротиворечивость математики будет доказана. После Гёделя приходится постоянно помнить о том, что решение задачи может не даваться не потому, что решающему ее не хватает ума, а потому, что задача эта — гёделева, то есть в рамках системы математики невозможно вывести ни заключенное в ней утверждение, ни утверждение обратное ему. И разумеется, появляется все больше результатов, доказывающих, что некоторые задачи действительно являются гёделевыми.
Если некоторое математическое утверждение гёделево, то математика не способна определить, истинно оно или ложно. Естественная наука, например физика или психология, возможно, сумеет установить, как обстоит дело в контексте реального мира, но математика не может дать никакого определенного ответа. Математика говорит только, что с ее точки зрения любой ответ был бы одинаково хорош — как утвердительный, так и отрицательный. Действительно, нашу математическую систему можно расширить новой аксиомой, содержащей либо само утверждение, либо его отрицание! В обоих случаях математика останется непротиворечивой (если, разумеется, она была непротиворечивой до этого), хотя разные случаи, возможно, потребуют разных математик. Например, если физики установят, что пространство обладает нулевой кривизной, математики создадут модель в форме старой доброй евклидовой геометрии. Однако если физики каким-то образом откроют, что пространство искривлено, то математики смогут предложить целый ассортимент разных неевклидовых геометрий, например разработанные Бойяи и Лобачевским. Вопрос о том, обладает ли пространство нулевой кривизной, — вопрос не математический. На самом деле физики пришли к убеждению, что кривизна пространства должна быть ненулевой.
В результате работы Гёделя математикам стало ясно, что математика не может исключить возможности параллельного существования нескольких разных математических систем, подчиняющихся разным законам. Мы уже видели, например, что цивилизации, имеющие разные концепции целых чисел, вполне могут существовать бок о бок. У некоторых цивилизаций может не быть понятия о нуле. Вспомним, что гипервещественное, бесконечно малое число 1/I тоже можно в некотором смысле считать нулем, так как оно меньше любого традиционного вещественного числа. Однако это не «настоящий» нуль, так как на это число можно делить, а с нашим традиционным нулем такую операцию проделать нельзя.
Тот факт, что некоторые явления происходят по законам Тихонии, не исключает возможности подчинения других явлений законам Диконии. Нам нужно построить науки обоих миров и тщательно обдумывать, к какому из них принадлежит то или иное конкретное явление. Так гёделевское мышление, первоклассное произведение тихонской науки, заложило основу для понимания чудес Диконии.
Изменение мировоззрения, вызванное открытиями Гёделя, позволило считать явления Диконии не менее закономерными, чем явления Тихонии. Хотя тихонская наука явила на свет распределение Коши, казавшееся странным, потому что у него нет стандартного отклонения, а также теорему Гёделя и идею об использовании опровержения G в качестве аксиомы, что привело к идее о гипервещественных числах, тихонское мышление не допускало, что такие аномальные объекты можно применить в реальном мире. Эти математические явления казались всего лишь теоретическими объектами, представляющими чисто теоретический интерес. Мы еще поговорим о том, что породило необходимость реального изучения Диконии. Первой областью, в которой потребовалось диконское мировоззрение, оказалась экономика.