Существуют вещи более хаотические, чем хаос.
Представим себе, что мы живем в Стране миллиона озер. У нас есть озера разных размеров. Самое большое имеет в ширину 75 км. Ширина второго по величине озера — 45 км, следующего за ним — 30 км. Даже тысячное по размерам озеро имеет в ширину несколько сотен метров. Разумеется, есть и сотни тысяч мелких водоемов, имеющих всего несколько метров в поперечнике, но они нас не очень интересуют[96].
Все наши озера тщательно измерены и нанесены на карту. Мы знаем размеры каждого из них. Однако за границей, в Стране ста миллионов озер, лежит неразведанная территория. Она очень похожа на нашу страну, только в сто раз больше. Мы отправляемся в исследовательскую экспедицию, собираясь пересечь неизвестное озеро в этой неизведанной стране. Из-за тумана мы не видим противоположного берега, но отважно отправляемся в путь в своей маленькой гребной лодке. Мы считаем, что у нас достаточно сил и провизии. Крайне маловероятно, чтобы нам настолько не повезло при выборе озера, что оно окажется шириной 100 км, хотя в такой большой стране могут встречаться озера и крупнее. Зная озера своей родины, мы предполагаем, что даже если озеро окажется сравнительно большим (а это, может быть, и так, потому что мы все еще не можем разглядеть противоположного берега, хотя туман редеет), его ширина тем не менее вряд ли превышает 5 км, и пересечь его будет проще простого.
Идет время: мы проплыли уже 20 км, а противоположного берега все не видно. Слегка упав духом, мы на минуту перестаем грести, чтобы обдумать положение. Сколько нам еще осталось? Если мы настроены настолько пессимистично, что думаем, что мы, возможно, имеем дело с явлением вечной молодости — экстремальным проявлением Тихонии, — то следует ожидать, что нам остается преодолеть то же расстояние, на которое мы настраивались, когда начинали свой поход, — то есть еще 5 км.
Если мы действительно находимся в Тихонии, такая точка зрения будет крайне пессимистичной, потому что в Тихонии вечная молодость не встречается на каждом шагу; очень немногое в этом мире вечно остается молодым. Гораздо чаще тихонские существа стареют. В приложении к нашей ситуации это должно означать, что чем больше мы уже миновали, тем меньше нам, предположительно, остается. Такое положение вещей кажется гораздо более вероятным. Но в Диконии существуют вещи и намного более странные, чем вечная молодость. Если все же окажется, что мы в Диконии, то чем дальше мы уже уплыли, тем больше нам, предположительно, остается проплыть! Такой вариант совершенно не обрадует экипаж нашей маленькой лодки!
Поэтому, не без некоторого трепета, мы начинаем считать. Предположим, что распределение ширины озер в этой стране такое же, как в нашей, только генеральная совокупность их в сто раз больше. Возможно, это распределение уже было диконским, но мы этого не замечали, потому что знали все озера поименно.
По мере того как мы осознаем, что чем дольше мы гребем, тем дольше нам, вероятно, грести, нас охватывает уныние. Например, если бы нам довелось проплыть 30 км по одному из озер родной страны и мы бы все еще не видели противоположного берега, мы заключили бы, что находимся на одном из двух озер — только у двух ширина превышает 30 км. Значит, нам оставалось бы пройти либо 15 км, либо 45. Таким образом, в родной стране нам осталось бы плыть в среднем 30 км, а не пять, как мы предполагали изначально. Мы понимаем также, что в нашей стране это рассуждение справедливо не только в отношении двух крупнейших озер, но и в любой точке маршрута. Рассмотрев все знакомые нам озера, мы с грустью приходим к осознанию общего правила: если мы уже прошли x км, можно ожидать, что нам остается пройти еще x км.
Распределение озер в нашей стране имеет диконский характер в том смысле, что чем больше мы прошли, тем больше нам, вероятно, остается. Следовательно, мы сталкиваемся с ситуацией гораздо худшей, чем экстремальное тихонское явление вечной молодости, не только в таком походе в чужие края, но и — как мы теперь понимаем — у себя дома.
Поскольку географические условия в этой огромной стране, по сути дела, такие же, как в нашей, у нас есть все основания полагать, что и распределение озер в ней выглядит так же, но самих озер гораздо больше. Чем дальше мы ушли, тем большее расстояние следует считать еще не пройденным. Но насколько большее? На что мы можем рассчитывать здесь, в стране огромных размеров, если, даже проплыв 75 км, мы все равно не видим берега?
Мы знаем, что дома, преодолев такое расстояние, мы должны были бы достигнуть берега, а если мы его не видим, значит, нам пора побеспокоиться о собственном душевном здоровье. Но в Стране ста миллионов озер ничто не гарантирует, что самое крупное озеро имеет в ширину всего 75 км. В такой огромной стране могут встречаться озера шириной в сотни и даже тысячи километров. Оказавшись в этой глуши, мы вынуждены заключить: нам следует ожидать, что до конца пути еще 75 км. А если мы проплывем еще 75 км и все еще не увидим берега, нам придется предположить, что до него остается еще 150 км.
Фактор Мандельброта
Но есть ли у нас основания предполагать такую простую пропорциональность? Если распределение озер хорошо моделируется с использованием математики безмасштабных сетей и соответствует распределению соединений, исходящих из каждой вершины, тогда нашу оценку можно считать обоснованной. Математика говорит, что если безмасштабная сеть оказывается хорошей моделью для распределения ширины озер, то так эту ширину и следует рассчитывать. Прямо сейчас мы можем не беспокоиться о том, действительно ли эта модель описывает распределение озер. Раз мы сами придумали Страну ста миллионов озер, просто договоримся, что так оно и есть.
Рассмотрим сеть знакомств. Предположим, каждый человек в такой сети имеет в среднем 150 знакомых. Сколько знакомых можно ожидать у человека, заведомо имеющего больше этого числа знакомств? Наше плавание к дальнему берегу озера соответствует в этом случае достижению конца списка знакомств такого человека. Таким образом, мы предполагаем, что в дополнение к уже известным нам 150 знакомым у него есть еще 150, а всего 300. А если мы знаем, что у кого-то больше 500 знакомых, можем предположить, что у него — или у нее — по меньшей мере еще 500.
Даже при использовании модели безмасштабной сети есть один параметр, который мы еще не учитывали: в случае личных отношений коэффициент пропорциональности может не быть равен 1, в отличие от примера с нашими воображаемыми озерами. Он может быть больше или меньше, смотря по тому, как именно мы построили распределение.
Возьмем другой пример: исследования показывают, что в сети знакомых, вступающих в сексуальную связь, — при учете лишь гетеросексуальных контактов, — этот коэффициент ближе к двум, а может быть, и немного больше. Правда, получение точных данных затрудняется тем фактом, что мужчины в среднем сообщают о семи половых партнерах, а женщины — всего о четырех. Это число должно быть одинаковым для обоих полов; вероятно, мужчины его преувеличивают, а женщины — преуменьшают. Также можно отметить, что в выборку были включены проститутки и «эротоманы», и это могло исказить результаты опроса — но лишь в ограниченной мере, так как по данным исследований большое различие в ответах порождается реальными когнитивными искажениями у обоих полов[97].
В любом случае установлено, что и для мужчин, и для женщин значение коэффициента составляет около 2. Следовательно, если мы знаем, что у некоторого человека было по меньшей мере четыре половых партнера, можно предположить, что их у него было еще восемь. Отметим, что это всего лишь ожидаемое значение; суммарное число действительно может быть равно четырем, но может достигать и десяти или более: утверждается просто, что среднее число дополнительных партнеров равно восьми. А если мы знаем, что у кого-то было не меньше десяти партнеров, то у этого человека (в среднем) их было приблизительно на двадцать больше. Интересно, что, если мы исключим из рассмотрения проституток и страдающих (или наслаждающихся) нимфоманией или сатириазом, коэффициент пропорциональности в сети партнеров, вступающих в сексуальную связь, падает приблизительно до 1.
Такие коэффициенты пропорциональности характерны для безмасштабных сетей и могут быть равны любому положительному числу. Назовем коэффициент пропорциональности для некоторой безмасштабной сети фактором Мандельброта этой сети. Таким образом, у любой безмасштабной сети есть фактор Мандельброта, и это число определяет основные характеристики этой сети. Математики обычно используют для описания сетей не коэффициенты пропорциональности, а степенные показатели, потому что с ними легче производить вычисления[98]. Но мы оставим свой коэффициент пропорциональности, чтобы не забираться в высшую математику.
Все это касается не только безмасштабных сетей, но и всех типов масштабной инвариантности — например, земель или озер. Чем выше фактор Мандельброта земельного участка или озера, тем большее расстояние нам предстоит преодолеть, чтобы добраться до его противоположного края, и мы должны быть к этому готовы.
Безмасштабные доходы
Предположим на минуту, что доходы (по меньшей мере по-настоящему большие) масштабно-инвариантны. Допустим, мы знаем, что годовой доход некой госпожи Счастливцевой составляет не меньше $1 млн, но точная сумма нам неизвестна. Если фактор Мандельброта для крупных доходов равен 2, то можно предположить, что наша состоятельная знакомая получает $2 млн дополнительного дохода, то есть всего $3 млн. Однако следует помнить, что речь тут идет о предполагаемых суммах. Возможно, г-жа Счастливцева действительно зарабатывает всего $1 млн в год, а может быть, все $10 млн или даже больше. А если мы знаем, что господин Богатей имеет доход не менее $10 млн, мы можем предположить, что его доход может составлять около $30 млн, опять же с широким возможным разбросом.
Тут я должен попросить извинения у Вильфредо Парето, формулу которого я назвал в главе 5 похожей на произведение шарлатана. На самом деле та формула, которую Парето использовал в попытке описать распределение доходов, однозначно определяет фактор Мандельброта (хотя преобразование оказывается на практике весьма сложным). Я отмечал, что, в отличие от логнормального распределения, формула Парето не связана сколько-нибудь осмысленным образом с другими достижениями математики и представляет собой чисто искусственное построение. Если бы во времена Парето были известны безмасштабные сети, эта оценка была бы совершенно несправедливой. Тем не менее формула Парето работает мучительно плохо в приложении к доходам ниже среднего, так что, возможно, нам не следует вовсе отказываться от такой суровой оценки, хотя Парето, сам того не зная, и предугадал науку о безмасштабных сетях.
Однако для доходов чрезвычайно высоких формула Парето дает лучшее приближение, чем логнормальное распределение, о котором мы весьма подробно говорили в главе 5. Средние и низкие доходы хорошо моделируются логнормальной кривой, и даже доходы сравнительно высокие с хорошей точностью можно считать распределенными логнормально, но с необычайно высокими доходами дело обстоит иначе. Это явление заставляет предположить, что, хотя доходы по большей части относятся к миру Тихонии, высокие доходы существуют по законам Диконии.
Американский экономист Эдвард Пол Лейзир предложил удивительное объяснение этого явления[99]. Чрезвычайно высокие доходы, утверждал он, определяются совершенно другими факторами, нежели доходы более низкие. Генеральный директор крупной фирмы зарабатывает $10 млн в год не потому, что он приносит фирме такую высокую прибыль. Его зарплата устанавливается на столь высоком уровне, чтобы стимулировать конкуренцию среди сотрудников высшего эшелона — потому что один из них, возможно, в один прекрасный день станет новым генеральным директором, — и это побуждает их работать с максимальной отдачей. Таким образом, генеральный директор получает свою астрономическую зарплату не потому, что лично ее заработал, и даже не потому, что лично мотивирует других работников, а в качестве награды за победу в соревновании за положение вожака стаи. Если высокая зарплата гендиректора действительно мотивирует нижестоящих сотрудников, это делает ее целесообразной с точки зрения акционеров, даже если сам директор мало что делает в интересах фирмы, — хотя благодаря тем качествам, которые потребовались ему для достижения этой должности, он, скорее всего, все равно служит на благо компании.
Даже если Лейзир прав и генеральным директорам назначают такие большие зарплаты, чтобы стимулировать конкуренцию среди руководителей чуть более низкого эшелона, вероятно, существует и еще одна сила, поднимающая эти зарплаты до столь астрономических уровней. Как мы видели в предыдущей главе, одна только экстремально обостренная конкуренция легко может создать диконские условия. Конкуренция, порожденная несколько более высокими зарплатами генеральных директоров, может привести к появлению еще более высоких зарплат генеральных директоров, что порождает еще более острую конкуренцию, которая приводит к еще большему увеличению зарплат. В то же время зарплаты большинства работников устанавливаются законами Тихонии и, следовательно, подчиняются логнормальному распределению, а зарплаты высшего руководства, определенные законами Диконии, регулируются масштабной инвариантностью. Возможно, именно этим соображением руководствовались швейцарские избиратели на референдуме в ноябре 2013 года, когда провалили законопроект об ограничении зарплат руководящих работников[100]. Вероятно, избиратели увидели в этом законопроекте попытку ниспровергнуть законы Диконии и решили, что его принятие было такой же глупостью, как принятие закона о снижении температуры кипения воды.
Между Гауссом и Коши
В начале этой книги, когда мы впервые столкнулись с мирами Тихонии и Диконии, мы использовали распределение Гаусса для описания Тихонии и распределение Коши для описания Диконии. На илл. 5 мы сравнили графики этих двух распределений и увидели, что кривая Гаусса приближается к оси x гораздо быстрее, чем кривая Коши, что «хвост» распределения Коши гораздо толще, чем у распределения Гаусса, и что кривая Коши тоньше и острее в середине.
С вашего разрешения я еще раз воспроизведу здесь илл. 5, чтобы ваша книга не слишком растрепалась от постоянного перелистывания взад и вперед (илл. 21). Выше мы отмечали, что радикальное различие между Тихонией и Диконией есть следствие небольшого, как кажется, математического различия между двумя распределениями. Вам, возможно, приходил в голову следующий вопрос: если нам удалось создать настолько разные миры на основе двух просто описываемых математических кривых, то почему бы не построить третью кривую, лежащую где-то между первыми двумя, чтобы создать мир, свойства которого будут промежуточными между распределениями Гаусса и Коши? Если такая мысль действительно вас посещала, значит, вы хорошо чувствуете математическое мышление. На самом деле все распределения, описывающие связи между вершинами безмасштабных сетей, оказываются где-то между Гауссом и Коши. Если Тихония характеризуется распределением Гаусса, а Дикония — распределением Коши, то масштабно-инвариантные математические объекты находятся где-то в промежутке между этими двумя случаями.
Чем меньше фактор Мандельброта безмасштабной сети, тем более распределение связей между ее вершинами приближается к распределению Гаусса. Другими словами, малые значения фактора Мандельброта соответствуют более тихим сетям. Тем не менее безмасштабная сеть никогда не бывает настолько тихой, чтобы стать предсказуемой; она всегда остается хаотичной. Тихая безмасштабная сеть описывает сравнительно тихий хаос. Верно и обратное: чем больше фактор Мандельброта сети, тем ближе распределение связей между ее вершинами оказывается к распределению Коши. Это означает, что в более диких сетях узлы крупнее, чем в более тихих.
Илл. 21. Сравнение распределений Гаусса и Коши
(График Йожефа Бенце)
Переход между распределениями Гаусса и Коши становится особенно интересным, если попытаться выяснить, имеет ли промежуточное распределение стандартное отклонение. Из того, о чем мы говорили раньше, мы помним, что у распределения Гаусса есть стандартное отклонение, а у распределения Коши его нет. Математически доказано, что у масштабно-инвариантных распределений, фактор Мандельброта которых меньше 1, есть хорошо определенное стандартное отклонение, а те, фактор Мандельброта которых больше или равен 1, его не имеют[101]. Это показывает, что весь диапазон от тихого до дикого действительно занимают безмасштабные сети. Тем не менее всякая безмасштабная сеть хаотична.
В главе 7, которая называлась «Математика непредсказуемого», я дал очень узкое определение хаоса и отметил, что существуют объекты даже более хаотичные, чем те, которые удовлетворяют нашему определению хаоса. То же можно сказать и о безмасштабных сетях. Если, например, число соединений, исходящих из каждой вершины, определяет наша снайпер Фиби, то сеть уже не будет ни безмасштабной, ни хаотической в смысле нашего определения. Получится нечто гораздо более беспорядочное. Как мы увидим в дальнейшем, в реальном мире существуют сети, не относящиеся к безмасштабным и гораздо более хаотические, чем те, которые к этому разряду относятся.
Хаос тихий и хаос дикий
Масштабно-инвариантный мир хаотичен по самой своей природе, так что ему определенно нет места в Тихонии. Как мы видели, масштабная инвариантность бывает свойственна не только сетям, но и облакам, снежинкам, кротовым ходам, папоротнику, готической архитектуре, финансовым рынкам и многим другим природным и социальным явлениям. По сравнению с Тихонией масштабно-инвариантный мир хаотичен, непредсказуем и экстремален, даже в самой «тихой» своей форме, а именно в ситуациях, в которых фактор Мандельброта близок к 0. В то же время самые «дикие» формы масштабной инвариантности, с фактором Мандельброта, равным 2 или даже больше того, представляют собой сравнительно тихие формы Диконии. По меньшей мере в них действует некий руководящий принцип — масштабная инвариантность.
Масштабно-инвариантному миру присуща своего рода умеренная или тихая дикость: в нем уже не действуют законы Тихонии, но и полноценная дикость Диконии до некоторой степени сдерживается организующим принципом. Более того, и в этом тихо-диком мире есть части более тихие и более дикие. В более тихих частях фактор Мандельброта меньше 1, в то время как у более диких, в которых этот фактор больше 1, даже нет стандартного отклонения. Если фактор Мандельброта α меньше 1, то, по мере того как мы исследуем связи некой вершины, потом — связи всех вершин, соединенных с первой, потом — связи каждой новой вершины и так далее, доля известных нам вершин растет и асимптотически приближается к 100 %. Чем меньше значение α, тем быстрее наше знание о сети приближается к стопроцентному.
Если α = 1, наше знание о данной вершине остается постоянным: доля неизвестных нам связей остается приблизительно неизменной, и число открытых новых вершин приблизительно равно числу вершин уже исследованных.
Если α > 1, то чем больше связей какой-либо вершины мы исследуем, тем больше становится доля еще не исследованных вершин. Доля известных нам соединений падает и асимптотически приближается к 0 %, потому что у вершины обнаруживаются все новые и новые связанные вершины, по большей части нам неизвестные, причем быстрее, чем мы успеваем их исследовать. Чем больше значение α, тем быстрее доля известного нам приближается к 0 %.
Фактор Мандельброта — очень изящная математическая концепция. Теоретически он представляет собой точную меру «дикости» той или иной сети. К сожалению, рассчитать этот фактор для каждой конкретной сети очень трудно, потому что это вычисление требует огромного объема данных, а в реально встречающихся сетях данные могут быть неточными и противоречивыми. Тем не менее некоторые исследователи берутся за решение этой задачи, и в нескольких недавних научных работах описываются попытки оценки фактора Мандельброта для безмасштабных сетей реального мира. В большинстве таких статей приводятся оценки какого-нибудь другого параметра сети, который можно использовать для определения фактора Мандельброта.
Некоторые из этих результатов представлены в верхней части таблицы 1 на с. 198. Поскольку реальные значения фактора Мандельброта невозможно привести с высокой точностью, я не даю никаких конкретных численных оценок. Вместо этого я разбил сети на три группы: те, у которых фактор Мандельброта существенно меньше 1 (слабо хаотичные), те, у которых он близок к 1 (пограничное состояние с точки зрения наличия или отсутствия стандартного отклонения), и те, у которых этот фактор существенно превышает 1 (следовательно, у них даже в теории не существует стандартного отклонения). Так как оценки приблизительны, принадлежность сетей к этим группам не следует считать абсолютно точной. Тем не менее эта таблица дает хорошее представление о степени дикости хаоса в различных областях.
В нижней части таблицы я перечислил несколько явлений, не относящихся к сетям, но имеющим приблизительно масштабно-инвариантное распределение, — как это было с озерами в начале этой главы. Эти примеры показывают, что масштабная инвариантность проявляется не только в структуре сетей и завораживающих геометрических свойствах фракталов, но и во многих других формах. Из таблицы можно увидеть, насколько хаотичными могут быть некоторые явления в биологии, социальных взаимодействиях, технике и экономике. Например, биологическая пищевая цепочка не относится к Тихонии, но тем не менее обладает очень слабой хаотичностью. Сеть сексуальных связей находится в противоположном конце спектра. Она даже более хаотична, чем могло бы предположить большинство людей, — хотя, если исключить из рассмотрения случаи проституции, а также сатириаза и нимфомании, оставшаяся сеть хорошо укладывается во вторую группу, что соответствует достаточно высокому уровню хаотичности.
Таблица 1. Порядок величины фактора Мандельброта для некоторых сетей и явлений
Возможно, покажется удивительным, что факторы Мандельброта природных и человеческих сетей часто близки к 1. Стоит отметить, что принцип Парето (или правило 80/20), который я описал в главе 5, справедлив при факторе Мандельброта, равном 1 (или чуть меньше). Следовательно, имеющиеся у нас сейчас результаты лишний раз подтверждают правило 80/20 и помогают определить область его действия.
Что касается случаев, в которых фактор Мандельброта больше 1, то несколько сетей и явлений, которые мы раньше считали — исходя из веских теоретических оснований — масштабно-инвариантными, оказываются в категории феноменов еще более экстремальных. Например, область человеческих талантов справедливо отнести не к умеренно дикому миру, но к миру истинно дикому, и для ее описания мы используем распределение Коши. Талант может проявляться множеством поразительно разных образов, и диапазон талантливости конкретных людей может быть на удивление широким.
Такого же рода дикость обнаруживается в списках адресатов электронной почты; они образуют сеть даже не масштабно-инвариантную, а еще более хаотичную. Это особенно интересно, потому что из нашей таблицы видно, что сам обмен сообщениями электронной почты оказывается безмасштабным, и его фактор Мандельброта не особенно велик. Гораздо более хаотичная сеть образуется за счет адресатов, с которыми мы на самом деле не переписываемся, но которые каким-то образом оказываются в нашей адресной книге. Эта более дикая сеть не фигурирует в таблице. В число других явлений, слишком диких для классификации в этой таблице, входят масштабы лесных пожаров и численность видов птиц в Америке. Дикость их распределений оказывается выше безмасштабного уровня[102].
Тихонская жизнь в Диконии
В Диконии есть сравнительно тихие — или тихо-дикие — территории, которые, в свою очередь, могут быть умеренно дикими в разной степени; этот диапазон отражается в соответствующих значениях фактора Мандельброта. Некоторые из этих территорий настолько тихи, что у соответствующих им явлений даже есть стандартное отклонение; другие могут быть настолько более дикими, что ни о каком стандартном отклонении не может быть и речи. Но у всех умеренно диких областей есть общий руководящий принцип — масштабная инвариантность.
Однако в областях по-настоящему диких не только не действуют такие основополагающие понятия статистики, как стандартное отклонение, но исчезает и масштабная инвариантность явлений. Пока что мы не знаем никакого общего руководящего принципа, который позволил бы найти хотя бы приблизительное численное выражение таких явлений. Некоторые из них достаточно хорошо моделируются распределением Коши, но само это распределение слишком дико, чтобы из него можно было получать сколько-нибудь полезные на практике предсказания.
В главе 7 мы увидели в теории хаоса луч надежды на возможность получения предсказаний. Хотя события в хаотической системе непредсказуемы, вероятность того, что некоторое определенное явление произойдет в течение заданного времени, поддается вычислению. Однако оказалось, что в вероятности появления необычных событий мало практического толку, и мы оставили надежду на получение полезных предсказаний. Тем не менее теория хаоса полезна тем, что помогает нам примириться с возможностью появления «черных лебедей» и подготавливает нашу реакцию на их возникновение. А они, вне всякого сомнения, будут возникать. Но постоянная настороженность в ожидании таких событий внесла бы полную сумятицу в нашу более или менее тихонскую повседневную жизнь. Именно поэтому эта книга посвящена не только «черным лебедям», но и чудесам всех видов. У нас за плечами накопленный за несколько тысячелетий опыт сосуществования с чудесами меньшего калибра, так что к ним мы готовы гораздо лучше, чем к «черным лебедям». Модели Тихонии и Диконии, дающие некоторое представление о принципах существования этих миров, помогают нам подготовиться к столкновению с чудесами, продолжая нашу повседневную, по большей части лишенную чудес жизнь — которую мы в основном проживаем в Тихонии, иногда на ее окраинах и лишь изредка забредая в тихо-дикие части Диконии.
Чудеса малые и великие
Одна из важных особенностей «черных лебедей» состоит в том, что они оказывают огромное влияние на мир. В этом фундаментальная разница между «черными лебедями» и большинством других чудес. Хотя любое чудо есть событие уникальное и неповторимое, оно может и не оказывать на мир заметного влияния. Бывают чудеса малые и чудеса великие, а также некоторые явления, которые мы даже не считаем чудесами.
В главе 3 я выделил три типа чудес. Мы рассмотрели конкретные примеры первого типа, типичных чудес Диконии, которые мы назвали псевдочудесами. Некоторые из них вполне удовлетворительно объясняются масштабной инвариантностью, другие лучше моделируются распределением Коши. С другой стороны, для чудес истинных и трансцендентных диконские условия не требуются, но и наука не в состоянии объяснить их — будь то из-за нынешнего состояния науки, как в случае истинных чудес, или по самому определению чудес трансцендентных.
Чудо любого из этих трех типов может быть малым, великим или даже потрясать самые основы мира. Во время исхода из Египта Моисею потребовалось чудо поистине огромное — чтобы расступились воды Чермного моря, — а одному моему другу в критический момент было достаточно найти потерянные на огромном песчаном пляже ключи от машины. Эти два события явно не одного и того же порядка, но оба они кажутся нам чудесами. На природу чуда никак не влияет его величие или ничтожность; не важно даже, замечаем ли мы его.
Масштабно-инвариантный мир, тихо-дикая часть Диконии, играет особую роль, потому что в нем порядок величины события достаточно невероятного, чтобы его можно было назвать чудом (то есть, если следовать нашей терминологии, псевдочуда), в значительной мере определяется фактором Мандельброта. Например, можно показать, что в Стране ста миллионов озер псевдочудом средних размеров является озеро пятисоткилометровой ширины.
Каждый раз, когда я рассказываю в своих лекциях о Диконии и логике чудес, кто-нибудь из слушателей непременно задает следующий вопрос: если все бо́льшая часть современного мира ведет себя по законам Диконии, то чудеса, очевидно, должны происходить все чаще и чаще. Но разве через какое-то время они не перестанут вообще считаться чудесами? И не вернет ли это нас в лишенный чудес мир Тихонии? Это рассуждение логично, но оно выдает неполное понимание масштабной инвариантности. Чудеса не станут случаться чаще, но диапазон явлений, которые считаются чудесами, станет шире, а то, что сегодня кажется чудом, завтра может стать повседневным событием. Озеро пятисоткилометровой ширины, бывшее невероятным чудом для тех из нас, кто вырос в Стране миллиона озер, еще может быть таковым и в Стране ста миллионов озер, но чудом уже сравнительно не важным. Возможно, по мере того как мы исследуем новые земли и встретим множество новых озер, мы и вовсе перестанем считать его чудом. Но если мы откроем страны еще более крупные, страны миллиарда или даже триллиона озер, то там мы рано или поздно непременно найдем озера и тысячекилометровой ширины.
Возьмем хотя бы Facebook — сеть, которая многократно возросла за минувшие годы и при этом самым радикальным образом изменила свою роль в жизни многих людей. Та функция, для которой эта платформа была изначально разработана, — поддержание связей с близкими и дальними знакомыми — сохранилась, но для многих эта система стала отдельным миром, основным источником информации и центром их социальной жизни. Это превращение стало возможным благодаря фундаментально масштабно-инвариантной природе сети Facebook.
Факторы Мандельброта сетей или других явлений, вообще говоря, не изменяются. Они остаются постоянными. Изменяются диапазоны размеров тех объектов, с которыми мы реально можем столкнуться. Но масштабная инвариантность означает по определению, что структура такой сети в крупном масштабе должна быть такой же, как и в мелком. Поэтому, если безмасштабная сеть увеличивается на порядок, частота возникновения чудес не возрастает; скорее изменяется порог восприятия очередного явления в качестве чуда.
Разумеется, этот вывод справедлив только в отношении псевдочудес, причем возникающих в умеренно диких областях Диконии. В настоящей дикой Диконии — например, в мире распределения Коши — сети и другие явления не обладают масштабной инвариантностью. Чудеса происходят там нечасто, но их качество изменяется со временем, и частота псевдочудес, порожденных всего лишь огромными отклонениями от среднего, со временем не возрастает.
Истинные чудеса, находящиеся за пределами возможностей современной науки, могут стать более или менее обыденными. По мере развития науки остается все меньше необъяснимых явлений. Однако в то же время развитие науки открывает перед нами новые горизонты, благодаря чему мы можем узнавать о явлениях, которых не замечали раньше. Когда наука решает какую-либо задачу, ее решение почти немедленно ставит новые вопросы.
Трансцендентные чудеса по определению необъяснимы в рамках существующей системы. Если такие чудеса все же существуют, они не имеют никакого отношения к различиям между Тихонией и Диконией, так что не имеет смысла спрашивать, возникают ли они чаще или реже по мере того, как Дикония захватывает все большие и большие части нашей жизни.
«Новаторский грабеж»
После всех этих разговоров о том, как Дикония играет все большую роль в нашей жизни, нам нужно спросить, так ли это на самом деле. В предыдущей главе я описал несколько факторов, которые могут вызывать к жизни диконские явления: эффект Матфея, усложнение, накопление и экстремальную конкуренцию. Ни одно из этих явлений не ново. Само название «эффект Матфея» происходит от текста, написанного две тысячи лет назад, да и остальные три фактора существуют очень давно. Экстремальная конкуренция — вспомним о дарвиновской эволюции — существует гораздо дольше, чем вид Homo sapiens.
По меньшей мере два из этих факторов усиливаются богатством человеческого воображения: я имею в виду усложнение и накопление. Человеческая фантазия никогда не боялась забираться в мир Диконии, даже в тех областях, в которых явно господствуют законы Тихонии. Если верить Библии, Мафусаил прожил 969 лет, а Ною было 600 на момент постройки ковчега — и он прожил еще 350 лет после того. Сам Всемирный потоп, насколько мы можем сказать, исходя из современных знаний, был явлением диконским: хотя наводнения, возможно, и могут быть масштабно-инвариантными, у нас нет никаких доказательств того, что потоп, подобный Ноеву, мог случиться в библейскую эпоху. Существует гипотеза, что миф о потопе описывает образование Черного моря, когда уровень моря поднялся после последнего ледникового периода и Средиземное море в конце концов прорвалось через Дарданеллы и затопило расположенный за этим проливом бассейн. Человеку, живущему даже на умеренно высоком холме, нечего опасаться дождя, идущего в течение сорока дней и ночей, и тем не менее библейский потоп затопил даже пятикилометровую вершину горы Арарат.
В основе развития цивилизованной экономики всегда были инновации, плоды человеческого воображения. Они автоматически усиливают действие всех четырех факторов, способствующих расширению Диконии. Большинство инноваций увеличивает сложность мира и диапазон доступных технологий и изделий. Инновации образуют основу для накопления знаний и, зачастую, капиталов. В экономической жизни инновации являются двигателем конкуренции. Все это вполне очевидно, но может быть не столь ясно, почему инновации также образуют основу эффекта Матфея.
Инновацию обычно считают силой позитивной, и эта точка зрения вполне разумна, потому что инновация влечет за собой появление новых, более производительных, более удобных, более полезных технологий и изделий. Но каждое нововведение порождает и проигравших — происходит своего рода новаторский грабеж. До появления каждой инновации были те, кто удовлетворял тот спрос, который благодаря этой инновации стал удовлетворяться лучше, приятнее или эффективнее. Поэтому инновации обычно порождают эффект Матфея: «Ибо всякому имеющему дастся и приумножится, а у неимеющего отнимется и то, что имеет». Вспомним нашу Марину, которой пришла в голову новаторская мысль превратить рыболовное судно в аттракцион для туристов. Возможно, ее инновация приведет к экономическому росту в местности, окружающей Маринину марину, и там появятся выигравшие — сама Марина, экскурсоводы, может быть, капитан судна — и проигравшие, а именно рыбаки, которые останутся без работы.
В нашу эпоху инновации ускоряются как никогда раньше, и потому неудивительно, что мы только начинаем чувствовать, как мир Диконии играет все более заметную роль не только в нашем воображении, но и в нашей жизни.
Тихонские модели в Диконии
В 1960-х годах, когда Мандельброт начал выступать на конференциях по экономике, он утверждал, что экономические модели, построенные на основе распределении Гаусса, следует заменить на модели, основанные на распределении Коши. Его никто не принимал всерьез. Позднее, когда Мандельброт уже открыл масштабно-инвариантный мир, его взгляды смягчились, и начиная с 1980-х годов он уже не предлагал строить экономические модели на основе дикого распределения Коши. Его устроило бы любое масштабно-инвариантное распределение. Но представители общепризнанной экономической науки (в том числе некоторые лауреаты Нобелевской премии и те, кто получил ее вскоре после этого) никак на это не соглашались. Вплоть до кризиса 2008 года никто всерьез не рассматривал возможности замены кривой Гаусса — в некоторых моделях — на масштабно-инвариантное распределение.
Большинство экономистов до сих пор не решается на столь радикальный шаг. Они полагают, что масштабно-инвариантные распределения не гарантируют, что в экономике будут существовать стабильные равновесные состояния и что, если такая модель станет нормой, это приведет к катастрофическому падению доверия к политическим и экономическим системам. Сторонники модели утверждают, что такая позиция — всего лишь проявление интеллектуальной трусости; если уж так получилось, что мир работает хаотически, то для его описания следует использовать хаотическую модель. Хотя я согласен с этим возражением, важно отдавать себе отчет в том, что выбор моделей, которые мы используем для описания мира, имеет важные практические последствия; то, как воспринимается модель общественного института, может повлиять на то, как этот институт себя ведет.
Другая причина осторожного отношения экономистов к использованию масштабно-инвариантных моделей состоит в том, что, хотя в долгосрочной перспективе такие модели могут снизить частоту экономических кризисов, они вызовут столь резкий рост цен на опционы, что фермерам и мельникам, о которых мы говорили раньше, они окажутся не по карману. Цена опционов поглотит всю их прибыль, а может, и не ограничится ею одной. В результате им придется рисковать бо́льшим, чем они могут себе позволить, и, когда случится очередной кризис, они не смогут выжить так, как смог бы профессиональный инвестор. Выше мы уже видели, что психологически инвесторы лучше подготовлены к преодолению последствий крахов, чем фермеры и мельники; далее мы увидим, как механизм «свалки богача» помогает им восстановиться после краха.
Итак, тихонские модели, возможно, приносят больше пользы практическому функционированию экономической системы, хотя и описывают реальные механизмы мира хуже, чем модели диконские. Нам следует продолжать их использовать, так же как мы продолжаем конструировать автомобили и электробытовые приборы, используя классическую ньютоновскую механику даже после открытия теории относительности и квантовой механики — потому что ньютоновская физика лучше подходит для повседневного применения. А раз модель полезна, она продолжает совершенствоваться, так же как продолжают развиваться тихонские экономические модели.
Экономика до некоторой степени хаотична, хотя ею в основном движут чисто тихонские модели, используемые подавляющим большинством инвесторов. Парадокс заключается в том, что, если бы модели тоже были хаотичны, экономика стала бы гораздо более хаотичной, чем сейчас; лучшие модели приводили бы к худшим результатам. С практической точки зрения нам, может быть, выгоднее по-прежнему использовать модели, обещающие нам определенное равновесие рынков. Диконские модели говорят нам, что крупные экономические кризисы будут происходить время от времени, гораздо чаще, чем их предсказывают модели тихонские. Но нам, вероятно, выгоднее время от времени переживать очередной непредсказанный крах, чем допустить, чтобы экономика стала еще более хаотичной, чем она уже есть. И это касается не только экономики. Как я говорил в предисловии, нам, возможно, удается поддерживать в известной степени цивилизованное общество только благодаря вере в то, что мы в известной степени цивилизованны. Мы используем тихонскую модель, хотя и принадлежим к диконскому биологическому виду (это всего лишь гипотеза, но ниже мы познакомимся с некоторыми убедительными аргументами в ее пользу).
Я не хочу сказать, что экономистам-теоретикам не следует экспериментировать с более дикими моделями, которые, возможно, описывают мир более точно. Эта работа — их интеллектуальный долг. Но в повседневной практике кажется целесообразным сохранять проверенные временем тихонские модели — хотя время от времени нас и будут заставать врасплох неожиданные биржевые крахи — и пытаться развивать эти модели так, чтобы уменьшать частоту и разрушительную силу таких катастроф[103].