Среднестатистический результат попыток оценить эти объемы показан на рисунке 33. Мы видим, что испытуемые сильно недооценили фактически необходимый прирост.
Из этого можно заключить, что, к примеру, обычный читатель газеты, которому статья сообщает об увеличении ущерба, наносимого лесу, на 20 % ежегодно, совершенно не понимает фактической информации, содержащейся в этой новости. Он думает, что понимает, но на самом деле это не так.
Испытуемым трудно задним числом оценивать уже произошедшие процессы. В своем эксперименте А. Бюркле[46] давал испытуемым цифры по добыче нефти на начало ХХ столетия, то есть на начало периода механизации. Вдобавок к этому испытуемые получали информацию о том, что с этого момента добыча нефти постоянно росла по экспоненте, то есть по формуле со сложным процентом. Испытуемых (имевших высшее образование) спрашивали, понимают ли они, как растут темпы прироста согласно этой формуле. Они отвечали утвердительно. Затем они должны были оценить дальнейший ход нефтедобычи. Результат показан на рисунке 34, и он также демонстрирует явную недооценку течения процесса.
Рис. 34. Фактический ход нефтедобычи с 1980 года и оценки, сделанные испытуемыми
Похоже, что правильная, интуитивная, не требующая предварительной подготовки оценка экспоненциальных темпов роста возможна лишь при постоянном поступлении обратной информации о том, сбываются ли сделанные прогнозы[47]. Однако это условия, в которые обычный гражданин не попадает. Он просто узнает однажды в среду из сентябрьского номера газеты, что количество заболевших СПИДом выросло на столько-то процентов. Следующую порцию информации он получает в декабре, и ему не удается объединить ее с той, что была получена в сентябре.
Несмотря на то что низкий уровень умения обращаться с нелинейными процессами демонстрируют и отдельно взятые случаи, и эксперименты, это ни в коем случае не означает, что люди не могут вести себя иначе. Вероятно, они способны правильно вести себя и в нелинейно протекающих процессах, если имеют соответствующие навыки и знают о существовании процессов с подобного рода характеристиками. К этому мы еще вернемся.
Преждевременный отбой тревоги?
В четверг 1 декабря 1988 года состоялся первый Всемирный день борьбы со СПИДом. В прессе это событие отразили следующим образом:
«СПИД в ФРГ распространяется медленнее!» (Fränkischer Tag, Бамберг, 2 декабря 1988 года.)
«Успех информационной кампании: цифры заболеваемости СПИДом резко снизились!» (Abendzeitung, Мюнхен, 1 декабря 1988 года.)
Вдобавок к этому сообщалось, что с 1982 года, когда заболевших стали подсчитывать, в ФРГ стало известно в общей сложности о 2668 случаях заболевания. Теперь время удвоения количества больных составляло 13,5 месяца против 8 месяцев в 1984 году (Fränkischer Tag от 2 декабря 1988 года).
За подобными новостями стоит мнение, будто к замедлению распространения эпидемии СПИДа привели осторожное поведение граждан, проводимая правительством разъяснительная работа, страх перед заражением или все это, вместе взятое. Однако этот вывод может оказаться ошибочным. Эпидемия СПИДа – пример того, что при оценке течения процессов во времени нужно быть очень осторожным и принимать во внимание множество обстоятельств. Мы хотели бы продемонстрировать это далее и предоставить читателю возможность самостоятельно выяснить, действительно ли из уже имеющихся данных следует, что эпидемия СПИДа «замедлилась».
Почему я пишу слово «замедлилась» в кавычках? Прежде всего само понятие «замедления» требует некоторого рассмотрения.
Под «замедлением» обычно понимают то, что некая величина со временем становится меньше. Что же уменьшается в случае со СПИДом? Употребленный в газетных новостях термин «замедление», который не получил никакого дальнейшего разъяснения, может привести некоторых людей к мысли, что уменьшилось количество заболевших или инфицированных СПИДом на единицу времени. Этот вывод напрашивается, к примеру, из заголовка статьи в Abendzeitung, который мы процитировали выше.
Однако подобный тип «замедления» вовсе не наличествует в отношении заболевания СПИДом. (Касательно инфицированных нам известны лишь те цифры, которые лаборатории должны были сообщать с осени 1987 года, поэтому неизвестно, каково соотношение между числом инфицированных, о которых сообщали лаборатории, и общим числом инфицированных; на основании лабораторных данных можно лишь сказать, что в ФРГ имеется по меньшей мере сообщенное в каждом случае количество инфицированных.)
Число новых заболеваний на единицу времени в случае со СПИДом вовсе не снизилось – скорее снизились темпы прироста заболеваемости. Это означает, что количество заболевших на единицу времени снизилось относительно уже имеющихся случаев заболевания. Темпы роста заболеваемости говорят что-то об абсолютном количестве заболевших лишь тогда, когда нам известно их исходное число. И прежде всего снижение процента увеличения заболевших ни в коем случае не означает, что снижается число заболевших или инфицированных.
10 % – это значительно меньше, чем 30 %. Однако увеличение количества пациентов со СПИДом с 10 до 40 заболевших означает прирост 300 %, тогда как увеличение с 2500 до 2750 – то есть 250 новых заболевших – означает прирост лишь 10 %. Таким образом, низкие темпы прироста вполне совместимы с высоким числом заболевших. Это банально, но некоторым приходится это объяснять.
Кроме того, важно обратить внимание на то, что замедление темпов прироста при распространении эпидемии должно наступить, и притом без всякого изменения в степени заразности и в поведении населения! Это связано просто с растущим числом инфицированных (которые не могут быть повторно инфицированы). Рисунок 35 показывает, как распространялся бы СПИД в вымышленной популяции из 1000 человек, 20 % из которых ежемесячно меняют партнеров.
Рис. 35. Распространение СПИДа в вымышленной стабильной популяции из 100 человек в соответствии с формулой (1)
Вероятность того, что кто-то в этой популяции заразится по причине совместной жизни с больным СПИДом, составляет 0,8. Рост числа инфицированных в этом случае можно рассчитать по следующей формуле:
(1) НСЗ = ИСЗ/(Н – 1) × (Н – ИСЗ) × П × ВЗ,
где
НСЗ – новые случаи заражения;
ИСЗ – уже имеющиеся случаи заражения;
Н – численность населения;
П – относительная частота смены партнеров среди населения (то есть П=0,2 означает, что 20 % населения ежемесячно ищут и находят новых половых партнеров);
ВЗ – вероятность того, что человек, проживающий с инфицированным партнером, заразится сам.
Начнем с инфицированных. Через месяц мы имеем 1 + + (1/999) × 999 × 0,2 × 0,8 = 1,16 инфицированного, через два месяца – 1,16 + (1,16/999) × 998,84 × 0,2 × 0,8 = 1,3455, через три месяца – 1,5607 и т. д. (Разумеется, дробного количества инфицированных никогда не бывает. Приведенные десятичные дроби лучше всего рассматривать как средние значения.)
При помощи формулы (1) можно определить количество новых инфицированных в каждый момент времени. (Конечно, в этой формуле имеется ряд допущений, которые необязательно считать правильными. К примеру, допускается, что выбор партнера при его поиске бывает совершенно случайным и среди населения не имеется субпопуляций с определенными предпочтениями.)
Если численность населения остается совершенно неизменной, как все прочие параметры, то согласно формуле (1) со временем рост числа заболевших подчиняется логистической функции. Формула ее выглядит так:
(2) у = 1 / (1 – exp [—a × (th – t)]),
a в этой формуле означает «крутизну» прироста, а th – время, когда заражается половина населения. Мы не будем подробно останавливаться на точных взаимосвязях между формулами (1) и (2).
В целом число инфицированных растет согласно кривой, показанной на рисунке 35. Мы видим, что в этой простой модели число инфицированных быстро растет и в конечном итоге, после все большей концентрации, становится меньше. Однако темп увеличения заболеваемости (пунктирная кривая П), как мы видим, постоянно снижается. Сначала он составляет 16 %, однако примерно к 35-му месяцу начинает резко падать, чтобы примерно к 80-му месяцу достичь 0.
Темпы роста заболеваемости в процентах вычисляются по следующей формуле:
(3) ТП = (НСЗ / ИСЗ) × 100.
Кажется, что расчет темпов увеличения заболеваемости не представляет трудностей, однако здесь имеется несколько каверзных моментов, которые нужно принимать во внимание, чтобы верно оценить снижающиеся значения. Предположим, что в 1983 году был открыт метод диагностики СПИДа. Тогда в этом году обнаружилось бы определенное количество случаев заболевания – скажем, 16. В следующем году, возможно, обнаружили бы еще 18 новых случаев – всего их было бы 34. Значит, темпы роста заболеваемости составляют (18 /16) × 100 = 112,5 %? Или нет?
«Настоящие» темпы роста заболеваемости могут быть гораздо ниже. Ведь то, что в 1983 году СПИД начали диагностировать, ни в коем случае не означает, что на тот момент не имелось уже заболевших этим недугом людей. Они точно были, но болезнь у них распознавали редко или вообще никогда. Предположим, что к 1982 году у нас было в общей сложности 100 случаев заболевания и что 16 случаев, обнаруженных в 1983 году, – это только новые случаи заболевания. Тогда темпы роста заболеваемости в 1984-м составили не 112,5 %, а всего лишь 15,51 %. Разницу между этими показателями не назовешь незначительной. Неверно предполагать, что темпы роста заболеваемости составляют 112 %, когда фактически они не дотягивают до 16 %: это самое настоящее заблуждение!
Если в каком-либо процессе принять некий прирост за начальное число и соответствующим образом рассчитать темпы роста, то с самого начала произойдет сильная переоценка скорости этого процесса, поскольку не было принято во внимание его предварительное течение. Мы предполагаем, что именно такая переоценка произошла в самом начале борьбы с эпидемией СПИДа. Как только на болезнь обратили внимание, поначалу люди наблюдали по большей части лишь увеличение числа больных. А о предыдущем течении процесса порой бывает и вовсе ничего не известно. На рисунке 35 показаны темпы роста, полученные, если за исходное число принять первый прирост заболевших – эта кривая обозначена буквой П