Однако два контрарных высказывания могут оказаться оба сразу ложными. Они будут оба сразу ложными, если между крайними случаями, которые выражаются обоими контрарными высказываниями, имеются случаи, образующие переход между ними, стоящие посередине. Между крайними утверждениями «все планеты имеют атмосферу» и «ни одна планета не имеет атмосферы» возможно третье утверждение: «некоторые планеты имеют атмосферу, а некоторые не имеют её».
Из того, что два контрарных высказывания могут оба сразу оказаться ложными, отнюдь не следует, что они во всех случаях, всегда и непременно окажутся ложными. Возможны и такие случаи, когда одно из контрарных высказываний – ложное, а другое – истинное. Так, из двух контрарных высказываний – «все планеты солнечной системы вращаются вокруг солнца» и «ни одна планета солнечной системы не вращается вокруг солнца» – первое истинно, а второе ложно.
Контрарные высказывания не бывают оба сразу ложными в случаях, когда противоположность, выражаемая общими высказываниями, может быть только крайней, т. е. когда между обоими крайними случаями, выражаемыми в обоих высказываниях, нет в действительности переходных случаев.
§ 19. 2) Если противоположность между двумя высказываниями противоречащая, т. е. одно из высказываний – общее, а другое – частное, то такие два высказывания не могут оказаться оба сразу ложными. В этом случае вступает в силу третий закон логического мышления – закон исключённого третьего.
Согласно этому закону из двух противоречащих друг другу утверждений об отношении двух понятий одно утверждение – и только одно – необходимо должно быть истинным, так что невозможно никакое третье истинное утверждение об отношении, между этими понятиями.
Так, из противоречащих друг другу утверждений об отношении понятий «дельфины» и «млекопитающие», а именно – «все дельфины – млекопитающие», «некоторые дельфины – не млекопитающие» – одно необходимо должно быть истинным. Или истинно, что «все дельфины – млекопитающие», или истинно, что «некоторые (т. е. по крайней мере некоторые) дельфины – не млекопитающие».
Так как, по закону противоречия, два противоречащих друг другу утверждения не могут быть оба сразу истинными, то истинность одного из таких утверждений означает ложность другого и – наоборот. Но этого мало. Закон исключённого третьего не только говорит, что одно из противоречащих утверждений необходимо должно быть истинным. Закон исключённого третьего говорит, кроме того, что истина лежит только в пределах этих двух утверждений. Кроме этих двух утверждений невозможно никакое третье об отношении между теми же понятиями, которое было бы истинным. В случае противоречащих суждений рассуждать приходится по схеме: «или – или. Третье не дано» (tertium non datur).
Закон исключённого третьего называется так потому, что законом этим исключается истинность какого бы то ни было третьего высказывания, кроме наших двух – утверждения и отрицания, между которыми мы и должны сделать выбор.
Законом исключённого третьего обосновывается требование, которое может быть выражено так: выбирай одно из двух противоречащих друг другу высказываний, так как одно из них непременно должно быть истинным и так как не существует никакого третьего, которое могло бы оказаться истинным вместо этих двух.
§ 20. Закон исключённого третьего, так же как и закон противоречия, не говорит, какое именно из двух противоречащих высказываний будет ложным и какое истинным. Решение этого последнего вопроса требует в каждом случае особого исследования. Закон исключённого третьего только указывает, что правильный ответ на поставленный вопрос – при условии, если самый вопрос сформулирован точно, – заключается в одном из двух противоречащих друг другу высказываний, но не отвечает на самый вопрос. Из закона этого следует необходимость выбирать одну из двух противоречащих противоположностей, но закон исключенного третьего сам по себе не указывает, какую именно. Вопрос этот в каждом особой случае требует особого рассмотрения.
§ 21. Закон исключённого третьего безусловно применим к любым двум противоречащим высказываниям. Относительно таких высказываний всегда остаётся в силе, что одно из них должно быть истинным. Но закон этот не имеет силы по отношению к контрарной противоположности. Здесь остаётся возможным, что истина не заключается ни в одном из двух противоположных высказываний, но заключается в каком-то третьем утверждении.
§ 22. 3) Если противоположные высказывания оба относятся лишь к одному единственному предмету, то такая противоположность отличается и от контрарной и от противоречащей. В то время, как в случае контрарной противоположности не исключена возможность, что оба контрарные высказывания окажутся в одно и то же время ложными, в случае противоположных высказываний об одном единственном предмете такие высказывания не могут быть оба в одно и то же время ложными» Иными словами, закон исключённого третьего распространяется на эти высказывания так же, как он распространяется ни противоречащие высказывания. Так, два высказывания – «эта звезда – Сириус» и «эта звезда – не Сириус» не могут быть оба одновременно ложными: одно из них непременно должно быть истинным.
Итак, закон исключённого третьего простирается на все противоречащие высказывания, в том числе и на противоположные высказывания об одном единственном предмете. Напротив, по отношению к контрарным высказываниям закон этот обязательной силы не имеет.
§ 23. Так как закон исключённого третьего справедлив относительно всех противоречащих высказываний, то он так же, как и закон тождества и закон противоречия, может быть выражен общей формулой. Формула закона исключённого третьего: А есть либо В, либо не - В.
Смысл этой формулы следующий. Каков бы ни был предмет нашей мысли (А), предмет этот либо обладает известным свойством (В), либо не обладает им. Невозможно, чтобы ложным было как то, что предмет А обладает свойством В, так и то, что предмет А не обладает этим свойством. Истина непременно в одном из двух противоречащих высказываний. Никакое третье высказывание об отношении А к В и к не-В не может быть истинным.
Закон достаточного основания
§ 24. Четвёртый логический закон мышления — закон достаточного основания. Закон этот выражает то качество логического мышления, которое называется доказательностью. Согласно этому закону для того, чтобы признать высказывание о предмете истинным, должно быть указано достаточное основание. Напротив, не удовлетворяющим закону достаточного основания будет всякое высказывание, в котором утверждение выставляется без указания достаточного основания, в силу которого утверждаемое утверждается.
Доказательным будет такое рассуждение или такое мышление, в которых не только утверждается истинность известного положения, но вместе с тем указываются основания, в силу которых мы не можем не признать это положение истинным. Так, математик не просто утверждает, что сумма углов внутри треугольника евклидовой геометрии равняется двум прямым углам, но доказывает это своё утверждение, т. е. показывает, что, приняв систему определений и постулатов, лежащих в основе геометрии Евклида, мы не можем не согласиться с теоремой о равенстве суммы углов внутри плоского треугольника двум прямым. Так, астроном не просто приглашает нас поверить тому, что земля имеет форму, близкую к форме шара, но доказывает это положение посредством ряда наблюдений и доводов: например, наблюдая форму земной тени, надвигающейся на диск луны во время лунных затмений, или наблюдая постепенное погружение под горизонт сначала нижних, а затем средних и верхних частей удаляющегося в открытое море корабля.
Доказательность — очень важное условие правильного логического мышления. Огромное большинство истин, составляющих содержание науки, суть истины, обоснованные посредством доказательств. Даже такие истины, которые кажутся очевидными, «сами собой разумеющимися», математика всегда стремится, насколько это возможно, доказать, т. е. привести нас к непреложному сознанию их необходимости и истинности, связать эти истины логической связью с истинами, уже ранее ею доказанными или просто принятыми в качестве исходных положений (аксиом, постулатов). Так, например, геометр не просто утверждает, что всякий круг делится диаметром на две равные части: геометр доказывает это своё утверждение. Казалось бы, что тут доказывать? Достаточно взглянуть на круг, начерченный на доске с прямой, проходящей через его центр, чтобы убедиться в очевидной истинности этой теоремы. Но геометр не доверяет этой очевидности, так как он знает, что очевидность иногда нас обманывает. Если мы станем на полотно железной дороги и будем глядеть вдаль, то мы увидим, что по мере отдаления от нас к горизонту рельсы как будто сходятся в одну точку. Это очевидно, но обманчиво. На самом деле рельсы остаются параллельными на всём протяжении пути. Но если очевидность обманула нас в одном случае, где гарантия, что она не обманет нас и в других? Именно поэтому наука стремится, не полагаясь на простую очевидность, доказать, насколько это возможно, все свои положения. Наука не есть простая сумма истинных положений. Наука есть сумма истин, достаточно обоснованных, необходимо связанных между собой.
Правила этой необходимой связи выясняются и предписываются логикой — в разделах этой науки, посвящённых выводу и доказательству в различных его видах. Но каков бы ни был особый в каждом отдельном случае способ обоснования истины, во всяком случае обоснование должно быть налицо — для того, чтобы положение могло быть признано истинным. При этом основание должно быть достаточным основанием. Обоснованный вывод — тот вывод, который получается не из каких попало положений, но из положений, способных быть действительным и