Напротив, в случаях, когда частные посылки не исчерпывают всех экземпляров класса (или всех видов рода), для переноса предиката, мыслимого о частных предметах класса (или рода), на весь класс (или род) нет достаточного основания. В таких случаях общий вывод легко может оказаться ошибочным.
Примером такого ошибочного вывода полной индукции может быть заключение древних астрономов о прямых движениях внешних планет. Астрономы эти ничего не знали о существовании внешних планет Урана, Нептуна, Плутона, а также о существовании спутников планет. Не подозревая об их существовании и зная из наблюдений над известными им тремя внешними планетами, что каждая из них по общему правилу движется относительно звёзд с запада на восток, т. е. так называемым прямым движением, астрономы эти сделали вывод, будто все внешние планеты движутся прямым движением.
Вывод этот оказался ошибочным. Его ошибочность заключалась в том, что не были приняты во внимание все входящие в класс внешних планет экземпляры этого класса. Иными словами, ошибочной оказалась посылка, утверждавшая, будто кроме Марса, Юпитера и Сатурна нет больше никаких внешних планет. В действительности оказалось, что класс внешних планет не исчерпан тремя планетами, известными древним. Более того: оказалось, что некоторые из спутников внешних планет имеют не прямые, а обратные движения. Как только был установлен этот факт, рухнуло основание для общего вывода о прямых движениях всех внешних планет.
Ошибка, состоящая в том, что неполный обзор экземпляров класса или видов рода принимается за исчерпывающий и потому рассматривается как основание для общего вывода о всём классе или обо всём роде, встречается часто. В таких случаях полная индукция оказывается мнимой полной индукцией, а её общее заключение часто оказывается ошибочным. Уверенность, что род исчерпывается всеми известными в настоящее время его видами или класс — всеми известными доселе экземплярами, часто не имеет достаточного основания.
§ 13. Указанными чертами полной индукции определяется и область её применения и её значение для знания. Полная индукция не даёт знания о других предметах, кроме тех, которые поочерёдно перечислены в частных посылках. Так, общий вывод о конических сечениях в нашем первом примере полной индукции не распространяется ни на какие новые предметы сравнительно с теми, о которых шла речь в частных посылках. Тот предикат, который каждая отдельная посылка повторно высказывала о круге, об эллипсе, о параболе и о гиперболе, не переносится в заключении ни на какие иные или новые кривые, кроме перечисленных. В этом смысле, т. е. по отношению к количеству предметов, на какие переносится общий вывод, полная индукция не даёт нового знания сравнительно с тем знанием, каким мы располагали в посылках.
Однако, не распространяясь на новые предметы, общий вывод полной индукции характеризует те же самые, предметы с некоторой новой стороны. Субъектом суждения в каждой частной посылке был каждый отдельный предмет класса (или отдельный вид рода) в качестве именно отдельного и только отдельного предмета или вида. Напротив, в общем заключении субъектом суждения оказываются те же предметы, но уже рассматриваемые в качестве не отдельных, а в качестве некоторого класса или некоторого рода, т. е. в качестве некоторой логической группы. Поэтому умозаключение полной индукции не есть пустое повторение в форме общего вывода того, что уже сполна мыслилось в частных посылках.
Научная ценность выводов полной индукции зависит от того, будут ли частные посылки, обосновывающие вывод, суждениями об отдельных предметах класса или о видах рода. Если частные посылки представляют суждения об отдельных предметах класса, то общий вывод, согласно сущности полной индукции, возможен лишь при условии, когда перечислены и рассмотрены все экземпляры, из которых состоит класс. В таких выводах число экземпляров класса, очевидно, должно быть ограниченным, так как обзор экземпляров должен быть исчерпывающим. Поэтому выводы в этом случае представляют меньшую ценность для знания.
Но если частные посылки, обосновывающие вывод, представляют суждения о видах, то ограниченность числа видов, из которых состоит род, не препятствует тому, чтобы общая сумма экземпляров, составляющих род, была неисчислимо большой. Хотя имеется всего четыре вида конических сечений, но так как каждый из них обнимает бесчисленное множество экземпляров, то и вся группа конических сечений, на которую в выводе переходит предикат частных посылок, будет группой, состоящей из бесчисленного множества экземпляров. Такие выводы, в которых известное общее свойство группы может быть отнесено к каждому из неисчислимо большого количества членов этой группы, представляют бо́льшую ценность для знания, чем выводы о группе, состоящей из ограниченного числа экземпляров.
Умозаключение от принадлежности предиката каждому из видов рода в отдельности к принадлежности этого же предиката целому роду часто применяется в доказательствах математических наук. При помощи полной индукции геометрия доказывает теорему, согласно которой всякий угол, вписанный в круг, измеряется половиной центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Геометрия доказывает, что положение это справедливо, во-первых, для случая, когда центр круга лежит между сторонами вписанного в круг угла, во-вторых, для случая, когда центр круга лежит на одной из сторон вписанного в круг угла, и, в-третьих, когда центр круга лежит вне обеих сторон вписанного в круг угла (см. рис. 65).
Рис. 65
Так как этими тремя случаями исчерпываются все возможные виды понятия вписанного в круг угла и так как доказанное положение оказывается справедливым относительно каждого из видов рода в отдельности, то отсюда геометрия заключает по методу полной индукции, что положение это будет справедливо и относительно всего рода, т. е. относительно всякого вписанного в круг угла.
§ 14. В предварительном разъяснении понятия об индукции были указаны черты, отличающие индуктивные умозаключения от силлогизмов. Там же было сказано, что наряду с чертами, отличающими индуктивные выводы от силлогизмов, имеются и общие черты между ними.
Сказанное справедливо и относительно полной индукции. Умозаключении полной индукции, отличаясь от силлогизмов, как все индуктивные выводы, способностью давать общие выводы из частных посылок, в то же время сходны с силлогизмами в трёх отношениях.
Во-первых, умозаключения полной индукции, так же как и силлогизмы, дают в отличие от других видов индукции не только вероятные, но вполне достоверные выводы. Правда, условием достоверности этих выводов является исчерпывающий обзор всех экземпляров, составляющих класс, или всех видов, составляющих род, на который в заключении переносится предикат частных посылок. Но ведь и в силлогизмах условием достоверности вывода всегда является достоверность посылок, обосновывающих вывод. Только возможность в отдельных случаях ошибочно признать недостоверную посылку за достоверную приводит к ошибочному выводу, но от этого нисколько не колеблется общее свойство силлогизмов — давать при условии достоверности посылок вполне достоверные выводы.
Точно так же ошибочное признание неполного обзора экземпляров класса или видов рода за полный их обзор приводит к ошибочному обобщению, но нисколько не противоречит тому, что при условии действительно исчерпывающего перечня всех экземпляров класса или всех видов рода заключение полной индукции, приписывающее предикат всему классу или роду, будет вполне достоверным.
§ 15. Вторая черта, сближающая полную индукцию с силлогистическими умозаключениями, состоит в том, что посылки и выводы полной индукции, в отличие от посылок и выводов других видов индукции, обычно являются суждениями о принадлежности. Так, в примере с общим выводом о конических сечениях и каждая посылка и вывод утверждают принадлежность известного свойства — способности пересекаться прямой не более чем в двух точках — не только каждому отдельному виду конических сечений, но и всему их роду. Напротив, в других видах индукции, о которых речь впереди, в заключении индуктивного вывода обычно устанавливается причинное отношение.
§ 16. В-третьих, кроме общего сходства полной индукции со всеми силлогизмами существует ещё особое сходство между выводами полной индукции и простыми категорическими силлогизмами третьей фигуры.
Общим между ними является самый ход умозаключения и основание, на которое оно опирается. И действительно, в силлогизмах третьей фигуры, так же как и в выводах полной индукции, мы имеем в заключении переход предиката с логического вида на логический род.
Например:
Все сумчатые — двуутробные.
Все сумчатые — млекопитающие.
————————————
След., некоторые млекопитающие — двуутробные.
Силлогизм этот — третьей фигуры. В нём предикат «двуутробные» переносится в заключении с «сумчатых» на «млекопитающих». Но «сумчатые», как видно из меньшей посылки, составляют по отношению к «млекопитающим» только один из видов всего рода «млекопитающих». Именно поэтому, приписывая предикат «двуутробные» роду «млекопитающих», заключение приписывает этот предикат не всему роду «млекопитающих», но лишь той части объёма этого рода, с которой совпадает объём его вида «сумчатые».
Отсюда видно, что частный характер заключений, получающихся по третьей фигуре силлогизма, ничуть не препятствует тому, что самый ход вывода по третьей фигуре состоит в переносе предиката с вида на род. Из того, что заключения третьей фигуры — всегда только частные, никак не следует, что самый ход вывода по третьей фигуре состоит в движении от рода к виду. Из этого следует только то, что, выполняя перенос предиката с вида на род, заключение переносит предикат большей посылки с вида не на весь род, но лишь на некоторую его часть.