едпринятая вслед за другими геометрами Лобачевским и так же, как и у них, неудавшаяся, привела Лобачевского к открытию, что допущение, противоречащее аксиоме о параллельных, в сочетании со всеми остальными аксиомами Евклида, будучи принято в качестве одного из исходных оснований геометрии, даёт возможность развить целую систему геометрии, которая, при всём противоречии этого основания непосредственному наглядному представлению о пространственных отношениях, нигде не запутывается во внутренних противоречиях и строго доказывает все свои предположения.
Придя к этой мысли, Лобачевский действительно развил эту систему геометрии. В геометрии Лобачевского вместо одиннадцатой аксиомы Евклида принимается другая аксиома. Согласно этой аксиоме, через точку С, лежащую вне прямой АВ, проходят две параллельные ей прямые КСК1 и LCL11. Каждый из равных острых углов DCK и DCL1 которые предположенные в геометрии Лобачевского параллели с двух сторон образуют с перпендикуляром CD, Лобачевский назвал углами параллельности в точке С относительно прямой АВ.
Лобачевский показал далее, что при исходных положениях, принятых им в качестве оснований новой геометрии, геометрия Евклида оказывается лишь частным случаем геометрии Лобачевского, а именно случаем, когда угол параллельности имеет постоянное значение и всегда равен прямому углу.
§ 38. Таким образом, аксиомы отнюдь не являются положениями очевидными в такой степени, чтобы очевидностью этой исключалась всякая возможность сомнения в их истинности и всякая необходимость требовать для них доказательства. Этим, между прочим, объясняется тот факт, что в истории математики крупнейшие учёные не раз пытались найти доказательства для некоторых аксиом. Так, философ Гоббс и философ-математик Лейбниц пытались — правда безуспешно — доказать аксиому о том, что целое больше своей части. К попыткам этого рода побуждает не только небезусловная очевидность аксиом, но также то, что при разработке математических наук всегда необходимо свести круг недоказуемых положений к возможно наименьшему числу. В сравнении с другими положениями аксиомы всё же являются наиболее очевидными утверждениями, так что усмотреть истинность аксиом легче, чем усмотреть истинность других положений, также обладающих очевидностью. Кроме того, от прочих очевидных положений аксиомы отличаются ещё тем, что они представляют наименьшую по числу совокупность положений, которые, будучи приняты данной наукой без доказательства в качестве исходных оснований этой науки, оказываются в соединении с определениями вполне достаточными для того, чтобы из них и из определений могли быть доказаны все прочий доложения науки, в том числе и некоторые положения, также обладающие очевидностью, но всё же доказуемые.
§ 39. Аксиомы иногда рассматриваются в качестве постулатов. Так называются положения, не доказываемые, так же как аксиомы, и составляющие вместе с определениями совокупность исходных оснований науки. Отличие постулата от аксиомы состоит только в том, что совокупность постулатов, полагаемых в качестве исходных оснований науки, устанавливается независимо от вопроса об их очевидности и с таким расчётом, чтобы принятые постулаты не противоречили друг другу и тем самым давали возможность развить из них также свободную от противоречий систему доказанных на их основе истин. Второе отличие аксиомы от постулата состоит в том, что аксиомы сравнительно с постулатами обладают большей общностью.
Наряду с аксиомами или постулатами в систему положений, принимаемых в качестве истинных, входят леммы. Леммой называется положение, относительно которого известно, что оно признано истинным в системе какой-либо другой науки и что оно применяется также в системе данной науки.
При этом истинность леммы может быть или непосредственно очевидной, или установленной в этой другой науке путём доказательства.
В системе физики леммами являются, например, все положения математики — независимо от того, рассматриваются они как аксиомы или же доказываются как теоремы.
Иногда различают теоремы и выведенные из них положения: следствия и дополнения. С точки зрения логики эти различия существенного значения не имеют.
§ 40. Не всякая попытка доказательства увенчивается успехом. В доказательствах, также как и в других видах логической деятельности мышления, возможны различные ошибки, лишающие доказательство его силы.
Так как всякое доказательство состоит из: 1) доказываемого тезиса, 2) оснований и 3) рассуждения, то возможные в доказательствах ошибки бывают: 1) либо ошибками относительно тезиса, 2) либо ошибками в основаниях, 3) либо, наконец, ошибками в рассуждении.
Ошибки относительно доказываемого тезиса
§ 41. Ошибки относительно доказываемого тезиса возникают в случаях, когда, несмотря на истинность и признанность оснований, а также несмотря на правильный ход умозаключений, т. е. несмотря на наличие необходимой логической связи между основаниями и заключением, само заключение не совпадает с тем тезисом, который должен быть доказан. Иными словами, ошибка здесь состоит не в том, что делают неправильный вывод, а в том, что, правильно сделав вывод из истинных оснований, ошибочно полагают, будто вывод этот есть то самое положение, которое взялись доказать, в то время как на деле вывод этот не совпадает с доказываемым тезисом и только по ошибке принимается за этот тезис.
Ошибка эта называется «подменой тезиса, который должен быть доказан», или «отступлением от тезиса», «игнорированием тезиса, который должен быть доказан».
Случаи такой ошибки весьма часты. Особенно в спорах часто можно наблюдать картину, когда, желая опровергнуть противника, опровергают не то положение, которое он на деле высказал, но совсем другое положение, о котором, однако, ошибочно думают, будто оно и есть высказанное противником положение. В таких случаях спор напоминает сражение Дон-Кихота с ветряными мельницами, принятыми им за великанов.
§ 42. Не менее часто в спорах происходит и то, что опровергнув доказательство, посредством которого противник пытался обосновать свой тезис, ошибочно полагают, будто тем самым опровергли и самый доказываемый тезис. Но, как мы уже знаем, опровержение доказательства не есть ещё опровержение доказываемого положения. Возможно, что само это положение истинно и только требует другого доказательства взамен ошибочного, посредством которого его пытались обосновать. Совершенно очевидно, что тот, кто принимает опровержение доказательства за опровержение доказываемого положения, совершает ошибку подмены доказываемого тезиса. Например, один из спорящих доказывает существование на Марсе органической жизни на том основании, что астрономами Скиапарелли и Ловелом наблюдалась на поверхности Марса сеть правильных пересекающихся и сходящихся в известных точках линий, которые были приняты Ловелом за «каналы», будто бы построенные обитателями Марса.
Другой участник спора опровергает мысль о существовании органической жизни на Марсе; ссылаясь на соображения, развитые астрономом Антониади и другими, он доказывает, что никаких правильных «каналов» на поверхности Марса не существует и что «каналы» Скиапарелли и Ловела при более тщательном исследовании оказались не правильными тонкими линиями, образующими геометрическую сеть, которая могла быть создана только трудом разумных живых существ, но рядами пятен различной ширины и различной длины, отделённых друг от друга различными расстояниями. Отсюда он делает заключение о том, что на Марсе органическая жизнь не существует.
Рассуждение это также есть пример подмены доказываемого тезиса. Ошибка здесь состоит в том, что опровержение доказательств ошибочно принимается за опровержение самого тезиса.
В спорах по вопросу о происхождении видов растений и животных ошибку подмены доказываемого тезиса постоянно делали — да и теперь делают — противники теории развития в естествознании. Основной тезис дарвинизма по этому вопросу состоит в утверждении, что все виды растений и животных развились естественным путём из одной или нескольких первоначальных форм организмов. Положение это Дарвин и его последователи доказывали, опираясь на факты случайных изменений в организмах, на выживание наиболее приспособленных и на законы наследственности. Противники учения об естественном| происхождении видов не раз пытались опровергнуть это учение, отрицая мысль Дарвина о развитии организмов из случайных изменений, закрепляемых естественным отбором и передаваемых по законам наследственности. При этом они не замечали, что впадают в ошибку подмены доказываемого тезиса. В самом деле, если бы даже оказалось, что указанные Дарвином факты (случайные вариации, естественный отбор, наследственность), отдельно взятые, сами по себе ещё недостаточны для того, чтобы с их помощью объяснить развитие организмов, доказательство их недостаточности для этой цели, разумеется, не есть ещё доказательство несостоятельности тезиса дарвинистов, состоящего в правильном утверждении, что все растительные и животные виды не существовали искони, но возникли и развивались естественным путём из одной или из нескольких первоначальных форм. И здесь доказываемый тезис подменён другим, выдаваемым за тот самый, который должен быть доказан.
§ 43. Иногда подмена доказываемого положения другим, который продолжают принимать или выдавать за доказываемый, заходит так далеко, что даже сама область, из которой почерпнуто положение, заменяющее доказываемый тезис, оказывается совершенно чуждой этому тезису. Такая разновидность подмены доказываемого тезиса называется «переходом в другой род» (буквальный перевод греческого термина «метабазис ейс алло генос»). Например, желая доказать, будто поступок, совершённый данным лицом, безукоризнен в нравственном отношении, вместо того доказывают, что поступок этот чрезвычайно умён. Здесь подмена доказываемого тезиса заходит так далеко, что действительно имеет результатом «переход в другой род»; доказательство