ЛЬЮИС КЭРРОЛЛ: Досуги математические и не только
CURIOSA MATHEMATICA, ЧАСТЬ III
КНИГА IIКороткие способы выполнения некоторых арифметических процедур
Основная идея данного способа пришла мне в голову 19 сентября 1879 года. Я размышлял над большим неудобством, возникающим при обычной процедуре умножения в столбик из-за того, что две цифры, которые требуется перемножить, часто находятся друг от друга на большом расстоянии, и о том преимуществе, каким стала бы возможность записать задачу так, чтобы все такие цифры оказывались стоящими рядом. Тогда и появилась счастливая мысль, что если написать меньшее число задом наперёд и передвигать его поверх другого числа вдоль него, то на каждом этапе такого смещения мы получим наблюдаемый непосредственно набор из пар цифр, чьи произведения потребуется только сложить друг с другом, чтобы получить единственный столбец для действия над ним уже как обычно [1].
Способ, который я вывел из этой идеи, может быть изложен следующим образом.
Записать два данных числа так, чтобы меньшее, если они неравной длины, располагалось над большим, а их разряды единиц были совмещены по вертикали. Провести под нашими числами черту. На отдельной полоске бумаги записать верхнее число задом наперёд, пометив сверху его разряд единиц. Прикрыть этой полоской бумаги верхнее из наших чисел, совместив разряды единиц [чисел, оставшихся видимыми,] по вертикали. Обозрев эту пару цифр, записать цифру разряда единиц их произведения прямо под чертой и по вертикали с меткой, а цифру разряда десятков — ещё ниже и на одну позицию левее. Сместить полоску на одну позицию влево. Обозрев две пары цифр, которые выстроились по вертикали теперь, просуммировать их произведения, начиная с той пары, что стоит правее, и записать цифру разряда единиц результата прямо под чертой и по вертикали с меткой, а цифру разряда десятков ещё ниже и на одну позицию левее. Снова сместить полоску и действовать как ранее.
Конкретный пример прояснит дело. Пусть даны числа 574 и 3891. Запишем их, как здесь показано, проведём снизу черту и запишем число 574 на отдельной полоске бумаги, поставив метку поверх цифры 4.
Прикроем нашей полоской верхнее число, так чтобы метка оказалась прямо над разрядом единиц нижнего числа.
Обозрев располагающуюся вертикально пару цифр, говорим: «36» и вписываем цифру 6 под чертой и вертикально с меткой, а цифру 3 ещё ниже и на одну позицию левее.
Смещаем полоску бумаги на одну позицию влево.
Обозрев две располагающиеся вертикально пары цифр, говорим: «63 и 4 будет 67». Вписываем 7 и 6.
Смещаем полоску бумаги на одну позицию влево.
Обозрев три располагающиеся вертикально пары цифр, говорим: «45 и 7 будет 52, да 32 будет 84». Вписываем 4 и 8.
Смещаем полоску как ранее.
Обозрев три располагающиеся вертикально пары цифр, говорим: «5 и 56 будет 61, да 12 будет 73». Вписываем 3 и 7.
Смещаем полоску как ранее.
Обозрев две располагающиеся вертикально пары цифр, говорим: «40 и 21 будет 61». Вписываем 1 и 6.
Смещаем полоску как ранее.
Обозрев вертикальную пару цифр, говорим: «15». Вписываем 5 и 1.
Теперь удаляем полоску бумаги, проводим внизу черту и складываем вместе две полученные строки.
Читатель заметит, что действие при каждой позиции нашей полоски бумаги — вещь совершенно обособленная, осуществляемая сама по себе безотносительно к остальной части решения. Следовательно, при возникновении сомнения насчёт какой-либо отдельной цифры в ответе, те цифры, суммой которых она является, могут быть проверены сами по себе; например, если у нас есть подозрение, что цифра 9 неверна, мы можем проверить цифру 7, стоящую прямо над ней, помещая полоску бумаги в позицию восьмого этапа наших выкладок, а затем и цифру 1, стоящую над 7, поместив полоску в позицию десятого этапа.
Когда верхнее из двух данных чисел содержит не более четырёх или пяти цифр, действовать согласно вышеизложенному Правилу сравнительно легко, но при по-настоящему длинном верхнем числе окажется удобным проходить каждый ряд произведений дважды — первый раз суммируя их разряды единиц и занося разряд единиц результата в верхнюю строку решения, а затем суммируя их разряды десятков. Так, ход рассуждения для шестого этапа может быть следующим: «5 и 7 будет 12, да 2 будет 14». Заносим 4, 1 в уме. «5 и 3 будет 8». Вписываем 8 [2].
При действии по такому видоизменённому способу в голове рождается следующее Правило.
Собирая разряды единиц набора произведений пар цифр, помнить, что если один из членов пары равен 1, то разряд единиц равен другому [члену пары]; если один [из них] равен 5, то разряд единиц будет 5 либо 0 соответственно тому, чётным или нечётным будет другой; если один [из них] равен 9, разряд единиц равен 10 минус другой.
Собирая десятки, помнить, что если один из членов пары равен 1 или если сумма двух членов меньше 7, то разряд десятков отсутствует; если один [из членов пары] равен 5, то разряд десятков равен количеству двоек, содержащихся вдругом; если один [из них] есть 9, то разряд десятков равен другому минус 1.
Во многих случаях такие задачи на умножение длинных чисел требуют суммирования только двух строк [под чертой]; когда же появляется набор произведений, чья сумма содержит три цифры, возникает нужда в третьей строке; когда сумма набора произведений содержит четыре цифры — то в четвёртой, но такое возникает только в том случае, когда меньшее из чисел содержит по меньшей мере тринадцать цифр; а когда сумма произведений содержит пять цифр — нужен пятый ряд, но такое происходит, лишь если меньшее число содержит по крайней мере сто двадцать четыре цифры, а потому превышает триллион секстиллионов!
Данный способ легко приложим и к перемножению десятичных дробей; нужно лишь для начала поместить полоску бумаги так, чтобы метка пришлась строго по вертикали над тем разрядом десятичных, на который требуется перенести действие. Я приведу здесь два примера, выделив из хода решения каждого, во-первых, сам пример в его исходной записи; во-вторых, стадию прямо перед тем, как полоска будет смещена первый раз; в-третьих, конечное состояние — перед тем как полоска будет убрана; и в-четвёртых, итог складывания.
Следовательно, ответ в первом примере будет 0,0080 с точностью до четвёртого знака; во втором примере ответ, с точностью до второго знака, будет 16211446,27.
§1. Делитель вида (10n ± 1) [3]
Год назад я обнаружил один любопытный [4] факт: если поставить «0» над разрядом единиц некоторого данного числа, которому случится быть кратным 9, и вычесть во всю длину, всякий раз ставя разность над следующей цифрой, то конечное вычитание даст 0 в остатке, а верхний ряд, по отбрасывании его конечного нуля, оказывается «частным-9» данного числа (то есть, частным от деления данного числа на 9).
Обнаружив этот факт, я тот час пришёл, по аналогии, к открытию того, что если поставить 0 под разрядом единиц некоторого данного числа, которому случится быть кратным 11, и действовать подобным образом, мы придём к подобному же результату.
В каждом случае я получал частное от деления столбиком более коротким и простым способом вычитания; но поскольку к этому результату можно было придти лишь в том (сравнительно редком) случае, когда данное число оказывалось точным кратным 9 или 11, это открытие виделось более любопытным, чем полезным.
Позднее я стал рассматривать случаи, когда данное число не было точным кратным. Я нашёл, что конечное вычитание при этом приносило некоторое число, иногда сразу являвшееся действительным остатком, получаемым от деления, но в любом случае дающее заготовку для нахождения такого остатка. Но поскольку оно не приносило частного (кроме как посредством некоторой весьма «экстравагантной» процедуры, значительно более длинной и трудоёмкой, чем подлинное деление), это открытие также не подлежало практическому применению.
Но совсем недавно мне пришло на ум выяснить, что будет, если после нахождения остатка поместить этот последний вместо того нуля над или под разрядом единиц, а затем вычесть как ранее. Меня поразило открытие того факта, что прежний результат повторился: конечное вычитание принесло 0 в остатке, а новая строка, по отбрасывании её разряда единиц, оказалась требуемым частным.
Существует, далее, более короткая процедура получения «остатка-9» и «остатка-11» некоторого данного числа, чем моё правило вычитания (процедура нахождения «остатка-11» есть ещё одно моё открытие). Усвоив её, я 28 сентября 1897 года довёл моё правило до завершения (я записал точную дату, поскольку это так приятно — быть открывателем новой и, как я надеюсь, практически полезной истины).
(1) Правило нахождения частного и остатка от деления данного числа на 9.
Чтобы найти «остаток-9», суммируем цифры; затем суммируем цифры результата и так далее, пока не останется единственная цифра. Если она будет меньше 9, это и будет искомый остаток; если это будет 9, искомый остаток равен нулю.
Чтобы найти «частное-9», проводим черту под нашим числом и ставим его «остаток-9» под разрядом единиц; затем вычитаем верхнее из нижнего, ставя разность под следующей цифрой, и так далее. Если крайняя левая цифра нашего числа меньше, чем 9, при её вычитании мы должны получить в остатке 0; если же она равна 9, мы должны получить в остатке 1, поставить в нижнюю строку да вычесть 1 заимствованное, что даёт в остатке 0. Теперь отчеркнём наш «остаток-9» на правом конце нижней строки, и оставшееся в ней будет «частным-9».