настоящему остатку), добавлением единицы к частному (которое, таким образом, превращается в настоящее частное).
Правило для случая (3) при знаке «+» может быть выведено из вышеизложенного правила простой заменой знака при k. Это, однако, вводит одно новое явление, которое должно быть предусмотрено следующей дополнительной оговоркой.
Когда вы прибавляете ко второму периоду, [взятому вместе] с его префиксом, число из первого столбца, увеличенное в (– k) раз, то есть когда вы вычитаете увеличенное в k раз это число из второго периода, [взятого вместе] с его префиксом, иногда может случиться так, что вычитаемое превосходит уменьшаемое. В этом случае вычитание будет оканчиваться цифрой-минус, которую можно пометить звёздочкой. Теперь ищем, какое количество наших делителей следует прибавить ко второму столбцу, чтобы погасить эту цифру-минус, и вносим это количество, помеченное звёздочкой, в первый столбец, а это кратное нашего делителя — во второй; затем проводим черту под вторым столбцом и приплюсовываем это новое значение.
В качестве примера возьмём новое делимое, но оставим прежний делитель, изменив знак при k, так что делителем станет число 7003 (то есть 7t3 + 3). Наша задача, подготовленная для решения, будет выглядеть так:
По окончании решения вид у неё будет такой:
Начало хода рассуждения таково.
Делим 6504 на 7 и вносим частное от деления, 929, в первый столбец, а остаток, 1, пишем поверх второго периода. Затем вычитаем из 1318 утроенное 929, внося результат во второй столбец следующим образом. «27 из 8 [вычесть] нельзя, но 27 из 28 будет 1». Вносим 1, занятое 2 в уме. «8 из 1 [вычесть] нельзя, но 8 из 11 будет 3». Вносим 3, занятое 1 в уме. «28 из 3 [вычесть] нельзя, но 28 из 33 будет пять». Вносим 5, занятое 3 в уме. «3 из 1 будет минус 2». Вносим его со звёздочкой. Отметив, что для погашения этого минус 2 достаточно будет прибавить делитель единожды, вносим (–1) в первый столбец, а 7003 — во второй; затем проводим черту под вторым столбцом и приплюсовываем это новое значение; в итоге получаем 5534. Затем суммируем первый столбец снизу доверху и вносим результат, 928, в графу «Частное». Теперь берём 5534 как новый первый период, а третий период, 972, как новый второй период, и продолжаем как ранее [9], следующим образом. Проводим двойную черту под 5534 и делим его на 7, внося частное от деления, 790, под двойную черту, а остаток, 4, ставя над третьим периодом. Затем вычитаем из 4972 утроенное 790, занося результат, 2602, в третий столбец; отмечаем для себя, что он не содержит цифр-минус. Затем суммируем второй столбец снизу вплоть до ближайшей двойной черты и вносим результат, 790, в графу «Частное». Теперь берём 2602 как новый первый период, а конечный период, 526, как новый второй период, и продолжаем как ранее следующим образом. Проводим двойную черту по 2692 и делим его на 7, внося частное, 371, под двойную черту, а остаток, 5, ставя над конечным периодом. Затем вычитаем из 2556 утроенное 371, занося результат, 4413, который, как можно было предвидеть, непременно будет меньше делителя, в ячейку «Остаток». Затем суммируем третий столбец снизу вплоть до ближайшей двойной черты и заносим результат, 371, конечным периодом в графу «Частное».
Правила для случая (1) могут быть выведены из вышеизложенного, принимая k = 1, а для случая (2) — принимая h = 1. Ниже я дам решённые примеры, а давать мысленные рассуждения здесь нужды нет.
Приняв k = 1, мы получаем делитель вида htn + 1; выберем делители 11t4 – 1 и 6t5 + 1.
В этом последнем примере нет нужды вносить частное от деления 7239 на 7 в первый столбец; и так легко предвидеть, что число поверх второго столбца будет меньше нашего делителя, так что в первом столбце новых значений не появится; следовательно, мы сразу вносим 1206 в графу «Частное».
Принимая h = 1, получаем делители вида tn ± k; возьмём делители t4 – 7 и t5 + 12.
Первую из этих двух задач я привёл для того, чтобы проиллюстрировать открытый мистером Коллингвудом способ решения для делителей вида tn – k.
Читателю, возможно, интересно будет взглянуть на три способа решения вышеприведённого примера — обычное деление в столбик, способ мистера Коллингвуда и мою версию последнего — ради сравнения того количества усилий, которые каждый из них требует для своего решения:
Я предполагаю, что всякий, кто станет решать это пример обычным делением, начнёт с создания таблицы кратных числа 9993 для справок, так что совершать умножения ему не придётся. Тем не менее, большое количество сложений и вычитаний, которые ему придётся совершать, влекущее гораздо больший риск ошибиться, чем каждый из двух других способов, вполне перевесит это преимущество.
Но какая бы из упомянутых процедур не привлекалась для деления длинных чисел, весьма желательно получить быстро и легко применимый способ проверки правильности ответа. В обычном случае для проверки перемножают частное с делителем, прибавляют остаток и смотрят, не будет ли всё вместе, как это и положено, образовывать исходное число.
Так, если N– это данное число, D–делитель, Q–частное, а R — остаток, то должно получиться:
N = DQ + R.
Этот способ проверки особенно легко применим, когда D = htn ± k, поскольку тогда должно быть:
N = (htn ± k)Q + R = (hQtn + R) ± kQ.
Теперь, hQtn можно найти умножением Q на h с присоединением n нулей. Следовательно, выражение hQtn + R находится подстановкой R на место этих n нулей. Если R содержит менее n цифр, недостающие вставляются перед ним нулями; если более, то избыточные следует перенести в следующий разряд и прибавить к hQ.
Вычислив наш «Критерий», то есть [значение выражения] hQtn + R, мы можем записать его на отдельной полоске бумаги и поместить ниже решения нашего примера, так чтобы он пришёлся прямо под N, которое будет располагаться сверху. Когда при D стоит знак «–», нам следует прибавить kQ к N и посмотреть, равен ли результат нашему «Критерию»; когда же знак «+», следует прибавить kQ к «Критерию» и посмотреть, равен ли результат N.
Уже указывалось, что когда, при новом Способе, решены первый и второй столбцы, то первый период частного и число внизу второго столбца суть частное и остаток, которые получились бы, если бы делимое оканчивалось своим вторым периодом. Следовательно, «Критерий» можно тут применить сразу, до переноса действия на третий столбец. Это составляет очень важную новую особенность моей версии способа мистера Коллингвуда. Каждые две соседствующие колонки содержат отдельную задачу на деление, которая может быть проверена сама по себе. Следовательно, как только, при решении моим способом, я внёс в графу «Частное» первый период, я могу её проверить и, в случае ошибки, исправить. Но тот злополучный вычислитель, который потратит, скажем, час времени, на деление некоего гигантского числа — обычным ли способом в столбик либо методом мистера Коллингвуда — и кому случится написать ошибочный результат на самом первом шагу, отчего и все последующие шаги оказываются неверны, — тот и не всполошится, пока не подойдёт к «горькому концу» и не начнёт проверять свой ответ. В то же время, следуя моей методике, он обратил бы внимание на ошибку почти тот час, как её сделал, и был бы в состоянии её исправить, пока не зашёл далеко.
В качестве пособия для читателя я целиком изложу ход рассуждения для второго и третьего столбцов первого из примеров, решённых выше.
Наш делитель есть число 6997 (где h = 7, k = 3). Здесь предполагается, что в графу «Частное» уже внесено 281. Делимое для этих двух столбцов есть 1972 | 103; частное 281, а остаток 5946. «Критерий» есть [выражение] hQtn + R (то есть 7 × 281000 + 5946), и начало хода рассуждения таково. На отдельной полоске бумаги записываем последние три цифры R, а именно 946, и переносим 5 в следующий разряд, прибавляя её к 7 × 281 следующим образом. «5 и 7 будет 12». Вносим 2, 1 в уме. «1 и 56 будет 57». Вносим 7, 5 в уме. «5 и 14 будет 19». Вносим. Вычислив «Критерий», проверяем, равняется ли ему [выражение] N + kQ. Вычисляем это последнее, сравнивая его по мере продвижения с нашим «Критерием» цифра за цифрой следующим образом. «3 и 3 будет 6». Сравниваем с «Критерием». «0 и 24 будет 24». Сравниваем 4, 2 в уме. «3 и 6 будет 9». Сравниваем. «1972 и 0 будет 1972». Сравниваем. «Критерий» удовлетворён.
Для делителей вида tn ± k нет нужды записывать «Критерий»: составляющие его числа уже находятся в решении и могут быть использованы на своих местах.
§1. Делитель вида (tn ± 1)
Искомые способы были рассмотрены в §1 предыдущей главы как процедуры, предваряющие нахождение частного.
В случае делителей прочих обсуждаемых здесь видов способы, предназначенные для нахождения частного и остатка, пригодны, разумеется, и для нахождения одного лишь остатка; нам нужно будет рассмотреть здесь только те случаи, когда, коль скоро частное нам не требуется, эти способы поддаются сокращению.
§2. Делитель вида (ht ± 1)
А именно: те способы, что были рассмотрены в §1 предыдущей главы, могут быть здесь сокращены удалением всего письменного решения под двойной чертой.