358 8. 57 929
Делимость на 8
9. 59 366 10. 73 488 11. 248 12. 6111
Делимость на 3
13. 83 671 14. 94 737 15. 7359 16. 3 267 486
Делимость на 6
17. 5334 18. 67 386 19. 248 20. 5991
Делимость на 9
21. 1234 22. 8469 23. 4 425 575 24. 314 159 265
Делимость на 5
25. 47 830 26. 43 762 27. 56 785 28. 37 210
Делимость на 11
29. 53 867 30. 4969 31. 3828 32. 941 369
Делимость на 7
33. 5784 34. 7336 35. 875 36. 1183
Делимость на 17
37. 694 38. 629 39. 8273 40. 13 855
Если вы в состоянии управиться с целыми числами, то арифметические действия с дробями покажутся вам почти такими же легкими. В этом разделе мы сделаем обзор основных методов сложения, вычитания, умножения, деления и сокращения обыкновенных дробей. Те, кто знаком с дробями, могут спокойно его пропустить.
Умножение обыкновенных дробей
Чтобы перемножить две обыкновенные дроби, нужно просто перемножить их числители (верхние числа), а затем знаменатели (нижние числа). Например:
2/3 х 4/5 = 8/15
1/2 х 5/9 = 5/18
Что может быть проще! Попробуйте следующие упражнения, прежде чем двигаться дальше.
УПРАЖНЕНИЕ: УМНОЖЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ
1. 3/5 х 2/7
2. 4/9 х 11/7
3. 6/7 х 3/4
4. 9/10 х 7/8
Деление обыкновенных дробей
Деление дробей столь же легкое, как и умножение. Однако оно требует одного дополнительного действия. Сначала переверните вторую дробь с ног на голову (это называется обратная дробь), а затем умножайте. Например, обратная дробь для 4/5 будет 5/4. Следовательно,
2/3 ÷ 4/5 = 2/3 х 5/4 = 10/12
1/2 ÷ 5/9 = 1/2 х 9/5 = 9/10
УПРАЖНЕНИЕ: ДЕЛЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ
Теперь ваша очередь. Поделите эти дроби.
1. 2/5 ÷ 1/2
2. 1/3 ÷ 6/5
3. 2/5 ÷ 3/5
Сокращение обыкновенных дробей
Дроби можно рассматривать как маленькие задачки на деление. Например, 6/3 то же самое, что и 6 ÷ 3 = 2. Дробь 1/4 то же самое, что и 1 ÷ 4 (или 0,25 в десятичной форме). Известно, что если умножить любое число на 1, то это число не изменится.
Например, 3/5 = 3/5 х 1. Но если заменить 1 дробью 2/2, то получим 3/5 = 3/5 х 1 = 3/5 х 2/2 = 6/10. Следовательно, 3/5 = 6/10.
По такому же принципу, заменив 1 дробью 3/3, получим 3/5 = 3/5 х 3/3 = 9/15. Другими словами, если мы умножаем числитель и знаменатель на одно и то же число, то получаем дробь, равную исходной.
Вот еще пример:
2/3 = 2/3 х 5/5 = 10/15
Верно и то, что, деля числитель и знаменатель на одинаковое число, мы получаем дробь, равную исходной.
Например:
4/6 = 4/6 ÷ 2/2 = 2/3
25/35 = 25/35 ÷ 5/5 = 5/7
Это сокращение дроби.
УПРАЖНЕНИЕ: СОКРАЩЕНИЕ ДРОБЕЙ
Найдите дробь со знаменателем 12, равную дробям, представленным ниже.
1. 1/3 2. 5/6 3. 3/4 4. 5/2
Сокращение дробей.
5. 8/10 6. 6/15 7. 24/36 8. 20/36
Сложение дробей
Это действие можно считать простым, когда знаменатели равны. В этом случае складываются числители и сохраняется прежний знаменатель.
Например:
3/5 + 1/5 = 4/5; 4/7 + 2/7 = 6/7
Иногда можно упростить ответ. Например:
1/8 + 5/8 = 6/8 = 3/4
УПРАЖНЕНИЕ: СЛОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ (С РАВНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ)
1. 2/9 + 5/9
2. 5/12 + 4/12
3. 5/18 + 6/18
4. 3/10 + 3/10
Более коварный случай — различные знаменатели. Когда знаменатели не равны, нужно заменить исходные дроби дробями с равными знаменателями.
Например, сложите
1/3 + 2/15
Заметим, что
1/3 = 5/15
Поэтому
1/3 + 2/15 = 5/15 + 2/15 = 7/15
При сложении
1/2 + 7/8
Замечаем, что
1/2 = 4/8
Тогда
1/2 + 7/8 = 4/8 + 7/8 =11/8
При сложении
1/3 + 2/5
Видим, что
1/3 = 5/15 и 2/5 = 6/15
В итоге
1/3 + 2/5 = 5/15 + 6/15 = 11/15
УПРАЖНЕНИЕ: СЛОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ (С НЕРАВНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ)
1. 1/5 + 1/10 2. 1/6 + 5/18 3. 1/3 + 1/5
4. 2/7 + 5/21 5. 2/3 + 3/4 6. 3/7 + 3/5 7. 2/11 + 5/9
Вычитание дробей
Вычитание дробей похоже на их сложение. Мы покажем это действие на примерах и обеспечим вас тренировочными упражнениями.
2/5 — 2/5 = 1/5; 4/7 — 2/7 = 2/7; 5/8 — 1/8 = 4/8 = 1/2
1/3 /2/15 = 5/15 — 2/15 = 3/15 = 1/5
7/8 — 1/2 = 7/8 — 4/8 = 3/8
1/2 — 7/8 = 4/8 — 7/8 = -3/8; 2/7 — 1/4 = 8/28 — 7/28 = 1/28
2/3 — 5/8 = 16/24 — 15/24 = 1/24
УПРАЖНЕНИЕ: ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ
1. 8/11 — 3/11 2. 12/7 — 8/7 3. 13/18 — 5/18
4. 4/5 — 1/15 5. 9/10 — 3/5 6. 3/4 — 2/3
7. 7/8 — 1/16 8. 4/7 — 2/5 9. 8/9 — 1/2
Глава 5Искусство приближенной оценки
До сих пор вы совершенствовали ментальные техники, необходимые для получения точных ответов в математических задачах. Однако часто бывает достаточно приблизительной оценки решения. Скажем, вы получаете расценки различных кредиторов рефинансирования кредита за ваш дом. Все, что вам действительно понадобится на данном этапе сбора информации, — это приблизительно оценить размер ежемесячного платежа. Или, скажем, вы оплачиваете счет в ресторане вместе с компанией друзей и не хотите вычислять в нем долю каждого до последней копейки. Методы приближенной оценки, описанные в данной главе, сделают обе эти задачи (и многие другие аналогичные) вполне решаемыми. Сложение, вычитание, деление и умножение — все поддается приближенной оценке. Как обычно, мы будем выполнять расчеты слева направо.
Приближенная оценка — хороший способ облегчить себе жизнь, когда при решении задачи список чисел для запоминания становится слишком длинным. Трюк сводится к округлению исходных чисел в бóльшую или меньшую сторону.
* * *
Джордж Биддер: инженер «калькулятор»
У англичан тоже была своя когорта мастеров молниеносных вычислений. Например, устные выступления Джорджа Биддера (1806–1878), уроженца Девоншира, производили на зрителей неизгладимое впечатление. Как и большинство математических талантов, Биддер увлекся арифметическими задачами, еще будучи мальчишкой, и учился счету, сложению, вычитанию, умножению и делению в процессе игры с мраморными шариками. На гастроли со своим отцом юный Биддер отправился в возрасте девяти лет.
Почти ни один из задаваемых вопросов не был для него сложным. «Если Луна находится на расстоянии 123 256 миль от Земли, а звук движется со скоростью четыре мили в минуту, сколько времени понадобится звуку для путешествия с Земли на Луну?» Молодой Биддер, сморщив ненадолго в раздумье лоб, выпалил: «Двадцать один день, девять часов, тридцать четыре минуты». (Сегодня-то мы знаем, что это расстояние чуть ближе к 240 000 милям, а звук не может перемещаться через вакуум.) В десять лет Биддер мысленно извлек квадратный корень из 119 550 66 121, получив ответ 345 761 всего за 30 секунд. В 1818 году Биддер и молниеносный вычислитель из США Зера Колберн сошлись в ментальной счетной дуэли, в которой Биддер, по-видимому, «численно» превзошел Колберна.
На волне славы Джордж Биддер поступил в университет Эдинбурга и впоследствии стал одним из наиболее уважаемых инженеров в Англии. В парламентских дебатах по поводу железнодорожных конфликтов Биддер часто выступал в качестве свидетеля, от чего его оппонентов бросало в дрожь. Кто-то сказал: «Природа наделила его определенными качествами, которые лишали его соперников справедливого положения».
В отличие от Колберна, покинувшего семейство молниеносных вычислителей в возрасте двадцати лет, Биддер сохранял свой статус на протяжении всей жизни. Так, в 1878 году, незадолго до смерти, Биддер рассчитал число световых волн, попадающих в глаз за одну секунду, основываясь на том, что существует 36 918 волн красного света на дюйм и что свет передвигается со скорость примерно 190 тысяч миль в секунду.
* * *
Обратите внимание: мы округлили первое число в бóльшую сторону до ближайшей тысячи, а второе — в меньшую, тоже до ближайшей тысячи. Так как точный ответ равен 14 186, погрешность относительно мала.
Если хотите получить более точный ответ, вместо того чтобы округлять в сторону ближайшей тысячи, округляйте в сторону ближайшей сотни.
Ответ лишь на 14 единиц отличается от точного ответа: относительная погрешность меньше чем 0,1 %. Вот это я называю отличной приближенной оценкой!
Попробуйте задачу на сложение пятизначных чисел, округляя их до ближайшей сотни.
Благодаря округлению до ближайшей сотни погрешность нашего ответа всегда будет меньше 100. Если ответ больше 10 000, приближенная оценка будет в пределах 1 % от точного ответа.
Теперь попробуем что-нибудь посложнее.
Если вы округлите до ближайшего миллиона, то получите ответ в 31 миллион, что примерно на 285 000 меньше истинного значения. Неплохо, конечно, но вы можете улучшить ответ, округляя до ближайших ста тысяч, как показано в последнем столбце. В этом случае приближенная оценка снова будет в пределах находиться 1 % от точного ответа. Если вы научитесь находить точные ответы для таких задач с меньшими числами, то сможете приблизительно оценить ответ в любой задаче.