a/b<c/d, знаменатели которых суть положительные величины, имеем
Начиная, например, с дробей 1/3 и 1/2, для которых медианта будет 2/5, она расположена в интервале 1/3 < 2/5 < 1/2.
Почему медианта всегда будет располагаться примерно между изначальными числами? Если мы начинаем с дробей где b и d – положительные величины, ad будет меньше bc. Прибавив к обеим сторонам ab, получим ab + ad < ab + bc или a(b + d) < (a + c)b, что значит, что Таким же образом приходим к
Обратите внимание, что при x, y> 0
Следовательно, медианта этих двух дробей должна находиться между ними. Другими словами,
Вот почему частное чисел из 10 и 9 рядов должно начинаться с 1,61, как мы уже до этого и посчитали.
Прежде чем открыть секрет числа 1,61, можете поразить свою аудиторию, постоянно добавляя числа к своей таблице. Так, в нашем примере, где мы начали с 3 и 7, достаточно беглого взгляда, чтобы узнать результат – 781. Как? С помощью алгебры. Если сложить значения из 2 таблицы, мы получим сумму, равную 55x + 88y. И что? А то, что вместо этого можно написать 11(5x + 8y) = 11 × ряд 7. Поэтому, взяв число из 7 ряда (в нашем примере это 71) и умножив его на 11 (здесь можно использовать фокус с умножением на 11 из главы 1), получим 781.
В чем важность числа 1,61? Если не останавливаться на 10 ряду и продолжать расширять таблицу, вы легко обнаружите, что частное двух соседних чисел будет от ряда к ряду все больше приближаться к значению, которое называют «золотым сечением» –
Кроме g, для обозначения этого числа математики часто используют греческую букву φ, которая произносится как «фи» (да-да, «Фи-боначчи»).
Алгебра покажет нам, на самом ли деле частное двух соседних чисел последовательности Фибоначчи приближается к g. Предположим, что частное Fn+1/Fn приближается к значению r при увеличении n. Но ведь о числах Фибоначчи мы знаем, что Fn+1 = Fn + Fn–1, поэтому
При увеличении значения n левая сторона приближается к r, а правая – к Значит,
Умножив обе стороны этого уравнения на r, получим
Другими словами, r² – r – 1 = 0, а согласно формуле корней квадратного уравнения здесь имеется только один положительный ответ:
Существует еще одна будоражащая воображение формула для n-ного числа последовательности Фибоначчи, которая использует золотое сечение. Это формула Бине, которая говорит, что
Глядя на нее, я не перестаю удивляться: как такое возможно, что вся эта формула, построенная вокруг √5, приводит к целым величинам?!
Мы можем ее немного упростить, потому что значение
находится между –1 и 0, и чем больше мы увеличиваем степень, тем больше оно приближается к 0. По большому счету, можно утверждать, что для любого n ≥ 0, Fn вычисляется через gn/√5 с последующим округлением до ближайшего целого. Можете взять калькулятор и проверить. Если взять g = 1,618, то, возведя 1,618 в десятую степень, получим 122,966… (что подозрительно близко к 123). А разделив этот результат на √5 ≈ 2,236, придем к 54,992. Округление даст F10 = 55 – известный нам результат. Из g20 получается 15 126,99993, которое после деления на √5 превращается в 6765,00003, то есть F20 = 6765. А калькулятор легко проведет нас от g100/√5 к F100 ≈ 3,54 × 1020.
Все эти вычисления показывают, что g10 и g20 настолько близки к целым числам, что практически ими являются. Что именно здесь происходит? Посмотрите на последовательность Люка́
названную в честь французского математика Эдуарда Люка (1842–1891) – первооткрывателя многих удивительных свойств этих чисел, а заодно и чисел Фибоначчи, включая формулу с наибольшим общим делителем, о которой мы не так давно говорили. Кстати, именно Люка впервые назвал набор чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8… последовательностью Фибоначчи. Последовательность же Люка соответствует его собственной (несколько упрощенной) версии формулы Бине –
Другими словами, при n ≥ 1 Ln есть целая ближайшая к gn величина (что согласуется с тем, что мы уже видели: g10 ≈ 123 = L10). А вот как связаны между собой последовательности Фибоначчи и Люка:
Не заметить здесь закономерность почти невозможно. Например, сложение «соседей» числа Фибоначчи дает соответствующее ему по позиции число последовательности Люка:
А если мы сложим «соседей» числа из последовательности Люка, получим результат, который будет ровно в 5 раз больше соответствующего ему по позиции числа Фибоначчи:
Если перемножить между собой соответствующие друг другу числа двух последовательностей, мы получим еще одно число последовательности Фибоначчи!
Последнее может быть доказано с помощью алгебры и формул Бине (а именно (x – y)(x + y) = x² – y²). Исходя из h = (1 – √5)/2, представим формулы Бине для чисел Фибоначчи и Люка в виде
И когда мы их перемножаем, получается
Откуда пришло название «золотое сечение»? Из золотого прямоугольника, в котором соотношение длинной и короткой сторон составляет g = 1,61803…
Если обозначить короткую сторону единицей и убрать из прямоугольника квадрат со сторонами 1 на 1, у нас останется еще один прямоугольник со сторонами 1 и (g – 1), соотношение которых составит
То есть пропорции маленького прямоугольника будут такими же, как и большого. Кстати, g – единственное в своем роде число со столь уникальными свойствами, потому что уравнение подразумевает, что g² – g – 1 = 0. А формула корней квадратного уравнения приводит нас только к одному положительному числу, удовлетворяющему этому условию, и число это – (1 + √5)/2 = g.
Благодаря этому своему свойству золотой прямоугольник считается эстетически образцовым, а потому часто используется в разных областях искусства, будь то живопись, фотография или архитектура. Например, Лука Пачоли[14] – друг и соратник Леонардо да Винчи называл его «божественной пропорцией».
Золотое сечение лежит в основе стольких удивительных математических явлений, что подчас очень сложно удержаться от соблазна увидеть его даже там, где его нет и никогда не было. Например, в романе «Код да Винчи» Дэн Браун пишет, будто число 1,618 встречается везде и всегда, и подтверждение тому – строение человеческого тела, Браун утверждает, что отношение нашего роста к высоте, на которой расположен пупок, – 1,618. Я не проводил измерений, но в статье Джорджа Марковски «Выдумки о золотом сечении», опубликованной в журнале College Mathematics Journal, говорится, что это не соответствует реальности. Тем не менее каждый раз, когда где-то встречается число, хоть сколько-то близкое к 1,6, кто-нибудь вспоминает о золотом сечении.
Я уже не раз говорил, что многие числовые закономерности, в которых присутствуют числа Фибоначчи, суть настоящая поэзия. И это не просто метафора: эти числа действительно используются при создании стихотворений. Возьмем, к примеру, лимерики. Вот, последите за ритмом (пусть без слов, просто используя сетку слогов):
Если посчитать количество слогов в каждом ряду, мы получим числа Фибоначчи! Лично меня это вдохновило настолько, что я отважился написать о них свой собственный лимерик:
Ты с ними достигнешь вершин!
Сначала – «один» и «один»,
Потом – «два», «три», «пять»,
Продолжим считать –
Веселью положен почин!
Глава номер шестьМагия доказательств
Ценность доказательств
Одна из главных радостей занятий математикой – возможность окончательных, не оставляющих ни тени сомнения доказательств. Это ставит математику на особое место в ряду других наук, которые опираются на соответствие законам материального мира. Однако новые открытия могут опровергать или изменять эти законы. В математике же доказанное однажды остается доказанным навсегда. Прошло больше 2000 лет с того момента, как Евклид доказал бесконечность множества простых чисел – и это никогда не удастся оспорить. Научно-технические формации сменяют друг друга, теоремы же вечны. Как однажды сказал великий Годфри Харди[15]: «Математик так же, как художник или поэт, создает узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они сотканы из идей». По-моему, доказать новую теорему – все равно что шагнуть на тропу, ведущую в научное бессмертие.