трансцендентная – такая, которая не является корнем ни одного многочлена с целым коэффициентом (число √2, например, будет иррациональным, но не трансцендентным, потому что представляет собой корень многочлена x² – 2).
Впрочем, представить π в простом дробном виде все же можно. Правда, это будет не одна дробь, а сумма или произведение нескольких – вплоть до бесконечности. В главе 12, например, мы увидим, что
Формула эта настолько прекрасна, даже обворожительна, что даже не хочется верить, что π с ее помощью вычислять придется очень и очень долго: после трехсотого элемента мы будем настолько же далеко от заветного 3,14…, насколько далеко от него банальное 22/7.
А вот еще одна недурная попытка, называемая формулой Уоллиса, – представление π в виде бесконечного (то есть считать придется все равно очень долго, пусть и не настолько, насколько в случае с суммой) произведения:
Запомним π (а заодно и τ) во славу его!
Число π продолжает будоражить самые светлые умы и по сей день. С его помощью даже испытывают суперкомпьютеры на быстродействие и точность вычислений – можете себе представить, насколько оно просчитано «в глубину» – на триллионы цифр после запятой. Практического толку от такой точности, конечно, чуть: даже 40 знаков π достаточно, чтобы просчитать размеры пределов наблюдаемой Вселенной с точностью до радиуса одного атома водорода!
Число π – уже почти религия. У ее последователей даже праздник свой есть, он так и называется – День числа π – и празднуется 14 марта (3-й месяц, 14-й день) – в день рождения Альберта Эйнштейна. В честь праздника энтузиасты пекут пироги на математическую тему, надевают маски автора теории относительности и участвуют в конкурсах по воспроизведении наизусть как можно большего количества знаков после тройки и запятой. Рядовой участник такого конкурса помнит, как правило, от нескольких их десятков до нескольких сотен. Рекорд же принадлежит китайскому студенту Чао Лю, добравшемуся в 2005 году до 67 891 цифры! В Книге рекордов Гиннесса говорится, что на одно лишь оглашение числа у него ушло больше 24 часов, на запоминание – около четырех лет.
Вот первые 100 цифр π:
π = 3,141592653589793238462643383279502884197169399375
105820974944592307816406286208998628034825342117067…
Как только люди не пытались сохранить их в памяти! Один из самых популярных методов – составлять предложения-«запоминалки», в которых количество букв в каждом слове равно числовому значению соответствующей цифры. Пожалуй, наиболее известные из них – английские «How I wish I could calculate pi»[23] (охватывает 7 знаков: 3,141592) и «How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics»[24] (а здесь этих знаков уже 15).
Самая, пожалуй, забавная из них – пародия на знаменитого «Ворона» Эдгара Аллана По, созданная в 1995 году Майком Китом[25] для первых 740 знаков числа π. Одна лишь первая строчка (вместе с именем автора и заглавием) покрывает 42 цифры. Слово из 10 букв считается цифрой 0.
Позже Кит переработал и дополнил свой опус – так родилась его знаменитая «Кадеическая каденция»[26] (Cadaeic Cadenza) – уникальное произведение, в котором «зашифровано» 3835 цифр числа π. (Слово «Cadaeic» – тоже своего рода «шифр» π, в основе которого лежат порядковые номера букв латинского алфавита: C – 3, A – 1, D – 4, A – 1, E – 5, I – 9, C – 3. Сейчас оно стало термином, обозначающим жанр подобного рода поэтических экспериментов.) Кроме «Ворона», в нее входят пародии на другие известные стихи, вроде «Бармаглота» Льюиса Кэрролла[27]. Самым грандиозным трудом Кита, без сомнений, является «Во сне: грезы о первом десятке тысяч цифр числа π»
У этого метода есть один существенный недостаток: даже выучив наизусть все эти длинные предложения, стихотворения и целые рассказы, вы вряд ли сможете моментально определить количество букв в произносимых вами словах.
Мне больше по душе другой «шифр» – буквенный, в котором каждая цифра представлена одной или несколькими родственными согласными[28]:
1 = т или д
2 = н
3 = м
4 = р
5 = л
6 = ш, ж, щ или ч
7 = к, х или г
8 = ф или в
9 = п или б
0 = ц, с или з
Представляете, для этой системы тоже есть специальная «запоминалка» (да-да, «запоминалка» для «запоминалки»). Вот что предложил мне мой друг Тони Марлошковипс: буква «т» в своем начертании имеет один вертикальных штрих (буква «д» же является ее звонкой парой); «н» – два штриха; у «м» три точки опоры; «р» – последняя согласная в слове «четыре»; «л» – перевернутая римская цифра V (пять); «ш» – первая буква в слове «шесть» («ж», «ч» и «щ» же связаны с ней кровным фонетическим родством); «г» – зеркальное отражение цифры 7 («к» и «х» же – ее глухие аналоги); «в» и «ф» так же «глазасты», как и восьмерка; «б» – это висящая вверх ногами девятка; ну а «з» звучит как английское «z» в слове «zero», что значит «ноль» («с» и «ц» – члены семьи, группа поддержки). А можно просто взять и запомнить слово ТНМРЛШКВПС – «разбавьте» его гласными, и Тони Марлошковипс станет и вашим другом (жаль только, что воображаемым).
По такой схеме можно превращать цифры и числа в самые настоящие слова. Число 31, например, согласно нашей системе, будет равно буквам «м» и «т» (или «м» и «д»). А значит, его можно «зашифровать» словами
Добавим еще несколько правил. Во-первых, удвоенная согласная читается как одна (просто звучит чуть дольше), поэтому мы будем считать ее одной цифрой. Во-вторых, мы злонамеренно потеряли букву «й». Но, учитывая ее явное происхождение от гласной «и», мы будем преступно полагать ее такой же гласной. А еще обратите внимание, что, хотя одно и то же число может быть представлено (как правило) несколькими словами, для одного слова будет существовать только одно цифровое выражение.
Итак, перейдем к π. Первые три его цифры соответствуют буквам «м», «т» и «р», а это значит, что к ним можно подобрать такие слова, как
Первые 5 цифр π – 31415 – могут превратиться в «мою Тортиллу», а первые 24 цифры – 314159265358979323846264 – соответственно, в
Для следующих с17 цифр – 33832795028841971 – у меня родилось
Вот еще 19 – 33832795028841971
Для следующих 18 – 459230781640628620 – вполне сгодится
И, наконец, еще 22 цифры: 8998628034825342117067:
Вот таким вот нехитрым способом нам удалось в пяти совершенно глупых предложениях «зашифровать» первые 100 цифр числа π.
Буквенная система хорошо помогает, когда нужно запомнить определенную дату или, скажем, номер телефона или счета в банке. Попробуйте – сначала будет немного сложно, но со временем вы привыкнете и сможете запомнить много важных для вас чисел.
Почти все математики единодушны во мнении, что π – одно из самых важных для их науки чисел. Но если вы взглянете на формулы и уравнения, в которых оно фигурирует, вы наверняка заметите, что очень часто его нужно умножать на 2. Для этого произведения было придумано специальное обозначение – греческая буква t («тау», рифмуется с «вау!»):
Очень и очень многие полагают, что тысячи геометрических понятий и формул стали бы куда проще, если бы изначально основывались именно на t, а не на π. Об этом даже целые статьи написаны – например, «π не пройдет!» Боба Палаиса или «Манифест числа t» Майкла Хартла[30]. Суть споров заключается в том, что описание любого круга основывается на значении его радиуса, а при сравнении этой величины с длиной окружности мы получаем C/r = 2π = t. На новейших учебниках стали даже делать пометы «используется число t», что значит, что в них даны не только классические (основанные на π) формулы и представления, но и «новые», привлекающие t. И хотя «переключиться» бывает порой очень и очень непросто, многие профессора и студенты признают, что оперировать t куда легче, чем π. Так или иначе, научное сообщество и просто заинтересованные лица с большим интересом следят за ходом дискуссии и с нетерпением ждут, во что же все это выльется. Поборники t (называющие себя «тауистами») убеждены, что правда на их стороне. При этом к адептам старой религии они настроены вполне миролюбиво, число π уважают и в экстремистских выходках замечены не были.
Вот как выглядят первые сто цифр числа t. Пробелы между ними расставлены в соответствии с приведенной чуть ниже «запоминалкой». Обратите внимание, что начинается все с совершенных чисел 6 и 28 (о них мы говорили в главе 6). Как вы думаете, это совпадение? Конечно же, да. И все равно забавно! Итак,
t = 6,283185307179586476925286766559005768394338798750