)(x – z2), мы получаем его корни – z1 и z2 (они вполне могут оказаться комплексными величинами, равно как и одной и той же величиной). И так можно продолжать до бесконечности – с любым многочленом любой степени.
Сопутствующая теорема: Любой многочлен степени n ≥ 1 может быть разложен на n составляющих. А именно: если p(x) есть многочлен n-ной степени, в котором главный член a ≠ 0, должно существовать n чисел z1, z2…., zn (которые вполне могут оказаться комплексными величинами, равно как и одной и той же величиной), соответствующих p(x) = a(x – z1)(x – z2)… (x – zn). Величины zi являются корнями многочлена при p(zi) = 0.
Теорема эта означает, что любой многочлен степени n ≥ 1 будет иметь как минимум один и как максимум n различных корней.
Например, x4 – 16 есть многочлен четвертой степени. Следовательно, его можно разложить как
из чего очень хорошо видно, что у него будет четыре различных корня: 2, –2, 2i, – 2i.
А вот многочлен третьей степени 3x³ +9x² –12 раскладывается так:
то есть имеет только два различных корня: –2 и 1.
Геометрия комплексных чисел
Комплексные числа можно представить в виде комплексной же плоскости. Выглядит она так же, как и алгебраическая система координат (x, y), только вместо оси y мы чертим некую мнимую ось, на которой расположены числа 0, ±i, ±2i и так далее. Вот как будут выглядеть на этой плоскости некоторые комплексные величины:
Только что мы выяснили, насколько легко складывать, вычитать и умножать числовые выражения комплексных величин. С их геометрическими представлениями работать ничуть не сложнее: достаточно просто взглянуть на соответствующие точки.
Возьмем, к примеру, сложение:
Посмотрите на график ниже: точки 0, 3 + 2i, 2 + 3i и –1 + i образуют параллелограмм.
Вы удивитесь, но его вполне достаточно, чтобы сложить комплексные числа z и w.
Для вычитания z – w возьмем третью точку – w, расположенную симметрично напротив w. А теперь просто сложим z и – w, как показано на графике:
Для умножения и деления нам понадобится измерить комплексные величины. Модулем (или длиной) любого комплексного числа считается длина отрезка от начала координат 0 до точки, соответствующей искомому числу. То есть модуль числа z (обозначается как |z|) есть расстояние от 0 до точки z. Если z = a + bi, тогда, согласно теореме Пифагора, модуль z будет равен
На графике ниже хорошо видно, что точка 3 + 2i имеет модуль √(3² + 2²) = √13. Обратите внимание, что для соответствующего этой точке угла θ tan θ = 2/3. Следовательно, θ = tan–12/3 ≈ 33,7° или примерно 0,588 рад.
Точки с модулем, равным 1, складываются в единичную окружность (см. график ниже). Чему будет равно комплексное число, образующее угол θ? Если бы мы находились в более привычной системе координат, нужная нам точка имела бы координаты (cos θ, sin θ) – это нам хорошо известно по предыдущей главе. Значит, здесь получаем cos θ + i sin θ. То есть любая комплексная величина с модулем R соответствует формуле
что есть не что иное, как тригонометрическое представление этого числа. Забегу немного вперед: в конце главы мы выясним, что равно оно будет Reiθ.
А вот еще кое-что интересное: при перемножении комплексных чисел будут перемножаться и их модули.
Теорема: Для комплексных величин z1 и z2 |z1z2| = |z1| |z2|. Иными словами, модуль произведения есть произведение модулей.
Например,
А что насчет угла, привязанного к произведению? Для обозначения угла, образованного комплексным z и «положительной» половиной оси x, обычно используется представление arg z. Так, arg (3 + 2i) = 0,588 рад. Аналогично arg (1 – 3i) = tan–1 (–3) = –71,56° = –1,249 рад, потому что значение 1 – 3i располагается в квадранте IV, а тангенс его угла θ равен –3.
Обратите внимание, что угол значений (3 + 2i)(1 – 3i) = (9 – 7i) имеет tan–1 (–7/9) = –37.87° = –0,661 рад, что есть 0,588 + (–1,249). И имеется теорема, которая доказывает, что это совсем не совпадение!
Теорема: Для комплексных величин z1 и z2 arg (z1z2) = arg (z1) + arg (z2). Другими словами, угол произведения есть сумма углов.
Доказательство этого (оно приведено в «отступлении») основано на некоторых тригонометрических тождествах, рассмотренных нами в предыдущей главе.
Доказательство: Возьмем две комплексные величины z1 и z2, имеющие модули R1 и R2 и углы θ1 и θ2 соответственно. Записав их в тригонометрическом представлении, имеем
Тогда на основании тождеств cos (A + B) и sin (A + B)
Следовательно, z1z2 имеет модуль R1R2 (что нам уже известно) и угол θ1 + θ2, что и требовалось доказать.◻
Обобщим: чтобы умножить комплексные величины, нужно умножить их модули и сложить их углы. К примеру, при умножении некоего числа на i модуль останется прежним, а угол «вырастет» на 90°. Имейте в виду, что при перемножении двух действительных величин положительные числа будут иметь углы, равные 0° (или, что то же самое, 360°), а отрицательные – 180°. Два угла по 180° дадут в сумме 360° – еще одно доказательство, что произведение двух отрицательных величин есть величина положительная. Мнимые же числа имеют углы, равные либо 90°, либо –90° (или 270°). Следовательно, при умножении такого числа на само себя угол должен быть равен 180° (так как 90° + 90° = 180°, а –90° + –90° = –180°, что ничем не отличается от 180°), что соответствует отрицательной величине.
Ну и, наконец, возьмем число z с углом θ: 1/z должно иметь угол –θ. (Почему? Да потому что z · 1/z = 1, то есть z и 1/z должны в сумме давать 0°.)
Получается, что при делении комплексных чисел, мы делим их модули и вычитаем их углы: z1/z2 имеет модуль R1/R2 и угол θ1 – θ2.
Магия числа e
Если вдруг у вас под рукой есть профессиональный калькулятор, сделайте вот что:
1. Наберите на нем любое хорошо запоминающееся семизначное число (можно взять номер телефона, несколько цифр из номера паспорта или просто любимую цифру, повторенную семь раз).
2. Посчитайте обратную ему величину (для этого нужно нажать кнопку 1/x).
3. Прибавьте к нему единицу.
4. Возведите результат в степень, равную загаданному семизначному числу (нажимаете кнопку xy, вводите семь цифр и нажимаете «равно»).