Первые четыре цифры ответа – 2,718, да? Не удивлюсь даже, если у вас получится
то есть цифр, совпадающих с иррациональным числом e, будет куда больше.
Так что это за мистическое e такое, в чем его секрет и зачем оно вообще нужно?
Ваши операции с калькулятором свелись, по сути, к
где n и есть ваше семизначное число. Семь знаков – много, но что будет, если их будет еще больше? С одной стороны, число (1 + 1/n) будет все ближе и ближе подбираться к единице, которая при возведении в степень останется единицей. Следовательно, было бы разумным предположить, что при любом большом значении n (1 + 1/n)n будет приблизительно равно единице (например, 1,001100 ≈ 1,105).
С другой стороны, даже при больших значениях n результат (1 + 1/n) никогда не опустится ниже этой самой единицы. А при последовательном возведении такого числа во все бо́льшую и бо́льшую степень, увеличиваться будет и итог (скажем, 1,00110 000 будет больше 20 000).
Сложность здесь заключается в том, что «основа» (1 + 1/n) становится тем меньше, чем больше возрастает n. И это постоянное «перетягивание каната» между единицей и бесконечностью пододвигает ответ все ближе и ближе к e = 2,71828… (Так, 1,0011000 ≈ 2,717.)
Давайте посмотрим повнимательнее, как ведет себя функция (1 + 1/n)n при возрастающих значениях n:
Именно так и определяется число e: как величина, к которой приближается (1 + 1/n)n с возрастанием значения n. Математики называют ее пределом (1 + 1/n)n при n, стремящейся к бесконечности. Записывается это следующим образом:
Если заменить дробь 1/n на x/n, оговорившись, что x есть действительная величина, то с возрастанием n/x число (1 + x/n)n/x будет все больше приближаться к e. Возведя обе части этого уравнения в степень x (и вспомнив, что (ab)c = abc), мы приходим к экспоненциальной формуле:
где х – любое комплексное число. Вы удивитесь, но от этой формулы есть вполне себе практическая польза. Предположим, что вы открыли в банке накопительный счет под 6 % годовых (то есть ставка составит 0,06) и положили на него $10 000. Если процент начисляется раз в год, то через 365 дней у вас будет $10 000(1,06) = $10 600. Именно от этой суммы банк будет исчислять 6 % в следующем году: $10 000(1,06)² = $11 236. Через три года уравнение преобразуется в $10 000(1,06)³ = $11 910,16. Через t же лет – в
Чтобы отследить общую закономерность, заменим ставку 0,06 ставкой r, а начальную сумму $10 000 суммой $P. Тогда через t лет вы смогли бы получить
Теперь предположим, что проценты начисляются дважды в год: по 3 % каждые 6 месяцев. Через год на вашем счете будет лежать $10 000(1,03)² = $10 609 – немного больше, чем в прошлом случае.
С ежеквартальными (раз в три месяца) начислениями вы заработаете 4 раза по 1,5 %, то есть $10 000(1,015)4 = $10 613,63.
Давайте обобщим и это: при начислении процента n раз в год через 365 дней сумма ваших накоплений составит
При очень больших значениях n мы будем иметь дело с непрерывными начислениями процента. Согласно второму замечательному пределу, за год получится
Сведем все это в таблицу:
Иными словами, начав с $P, с непрерывными начислениями по ставке r через t лет вы получите $A. Все это выражается очень симпатичной во всех отношениях формулой
Как хорошо видно на графике, функция y = ex растет очень быстро. По соседству с ней мы изобразим графики e2x и e0,06x. Правда, похожи? Подобный рост называется ростом по экспоненте. Если же взять график y = e–x, то он очень быстро приближается к 0, то есть демонстрирует спад по экспоненте.
А что насчет графика 5x? Так как e< 5 <e², он должен лежать между ex и e2x. Если точнее, то e1,609… = 5, следовательно, 5x ≈ e1,609x. В целом же любую функцию ax можно представить в виде ekx, где k есть экспонента, соответствующая a = ek. А для того, чтобы найти k, нам понадобятся логарифмы.
Точно так же, как квадратный корень является обратным представлением квадратичной функции (то есть находится с ней во «взаимоотменяющих» отношениях), логарифм является обратным представлением показательной (экспоненциальной) функции. Наиболее часто используемый логарифм – десятичный (то есть по основанию 10), обозначаемый как lg x. Считается, что
из чего следует
Например, так как 10² = 100, lg 100 будет равен 2. Вот очень полезная таблица логарифмов:
Одной из причин популярности логарифмов является их уникальная способность преобразовывать огромные значения в малые, куда более удобоваримые для человеческого ума. Логарифмы, в частности, используются при измерении и подсчете магнитуды землетрясения по шкале от 1 до 10 (да-да, это я о знаменитой шкале Рихтера), громкости звука (в децибелах), кислотности химических растворов (pH) и даже рейтинга посещаемости интернет-страниц (в алгоритме PageRank, придуманном корпорацией Google).
Что собой представляет lg 512? Любой профессиональный калькулятор (равно как и большинство поисковых систем в Интернете) скажет вам, что log 512 = 2,709…. Вполне похоже на правду: 512 находится между 10² и 10³, а значит, его логарифм должен быть больше 2, но меньше 3.
Логарифмы были изобретены для того, чтобы преобразовывать умножение в более простое сложение. Основано это на одной любопытной теореме.
Теорема: Для любых положительных значений x и y
Другими словами, логарифм произведения равен сумме логарифмов.
Доказательство: Согласно правилам действий со степенями,
Следовательно, возведение 10 в степень lg x + lg y дает xy, что и требовалось доказать.◻
Не менее полезно следующее правило.
Теорема: Для любого положительного значения x и любого целого значения n
Доказательство: Согласно правилам действий со степенями, abc = (ab)c. Следовательно,
то есть логарифм xn равен n lg x.◻
Десятичный логарифм – штука вполне себе обычная, насколько вообще обычным может быть нечто столь активно использующееся в таких важных областях науки, как химия, физика или геология (справедливости ради все же следует упомянуть, что в информатике и дискретной математике предпочтение отдается логарифму с основанием 2). В целом же для любого значения b> 0 логарифм по основанию b logb определяется согласно следующему правилу
Так, log2 32 = 5, потому что 25 = 32. А все уже рассмотренные нами свойства логарифмов соответствуют любому значению b. Так, например,
В большинстве разделов математики, физики и техники самым полезным считается логарифм по основанию b = e. Он называется натуральным и даже имеет свое специальное обозначение – ln x. То есть