К сожалению, в отличие от бесконечных рядов, любая книга, в том числе и эта, должна когда-то заканчиваться. Лезть дальше бесконечности мы, пожалуй, не осмелимся, а остановимся прямо здесь. Впрочем, у меня для вас припасено еще одно матемагическое блюдо.
На бис: магические квадраты
Уверен, этот десерт вам понравится. С бесконечностью он никак не связан, зато магия здесь содержится прямо в официальном названии – разве можно просто взять и пройти мимо? Магическим называется такой квадрат, в котором все значения по горизонтали, вертикали и диагонали дают в сумме одно и то же число. Самый известный такой квадрат – размером 3 на 3 – изображен чуть ниже. Все содержащиеся в нем числа суммируются до 15.
Мало кто знает, но этот квадрат обладает одним уникальным свойством, которое я бы назвал «квадратно-палиндромическим». Если представить каждую горизонталь или вертикаль как трехзначное число, а потом сложить их квадраты, получим
То же происходит и с большими диагоналями:
Магические квадраты магического квадрата!
Самый простой квадрат размером 4 на 4 включает в себя числа от 1 до 16, которые суммируются до 34 (см. ниже). Математики и фокусники очень любят квадраты 4 на 4: они дают нам десятки способов прийти к волшебному результату. Например, в нашем квадрате итоговое число 34 дают не только горизонтали, вертикали и диагонали, но и каждый внутренний сектор размером 2 на 2 (например, левый верхний (8, 11, 13, 2), центральный (2, 7, 16, 9) или «разнесенный» по углам (8, 1, 10, 15)) и большие диагонали.
У вас есть любимое двузначное число больше 20? Можно создать для него (обозначим его буквой T) свой магический квадрат из чисел от 1 до 12 и чисел T – 18, T – 19, T – 20 и T – 21.
Следующий наш пример основан на T = 55. Каждая четверка величин, ранее суммировавшихся до 34, дает нам 55, если в нее входит ровно одно (и ни в коем случае не два и не ноль) значение с переменной T – именно поэтому правый верхний сектор нам подходит (35 + 1 + 7 + 12 = 55), а средний левый – нет (34 + 2 + 3 + 37 ≠ 55).
Впрочем, даже если у вас нет любимого двузначного числа, то уж день рождения есть наверняка – а значит, теперь вы сможете создать свой личный магический квадрат! Воспользуемся моим методом «двойного дня рождения» – дорогая вам дата здесь появляется дважды: в верхней горизонтали и в четырех углах. Я обозначу взятые вами числа буквами A, B, C и D, чтобы наглядно показать, что именно у вас должно получиться. Как и в любом магическом квадрате, и горизонтали, и вертикали, и диагонали, и большинство симметрически расположенных внутренних секторов будут иметь сумму A + B + C + D.
Моя мать, например, родилась 18 ноября 1936 года, значит, ее личный магический квадрат выглядит вот так:
А теперь ваш день рождения. Следуя закономерности, указанной выше, вы получите свою личную сумму больше 30 раз – попробуйте посчитать сами.
Если же вам и этого мало, вот вам способы создать более крупные магические квадраты – например, квадрат размером 10 на 10, в который входят все числа от 1 до 100:
Сможете прикинуть, чему равна сумма чисел в каждой горизонтали, вертикали или диагонали, при этом их не складывая? Конечно же, сможете: много-много страниц назад мы доказали, что сумма всех чисел от 1 до 100 равна 5050, каждый же ряд составляет одну десятую от этого количества, то есть 5050/10 = 505.
Правда, забавно? Мы заканчиваем тем же, чем и начинали. Спасибо за то, что прошли со мной весь этот путь! И поздравляю! Сколько матемагических фокусов мы увидели, сколько способов решения задач открыли, сколько всего нового узнали! Уверен, все это пригодится вам еще не раз, и надеюсь, что идеи, о которых рассказано в этой книге, показались вам полезными, интересными и магическими!
Итого
Я и вправду надеюсь, что это не последняя книга по математике, которую вы читаете. Ведь в меню еще столько вкусного – столько всего, о чем не узнаешь на уроках в школе.
«Магия математики» родилась в процессе работы над видеокурсом «Математическое удовольствие», выпущенным в серии «Лучшие курсы». Он состоит из 24 получасовых лекций – в них я так или иначе касаюсь тех тем и проблем, которые мы обсуждали в этой книге. Но есть там и многое другое, не менее интересное: загадки вероятности, математические игры… и, конечно, еще больше магии! Не описать словами, насколько я благодарен издателям курса за то, что позволили мне использовать его материалы для создания этой книги.
«Лучшие курсы» – это более трех десятков программ, доступных в аудио– и видеоформатах (их можно купить на дисках или скачать с официального сайта). Все они посвящены математике и основным ее разделам: алгебре, геометрии, исчислению и даже истории этой удивительной науки. Масштабный проект, для работы над которым привлекались выдающиеся преподаватели со всей Америки. Представляете, какой было честью попасть в их число? Всего мне посчастливилось поучаствовать в четырех программах: об одной я уже вам рассказал, остальные три называются «Дискретная математика», «Математика в играх и головоломках» и «Секреты устного счета».
Последняя, кстати, – это не только курс лекций, но и книга, написанная мной в соавторстве с замечательным историком и популяризатором науки Майклом Шермером и выпущенная издательством Random House. В ней мы постарались пролить как можно больше света на все, что связано со счетом в уме при решении как простых, так и сложных, комплексных задач. Чтобы в ней разобраться, совсем необязательно быть специалистом – достаточно просто знать таблицу умножения для первых десяти чисел. Впрочем, если вы не знаете и ее (например, потому что еще учитесь в начальной школе), могу порекомендовать почитать «Искусство устного счета» – она написана еще проще (над ней мне помогала работать Наталья Сен-Клер – именно ей книга обязана удивительной легкостью авторской речи и прекрасными иллюстрациями). И то и другое издание можно купить на Amazon.com или createspace.com.
Более искушенный читатель может найти для себя интересными «Доказательства, которые действительно работают: Искусство комбинаторики», «Сливки теории чисел» (выпущены издательством Американской математической ассоциации; соавтор первой – Дженнифер Куин, соредактор второй – Эзра Браун) и «Удивительный мир теории графов» (издательство Принстонского университета, соавторы – Гари Чартренд и Пинг Жанг).
Своим интересом к литературе я обязан Мартину Гарднеру – величайшему математическому магу всех времен и народов, автору более чем двух сотен книг, многие из которых посвящены занимательной математике. Его творения (вместе с колонкой «Математические игры», которую он вел в журнале Scientific American) вдохновили многие поколения математиков – как профессионалов, так и любителей. В том числе и меня. Позвольте также порекомендовать вам книги за авторством Алекса Беллоса, Айваса Петерсона и Йэна Стюарта. И, конечно же, ни в коем случае не проходите мимо «Радости от поисков X: Путешествие в страну математики из пункта 1 в пункт ∞» Стивена Строгаца.
Если вам интересна высшая математика или область возможных значений (самый край математической земли, самая высокая из всех вершин этой горной цепи), то здесь мне очень важной вехой представляется серия «Искусство решения задач» Ричарда Ражика. Там есть все, что вы наверняка успели полюбить: алгебра, геометрия, исчисление и многое, многое другое. У серии есть сайт ArtOfProblemSolving.com, где любой желающий может пройти интерактивный курс математики и поучаствовать в интересных конкурсах.
Кстати, об Интернете. Мой коллега Френсис Су собрал на своей странице www.math.hmc.edu/funfacts несколько сотен самых удивительных математических задач. В основном они ориентированы на педагогов, которые любят «разогреть» учеников в самом начале урока нестандартным и интересным заданием. Что-то подобное сделал и Алекс Богомольный: просто зайдите на Cut-The-Knot.org, и «Интерактивные математические пазлы» захватят вас очень и очень надолго. А еще вы найдете там более сотни доказательств теоремы Пифагора! Если читать лень, можете посмотреть видео на Numberphile.com – отличный способ провести время с пользой.
Больше мне добавить (или умножить) нечего. Читайте и получайте удовольствие!
Благодарности
Эти страницы так и не увидели бы типографского станка, если бы не храбрость и настойчивость моего литературного агента Карен Ганц Залер и не поддержка моего любимого редактора из издательства Basic Books Ти Джея Келлехера.
Я бы не справился без помощи нежно любимой мной Натальи Сен-Клер, которая украсила эту книгу чудесными графиками, диаграммами и рисунками. У Натальи есть уникальный дар – она может превратить самую скучную теорию в веселый праздничный карнавал.
У каждого писателя должен быть свой «идеальный» читатель. Моего зовут Сэм Гутекунст. Кода-то он был моим студентом, теперь же значительно облегчает работу Ти Джея, тщательнейшим образом вычитывая страницу за страницей и составляя подробные комментарии. А еще судьба свела меня с математиками Ами Шел-Гелаш и Винсентом Матско, чьи зоркие глаза разглядели все мои ляпы. Без их профессиональной поддержки у меня никогда не получилось бы то, что получилось.
А еще у меня совершенно фантастические коллеги и студенты. Все-таки наш колледж – удивительное место! Особое спасибо хотелось бы сказать профессору Френсису Су (за вдохновляющие беседы и сайт Math Fun Facts) и Скотту и Кэрол Энн Смолвудам, возглавляющим кафедру математики имени Смолвудов. И, конечно же, я бесконечно благодарен Кристоферу Брауну, Гари Чартренду, Джею Кордесу, Джону Форту, Рону Грэхему, Мохаммеду Омару, Джейсону Розенхаусу и Наталье Сен-Клер за плодотворные дискуссии и родившиеся в ходе них идеи.