Я утверждаю, что группа симметрий квадрата (точнее, группа вращательных симметрий квадрата) — это та же самая группа, что и только что описанная группа, элементы которой соответствуют правым и левым поворотам. Правый поворот соответствует вращению на 90° по часовой стрелке. Когда, управляя автомобилем, вы поворачиваете направо, вы объезжаете угол, то есть одновременно продолжаете двигаться поступательно, но, как я уже сказал, мы пытаемся отслеживать только направление движения безотносительно к его скорости, и в нашей абстрактной модели автомобиль выезжает на центр перекрёстка, останавливается, затем волшебным образом поворачивается на 90° и возобновляет движение в новом направлении. Суть в том, что эти повороты на 90° в точности те же, что описывают вращательную симметрию квадрата. А вот круг более симметричен, поскольку он переходит сам в себя при повороте на любой угол.
Существует ли что-либо более симметричное, чем круг? Да: шар. Если мы повернём круг в пространстве вокруг одного из его диаметров, то он не перейдёт сам в себя, а вот шар отобразится на себя при любом повороте вокруг любого из его диаметров, что означает, что группа симметрий шара больше группы симметрий круга.
Вернёмся к нашим D-бранам. Поскольку очень трудно оперировать двадцатью шестью измерениями, и даже десятью, предположим, что нам каким-то образом удалось избавиться от всех лишних измерений, кроме обычных четырёх. D0-брана имеет сферическую симметрию, как и любая точечная частица, — по крайней мере, на том уровне популяризации, которого я пытаюсь придерживаться. Действительно, если точку повернуть на произвольный угол в любом направлении, она останется точкой, так же как и сфера или шар. D1-брана может принимать различные формы, но простейшая из них — это отрезок прямой, который в трёхмерном пространстве имеет ту же симметрию, что и круг или окружность. Если это непонятно, то представьте себе флагшток, торчащий вертикально вверх посредине тротуара. Я согласен, что флагшток, торчащий посреди тротуара, смотрится не на месте, но поставим его там для популяризации науки. Вы можете повернуть флагшток; если это тяжело, то просто посмотрите на него с разных сторон — он выглядит одинаково, откуда бы вы на него ни посмотрели, и то же самое справедливо для окружности, нарисованной на асфальте. Вы не можете её повернуть, но можете сами встать от неё с любой стороны и убедиться, что она выглядит одинаково, откуда бы вы на неё ни посмотрели.
Симметрия — это расширение понятия «одинаковость». Чтобы не наскучить вам хождением вокруг флагштока, я приведу более интересный пример. Предположим, что у нас есть проигрыватель грампластинок — для читателей младше меня поясню, что это устройство, снабжённое вращающимся диском, на который сверху кладётся грампластинка типа тех, что вы видели у ди-джеев на дискотеках. Если диск проигрывателя ровный, без вмятин и царапин, хорошо сбалансирован, то на взгляд практически невозможно определить, вращается он или нет. И всё потому, что он имеет круговую симметрию. А теперь положим на диск проигрывателя пластинку. Глядя на неё, сразу же можно сказать, вращается она или нет, потому что на центральной наклейке обычно присутствует несимметричная надпись. Но предположим, что наклейки нет, а пластинка не имеет видимых дефектов, останется ли что-нибудь, что указывает на вращение пластинки? Да. Звуковая дорожка на пластинке образует спиральный узор, и если внимательно присмотреться, то можно увидеть, как дорожки как будто бы сбегаются к центру, а если мы опустим на пластинку иглу звукоснимателя, то она, следуя по звуковой дорожке, будет медленно перемещаться к центру пластинки. Закрутив диск проигрывателя в обратную сторону, мы увидели бы, что игла звукоснимателя стала перемещаться от центра пластинки к краю. Этот пример служит иллюстрацией того факта, что совершенно необязательно наблюдать движение какой-либо несимметричной метки, чтобы установить факт вращения, — вращение можно обнаружить и другими, зачастую совершенно неожиданными методами.
Элементарные частицы, в частности электроны и фотоны, тоже постоянно вращаются. Физики употребляют для характеристики вращения частицы термин спин. Направление спина совпадает с направлением оси вращения. Спин электрона может быть направлен в любом направлении, отличном от направления движения самого электрона, подобно тому как теннисный мяч может быть при ударе закручен мастерским ударом в любую сторону. В отсутствие внешних воздействий направление оси вращения (или спина) электрона не меняется. Оно может измениться только под действием внешних электромагнитных сил. Атомные ядра, как и электроны, имеют спины. Это свойство атомных ядер используется в магнитно-резонансной томографии (МРТ). Под действием сильного магнитного поля спины протонов — ядер атомов водорода, которые входят в состав практически любых тканей организма пациента, — выстраиваются в одном направлении. Затем тело пациента облучается радиоволнами, которые изменяют направление спинов части атомов. Возвращаясь в исходное, выстроенное состояние, атомы излучают радиоволны, являющиеся своего рода эхом той волны, которой до этого облучили атомы. При помощи сложных математических алгоритмов MPT-аппарат, анализируя это эхо, строит трёхмерное изображение внутренних органов пациента.
Фотоны тоже имеют спины, но спины фотонов не могут иметь произвольную ориентацию. Ось «вращения» фотона всегда направлена в направлении его движения. Это ограничение сидит как заноза в сердце современной физики элементарных частиц и приводит нас к новому типу симметрии, называемому калибровочной симметрией. Термин «калибровка» отсылает нас к метрологии и к измерительным приборам. Например, для калибровки давления в шинах используется измерительный прибор — манометр, а калибр орудия — это характеристика диаметра ствола. В физике, когда объект может быть описан несколькими различными способами и не видно оснований предпочесть один способ другому, калибровка как раз и является механизмом выбора конкретного варианта описания. Калибровочная симметрия отражает эквивалентность различных способов калибровки. Поскольку калибровка и калибровочная симметрия являются весьма абстрактными понятиями, позвольте мне снова отвлечься на житейскую аналогию, прежде чем продолжить повествование. Помните, я говорил о том, как сложно на глаз определить, вращается или нет идеальный симметричный диск проигрывателя? Удобный способ разрешить проблему — поставить маркером точку на краю диска. Не важно, на каком краю вы её поставите — на ближайшем к вам или на дальнем, вместо точки можно провести линию от центра диска к краю, — важно лишь, чтобы ваша метка не обладала круговой симметрией относительно оси вращения диска. После этого сразу станет видно, вращается диск или нет. Выбор места, куда вы поставите метку, — это выбор калибровки, а независимость результата от места, в котором поставлена метка, — это и есть калибровочная симметрия.
Калибровочная симметрия приводит к двум важным следствиям в квантово-механическом описании фотона. Первое — это безмассовость фотона, в результате чего фотон всегда движется со скоростью света. Второе — это ограничение на направление спина фотона, который всегда ориентирован в направлении движения. Мне трудно объяснить, каким образом эти два следствия вытекают из калибровочной симметрии, без углубления в дебри квантовой теории поля, но я попробую объяснить связь между ними. Рассмотрим сначала электрон, который имеет как массу, так и спин. Если электрон покоится, мы не можем утверждать, что его спин как-то ориентирован относительно направления его движения, хотя бы потому что электрон никуда не движется. С другой стороны, фотон, будучи безмассовым, не может покоиться. Он всегда движется, причём со скоростью света. Специальная теория относительности утверждает, что движущиеся тела сокращаются в направлении движения, причём при движении со скоростью света продольный размер движущегося тела стремится к нулю. Представим себе летящее вращающееся кольцо, ориентированное произвольным образом. По мере приближения к скорости света кольцо будет сплющиваться, стремясь стать перпендикулярным к направлению движения, а значит, ось его вращения будет стремиться к этому направлению. Таким образом, фотон, двигающийся со скоростью света, не может иметь спин, ориентированный иначе чем по направлению движения. Иначе говоря, безмассовость частицы приводит к ограничению на возможное направление её спина.
Следствия калибровочной симметрии делают её совершенно непохожей на те симметрии, которые мы обсуждали ранее. Она выглядит скорее как набор правил. Фотон не может покоиться из-за калибровочной симметрии. Спин фотона не может иметь произвольное направление из-за калибровочной симметрии. Есть ещё одно важное следствие: электрон имеет электрический заряд из-за калибровочной симметрии. Последнее лучше всего проиллюстрировать аналогией между калибровочной и вращательной симметрией. Калибровочная симметрия электрона настолько похожа на вращательную симметрию, что иногда даже говорят о калибровочном «вращении». Но калибровочное вращение — это не вращение в пространстве, а более абстрактное понятие, имеющее отношение к одному из способов квантово-механического описания электрона. В отличие от вращения диска проигрывателя, «вращение» электрона имеет квантово-механический смысл, оно соответствует определённой калибровочной симметрии. И вот это абстрактное квантово-механическое «вращение» электрона и есть, по сути, его электрический заряд. Заряд электрона отрицателен, а заряд позитрона положителен, — это означает, что они в абстрактном калибровочно-симметричном смысле «вращаются» в разные стороны.
Оказывается, что введение дополнительных измерений позволяет сделать предыдущий разговор более предметным. Допустим, что дополнительное измерение имеет форму кольца, и представим, что частица движется в этом измерении по окружности. Она может двигаться как по часовой стрелке, так и против. Если это кольцо очень-очень мало, мы не сможем обнаружить движение в этом измерении, но тем не менее частица будет вращаться в этом измерении либо в одну, либо в другую сторону. Двигаясь в одном направлении, частица будет иметь положительный заряд, двигаясь в другом — отрицательный. Представляя дополнительные измерения в виде миниатюрных колец, или, как принято говорить,