обы они стали теми правилами, по которым метрика в данной точке растягивает и сжимает метрику в соседних точках сети[20]. Эти дискретизированные уравнения Эйнштейна могут, по крайней мере в принципе, быть введены в компьютер, потому что их система состоит из конечного числа уравнений с конечным числом переменных.
Остаются, правда, две трудности, которые выглядят необычно для общей теории относительности: сингулярности и ограничения. Проблема сингулярностей, вообще говоря, нам знакома и является вполне физической: в недрах черных дыр спрятаны сингулярности, в которых эйнштейновские уравнения поля теряют смысл. Если мы не проявим осторожности, численные модели пространства-времени могут распространиться и на внутренние области черных дыр, и, когда компьютер встретится с сингулярностью, возникнут проблемы. Может показаться, что это мелочь: физическая интуиция подсказывает нам, что любые проблемы, с которыми компьютерная модель встречается внутри горизонта черной дыры, можно проигнорировать, так как никакие сигналы все равно не могут появиться оттуда и «испортить» остальную часть моделирования. Но в действительности этот вопрос более тонкий, чем кажется. Если в какой-то точке некоторого слоя вычислительной сети встретилась сингулярность, – а это значит, что метрический тензор содержит некоторые бесконечные компоненты, – тогда растяжения-сжатия, закодированные в дискретизированных уравнениях Эйнштейна, сделают сингулярными и соседние точки в других слоях. Те «заразят» сингулярностью своих соседей и т. д. Очень трудно, оказывается, написать программу, которая предотвращает неконтролируемое распространение сингулярности. Правильный подход заключается в том, чтобы идентифицировать горизонт вскоре после его формирования и запрограммировать компьютер так, чтобы он не позволял модели заглядывать под него слишком глубоко. Фиксируя внутри горизонта тонкий слой пространства-времени, мы можем добиться того, чтобы вблизи горизонта физика классической теории относительности правильно отображалась дискретизированными уравнениями Эйнштейна; но исключая из рассмотрения глубокие внутренние слои, мы тем самым удерживаем компьютер от встречи с сингулярностью. В этой стратегии исключения усиленно используется принцип космической цензуры Пенроуза, согласно которому сингулярность в решениях уравнений Эйнштейна не может появиться нигде, кроме как внутри горизонта событий. И тот факт, что численное моделирование уравнений Эйнштейна успешно работает, когда мы применяем стратегию исключения в том виде, как мы ее только что описали, дает впечатляющее подтверждение принципа космической цензуры.
Проблема ограничений сама по себе более технического свойства, но ее тоже стоит упомянуть, потому что ее анализ позволяет лучше понять, как в действительности строится численное моделирование уравнений Эйнштейна. Обычно мы начинаем с некоторой исходной геометрии, например с двух невращающихся черных дыр, движущихся по орбитам друг вокруг друга, и ставим вопрос: что произойдет, когда мы отправимся вперед по оси времени? На практике это означает, что мы рассматриваем нашу большую сеть, дискрети-зирующую четырехмерное пространство-время, как разделенную на трехмерные пространственные элементы и что мы определяем течение времени в терминах функции хода, чтобы соединить эти элементы воедино. Обычно для каждого такого трехмерного пространственного элемента употребляется термин «квант времени», так как мы думаем о нем как о множестве точек в определенный момент времени. Что мы теперь должны сделать, так это задать нашему компьютеру метрику всего на нескольких (может быть, только на двух) последовательных квантах времени и затем запрограммировать его на продвижение на следующий квант посредством дискретизированных уравнений Эйнштейна. Мы планируем повторять эту процедуру, применяя стратегию исключения, чтобы избежать сингулярности, столько, сколько нам понадобится для того, чтобы черные дыры в нашей модели слились. И мы рассчитываем на то, что геометрия будет эволюционировать до тех пор, пока на последнем кванте времени в нашей модели мы не увидим единую слившуюся черную дыру плюс моментальную картину всех гравитационных волн, порожденных столкновением и уносящихся от его центра.
Но тут-то нас и ждет подвох. Как только выбор кванта времени сделан, оказывается, что некоторые из уравнений Эйнштейна не могут нам помочь в продвижении от одного кванта к следующему. Вместо этого их хватает всего лишь на то, чтобы ограничить тип геометрии, разрешенный для каждого кванта. Даже если мы сумеем со всей осторожностью добиться идеального удовлетворения этих ограничений для одного кванта времени, мы обычно обнаруживаем, что при использовании дискретизированных уравнений Эйнштейна для развития модели по оси времени ограничения для следующего кванта времени выполняются уже неидеально. Что еще хуже, это несовершенство растет со временем, и вся наша модель полностью теряет смысл! Решение этой проблемы оказывается столь же изощренным, как и сама проблема. Вместо того чтобы пытаться идеально удовлетворить ограничения на каждом кванте времени, мы должны заранее предвидеть, что в точности добиться этого не удастся – но зато мы можем изменить дискретизированные уравнения Эйнштейна, добавляя к ним то, что можно условно охарактеризовать как возвращающую силу. Она каждый раз будет как бы подталкивать решение обратно к удовлетворению ограничений. Эта возвращающая сила действует очень похоже на возвращающую силу пружины: растяните пружину от состояния равновесия, и она сожмется опять, чтобы вернуться в равновесное состояние, причем сила эта будет тем больше, чем дальше мы отошли от равновесия. В уравнения Эйнштейна мы, конечно, не вводим никакой физической силы – это скорее математический трюк, и в этом случае «равновесию» соответствует решение, удовлетворяющее ограничениям. В результате такого подхода работа с ограничениями, наряду с тщательным отбором вариантов представления уравнений Эйнштейна в дискретизированном пространстве-времени, приводит к созданию моделей, которые вполне способны отразить все детали структуры пространства-времени, проявляющиеся при столкновениях черных дыр, – конечно, при условии, что мы рассматриваем только геометрию вне горизонта.
Подведем итоги. Большинство столкновений черных дыр во Вселенной, вероятно, происходят по сценарию сближения по спирали с последующим слиянием. Этот сценарий хорошо описывается численным моделированием эйнштейновских уравнений поля в вакууме Gµν = 0. Проводя такое моделирование для широкого набора начальных условий, мы можем понять, какого рода гравитационное излучение порождают черные дыры при слиянии. В этих процессах высвобождение энергии происходит поразительно быстро – настолько, что гравитационная светимость сливающихся черных дыр может на короткое время превзойти общую усредненную светимость всех звезд Вселенной, вместе взятых. Но светимость звезд относится к оптическому диапазону, гравитационная же светимость проявляется в гравитационном излучении, которое распространяется во все стороны от сливающихся черных дыр и может быть зарегистрировано L-образными детекторами гравитационных волн, такими как LIGO. Мы надеемся, что в будущем сможем извлечь из гравитационных волн столько же информации о свойствах Вселенной, сколько мы извлекли из видимого света. Следующим большим открытием может стать регистрация гравитационных волн от сливающихся нейтронных звезд. И если удастся принять гравитационные волны из очень ранней Вселенной, они смогут нам рассказать многое о том, какой была Вселенная на заре своего существования. Лучшим подарком было бы открытие гравитационных волн такого типа, который никто не предсказывал! Тогда теоретикам пришлось бы разобраться, какие экзотические физические процессы могли их породить.
Глава 7Термодинамика черных дыр
До сих пор мы рассматривали черные дыры как астрофизические объекты, которые образовались при взрывах сверхновых или лежат в центрах галактик. Мы наблюдаем их косвенно, измеряя ускорения близких к ним звезд. Знаменитая регистрация гравитационных волн приемником LIGO 14 сентября 2015 г. стала примером более прямых наблюдений столкновения черных дыр. Математические инструменты, которыми мы пользуемся для достижения лучшего понимания природы черных дыр, таковы: дифференциальная геометрия, уравнения Эйнштейна и мощные аналитические и численные методы, применяемые для решения уравнений Эйнштейна и при описании геометрии пространства-времени, которое порождают черные дыры. И как только мы сможем дать полное количественное описание порождаемого черной дырой пространства-времени, с астрофизической точки зрения тема черных дыр сможет считаться закрытой. В более широкой теоретической перспективе остается еще очень много возможностей для исследования. Цель этой главы – рассказать о некоторых теоретических достижениях современной физики черных дыр, в которых идеи термодинамики и квантовой теории объединяются с общей теорией относительности, порождая неожиданные новые концепции. Основная идея заключается в том, что черные дыры не просто геометрические объекты. У них есть температура, они обладают огромной энтропией и могут демонстрировать проявления квантовой запутанности. Наши рассуждения о термодинамических и квантовых аспектах физики черных дыр будут более отрывочными и поверхностными, чем представленный в предыдущих главах анализ чисто геометрических особенностей пространства-времени в черных дырах. Но и эти, и в особенности квантовые, аспекты являются существенной и жизненно важной частью ведущихся теоретических исследований черных дыр, и мы очень постараемся передать если не сложные детали, то по крайней мере дух этих работ.
В классической общей теории относительности – если говорить о дифференциальной геометрии решений уравнений Эйнштейна – черные дыры являются истинно черными в том смысле, что из них ничто не может выбраться наружу. Стивен Хокинг показал, что эта ситуация полностью меняется, когда мы принимаем во внимание квантовые эффекты: черные дыры, оказывается, испускают излучение определенной температуры, известной как температура Хокинга. Для черных дыр астрофизических размеров (то есть от черных дыр звездных масс до сверхмассивных) температура Хокинга пренебрежимо мала по сравнению с температурой космического микроволнового фона – излучения, заполняющего всю Вселенную, которое, кстати, само может рассматриваться как вариант излучения Хокинга. Расчеты, выполненные Хокингом для определения температуры черных дыр, являются частью более обширной программы исследований в области, называемой термодинамикой черных дыр. Другую большу́ю часть этой программы составляет изучение энтропии черных дыр, которая характеризует количество информации, теряющейся внутри черной дыры. Обычные объекты (такие, как кружка воды, брусок из чистого магния или звезда) тоже обладают энтропией, и одним из центральных утверждений термодинамики черных дыр является то, что черная дыра данного размера обладает большей энтропией, чем любая другая форма материи, которую можно вместить в область та