Точка зрения, более или менее соответствующая духу трактовки температуры черной дыры Хокинга, заключается в том, что для ее определения мы должны использовать ускорение наблюдателя, «висящего» в непосредственной близости от горизонта черной дыры, но затем уменьшить это значение температуры на коэффициент гравитационного красного смещения, испытываемого этим наблюдателем. Такой взгляд в наибольшей степени соответствует хокинговской процедуре вычисления температуры. Давайте шаг за шагом рассмотрим эту процедуру для случая шварцшильдовской черной дыры. Говоря о «парящем» или «подвешенном» наблюдателе, мы имеем в виду такого, который остается на фиксированном радиусе над горизонтом, но при этом не совершает орбитального движения вокруг черной дыры. Для того чтобы этого добиться, этому статическому наблюдателю – назовем ее Анной – придется постоянно отталкиваться от черной дыры, к примеру, при помощи ракетного двигателя. Если Анна пользуется только своей локальной геометрией, то принцип эквивалентности говорит ей, что она не сможет отличить ее от плоского пространства, через которое она движется с постоянным ускорением. Чем ближе Анна к фактическому горизонту черной дыры, тем большим становится это видимое ускорение. В соответствии с вычислениями Унру, Анна будет ощущать температуру, равную своему ускорению, деленному на 2π. Похоже, мы снова оказываемся в той же ловушке: ощущаемая наблюдателем температура зависит от его положения. Выход из этого тупика в том, что Анна также испытывает и значительное гравитационное красное смещение по сравнению с другим наблюдателем – назовем его Барт, – который держится от черной дыры на почтительном расстоянии. (В данном контексте это значит, что расстояние от Барта до черной дыры многократно превышает радиус Шварцшильда.) Чем ближе будет Анна к горизонту, тем выше будет ей казаться температура Унру. Но то, что ее гравитационное красное смещение возрастает, означает, что к тому моменту, как видимое Анной излучение выкарабкается из гравитационного поля черной дыры и достигнет Барта, оно будет соответствовать конечной температуре, которая не будет изменяться по мере того, как Анна будет приближаться к горизонту. Эта конечная температура и есть температура Хокинга, и, умножая ее на 2π, мы получим величину, называемую поверхностным тяготением черной дыры, – это ускорение, которое бы понадобилось испытать Алисе в плоском пространстве, чтобы почувствовать такую же температуру излучения Унру, как температура излучения Хокинга, которую чувствует Барт[22].
Выше мы говорили, что выбрали численные величины для иллюстрации эффекта Унру с определенной целью. Дело в том, что ускорение Алисы, в полтора триллиона раз превышающее гравитационное ускорение на Земле, как раз равно поверхностному тяготению на горизонте черной дыры с массой Солнца. Соответственно, и хокинговская температура этой черной дыры такая же, как ощущаемая Алисой температура Унру: 60 нанокельвинов. У больших черных дыр температуры будут меньше: они обратно пропорциональны массе.
Говоря о температуре Унру, подчеркнем тот факт, что инерциальный наблюдатель в далеком будущем (как помните, мы назвали ее Кэрол) обладал бы полной квантовой истиной: что квантовое состояние пространства-времени в целом представляет собой вакуум без каких-либо возбуждений. Тепловое состояние Алисы включает в себя положительные энергетические возмущения, квантово-механически запутанные с отрицательными возмущениями в области пространства-времени, которую она воспринимать не может. Оказывается, что аналогичная ситуация возникает и в случае излучения Хокинга, однако с некоторыми существенными отличиями.
Рис. 7.2. Схема возникновения излучения Хокинга. Анну, остающуюся на фиксированном радиусе у горизонта, можно считать ускоряющимся наблюдателем, так как она испытывает гравитационное притяжение черной дыры. Она видит излучение по тем же причинам, по которым возникает эффект Унру. Это излучение на своем пути наружу к Барту подвергается гравитационному красному смещению. Барт, так же как и Анна, находится в стационарном состоянии, но он настолько далеко от черной дыры, что едва ли чувствует ее притяжение. Падающий в черную дыру извне наблюдатель Брюс при пересечении горизонта не видит излучения Хокинга.
Когда мы начали обсуждать эффект Унру, аналогом ускоряющейся наблюдательницы Алисы была висящая над горизонтом черной дыры статическая наблюдательница Анна, а Боб находился за горизонтом, скрывающим от Алисы половину плоского пространства-времени. В контексте черной дыры аналогом Боба будет свободно падающий внутрь горизонта наблюдатель – пусть его зовут Брюсом. Будущее у бедняги Брюса незавидное: он неизбежно окажется в сингулярности. Однако если черная дыра достаточно большая, этого печального конца ему, возможно, придется ждать долго, и есть смысл узнать, какие наблюдения Брюс успеет за это время сделать. Ответ: за горизонтом он не сможет измерить вообще никакую температуру, поскольку внутрь черной дыры не поступает никакого излучения от какого-либо источника. По крайней мере, локально, вблизи горизонта черной дыры, Брюс сможет сказать, что никаких квантовых возбуждений он не видит.
Описания, которые дают Анна и Барт, отличаются от описания Брюса тем, что они видят частицы с положительной энергией. Точно так же как это было с эффектом Унру, эти положительные энергетические возбуждения должны быть квантово-механически связаны с возбуждением отрицательной энергии внутри горизонта черной дыры. Вспомним каверзную аргументацию, которая тогда применялась: когда Брюс, двигаясь внутрь, пересекает горизонт, он на самом деле не только не видит возбуждений отрицательной энергии – он не видит вообще никаких возбуждений. Возбуждения отрицательной энергии внутри горизонта необходимы только для того, чтобы внешние наблюдатели Анна и Барт согласовали свои наблюдения с квантовой теорией. И все же эти необычные возбуждения играют важную физическую роль. Они служат для уменьшения общей массы черной дыры, которое компенсирует энергию, излучаемую ею с точки зрения Анны и Барта.
Исходящие положительные и входящие отрицательные возбуждения энергии квантово-механически запутаны, и по крайней мере вблизи горизонта мы можем утверждать, что эта запутанность служит цели согласования в рамках квантовой теории описания ситуации наблюдателем, падающим в черную дыру (Брюс), и статическим наблюдателем (Анна и Барт). Именно это достигаемое посредством запутанности квантовое согласование лежит в основе эффекта Хокинга. Таким образом, наложение одной тонкости на другую дает вполне осязаемый результат: излучение черными дырами положительных энергетических возбуждений!
Разительный контраст этой ситуации с эффектом Унру заключается в том, что для наблюдателя из далекого будущего очень трудно обеспечить возможность видеть всё пространство-время: ведь внутри черной дыры никакого далекого будущего не существует, а снаружи ее мы не можем заглянуть внутрь. Может быть, если черная дыра полностью испарится, о наблюдателе, который видит весь этот процесс, можно будет сказать, что он обладает полной квантовой истиной, описывающей пространство-время. Или, наоборот, возможно, что никакой наблюдатель не может иметь полной информации о пространстве-времени, заключающем в себе черные дыры, что означает, что информация о квантовом состоянии действительно потеряна. Загадка сосуществования квантовой эволюции из прошлого в будущее и черных дыр известна под названием парадокса потери информации, и она до сих пор не решена.
В общем и целом картина возникновения излучения Хокинга такова: квантово-механические возбуждения покидают черную дыру, претерпевая при этом красное смещение, и наблюдаются удаленным наблюдателем в виде потока излучения с температурой, равной поверхностному тяготению черной дыры, деленному на 2π. Тем временем потеря энергии на это излучение приводит к тому, что масса черной дыры медленно уменьшается, или «испаряется». Над трудным вопросом о квантовом опыте наблюдателей, перемещающихся по различным путям в пространстве-времени черной дыры, ломают головы поколения теоретиков. Но ясно одно: если мы остаемся на достаточно большом расстоянии от черной дыры и если рассматриваемая черная дыра столь велика, что не успевает полностью испариться, то мы будем наблюдать от нее тепловое излучение с температурой Хокинга.
Излучение Хокинга – наиболее знаменитое термодинамическое свойство черных дыр. Однако не менее важно для них понятие энтропии Бекенштейна – Хокинга, названной в честь Якоба Бекенштейна и Стивена Хокинга. Вспомним, что энтропия – это мера количества доступных системе квантовых состояний, а точнее, логарифм этого количества. Самое важное свойство энтропии заключается в том, что в ходе физических процессов она никогда не уменьшается, а, как правило, увеличивается. Другим ее важным свойством является то, что энтропия объединения двух систем не может превосходить сумму энтропий этих систем по отдельности. В обычном веществе мы, как правило, обнаруживаем, что энтропия целого равна сумме энтропий частей. Например, энтропия двух обычных чашек воды при комнатной температуре вдвое больше энтропии одной чашки. Если две системы запутаны, тогда их объединенное квантовое состояние может быть точно известно, и в этом случае они как целое вообще не имеют энтропии; и все же каждая из них сама по себе может обладать значительной энтропией!
В случае черных дыр энтропия оказывается равной площади горизонта, деленной на постоянную, связанную с силой тяготения. Она вычисляется по формуле S = A/4GN, где GN – постоянная Ньютона, которая появляется и в уравнениях Эйнштейна. Эта формула столь много значит в теории черных дыр, что она обычно называется законом площадей. Из теорем классической общей теории относительности следует, что в ходе таких процессов, как столкновения черных дыр, общая площадь горизонтов черных дыр должна расти. Этот результат легко понять как версию второго начала термодинамики в приложении к черным дырам. При этом важно не забывать, что эти теоремы остаются классическими, то есть они справедливы только при отсутствии квантовых эффектов, таких как излучение Хокинга. Действительно, излучение Хокинга приводит к тому, что черные дыры медленно теряют массу, что означает уменьшение площади их горизонтов, однако этот процесс протекает крайне медленно.