1/4 часть. ...Ну вот, безразлично, какой бы величины ящик не был: если каждая сторона 100 км, я прибавляю 25 см... Какая ни будет длина каждой стороны ящика — все равно прибавится 25 см... Получается 4 стороны — и каждая сторона имеет прибавку в 25 см... Я отодвигаю ремень вдоль стороны — и получается с каждой стороны по 12,5 см, ремень везде отстает от ящика на 12,5 см. Пусть ящик огромный, каждая сторона имеет миллион см — все равно, если прибавить 1 метр — каждая сторона имеет 25 см... Теперь ящик превращается в нормальный. Мне нужно только снять углы и превратить его в круглую форму... И получилось опять то же самое... Вот как я решал эту задачу». (Опыт 12/III 1937 г.).
Читатель простит автора за слишком длинную выдержку; у автора есть одно оправдание: выдержка показывает, какие «умо-зрительные» методы применяет Ш., и как эти методы приводят его к решению задачи совсем иными путями, чем те, которые применяет человек, оперирующий «расчетами и карандашом».
Мы провели с Ш. много часов над анализом того, какие преимущества давал «умо-зрительный» метод для решения арифметических задач, — и мой испытуемый многому научил меня, анализируя ту роль, которую для решения задач играют наглядные образы.
Нет сомнения, «расчеты с карандашом и бумагой» или с умственными схемами не могут не оставаться основным приемом решения задач, но как часто задачи, в которых эти расчеты, не опирающиеся на наглядные образы, могут уводить в сторону от правильного решения или заменять простой способ решения сложным и неэкономным.
Кто не знает, какой трудной может оказаться, казалось бы, простая задача: «Кирпич весит 1 кг и еще столько, сколько весит полкирпича. Сколько весит кирпич?» ...С какой легкостью люди, сосредоточившиеся только на числах, дают неверный ответ — 1,5 кг! Такие соскальзывания на формальные ответы были чужды Ш., нет, даже просто невозможны для него. Его «умо-зрительная» форма решения, которая заставляла его всегда иметь дело с предметами и всегда связывать числа с наглядными вещами, не допускала формальных решений, и задачи, вызывавшие состояние конфликта у других, протекали у него без вызванных таким конфликтом затруднений.
Вот только несколько иллюстраций этого положения.
«...Мне предлагают задачу: «Книга в переплете стоит 1 р. 50 к. Книга дороже переплета на 1 руб. Сколько стоит книга и сколько переплет?» Я решил это совсем просто. У меня лежит книга в красном переплете, книга стоит дороже переплета на 1 руб. Я вырываю часть книги и думаю, что она стоит 1 руб... Остается часть книги, которая равна стоимости переплета — 50 коп. Потом я присоединяю эту часть книги — получается 1 рубль 25 коп.
И еще: мой товарищ, инженер, дал мне задачу: «Отцу и сыну вместе 47 лет; сколько лет им было 3 года назад?». Я вижу отца, он держит за руку сына, им 47 лет. С ними идет еще один сын и еще один отец. Я откидываю каждому по 3 года... Я представляю себе, что это нужно взять вдвойне. Я умножаю на 2, получается 6, и я вычитаю «6». (Опыт 12/III 1937 г.).
Наглядные образы вещей уводят от ошибок формального решения задачи, и у Ш. не появляется искушение заменить подлинное решение задачи операцией формального числового отсчета.
Сделаем еще один шаг и посмотрим, как «умо-зрительно» решаются задачи, которые мы обычно решаем сложным отсчетом.
Задача: «Блокнот в 4 раза дороже карандаша. Карандаш дешевле блокнота на 30 коп. Сколько стоит блокнот и карандаш в отдельности?»
Ш. решает эту задачу. На столе появляется блокнот, рядом с ним 4 карандаша (рис. 1а).
Рис. 1
«Карандаш дешевле блокнота на 30 коп... Три карандаша отодвигаются вправо (рис. 1б) как лишние и уступают место их денежному эквиваленту. Вслед за этими образами появляется изображение двух чисел 10 и 40... Вот и ответ на вопрос, сколько стоит блокнот и карандаш в отдельности» (из записей Ш.).
Нетрудно видеть, как быстро и легко выполняется «умо-зрительное» решение задачи там, где решение ее вербально-логическим путем должно вызывать дополнительные отвлеченные расчеты.
Еще отчетливее выступают приемы «умо-зрительного» решения задач в более сложных примерах. Остановимся на двух из них.
Ш. дается задача: «Мудрец и путешественник сидели на лужайке. У путешественника было 2 хлебца, у мудреца — 3. К ним подошел прохожий, они предложили ему покушать и поделили поровну хлеб на 3 части. После еды прохожий, поблагодарив за угощение, дал им 10 яиц. Как мудрец и путешественник поделили между собою полученные 10 яиц?».
«...У меня возникают образы: двое (А и В) сидят на лужайке. К ним присоединяется прохожий (С). Вся группа располагается треугольником. Между ними появляются хлебцы. Люди исчезают и заменяются буквами А, В, С, а неправильной формы хлебцы — продолговатыми дощечками. Дощечки, принадлежащие А — серого цвета, принадлежащие В — белые (рис. 2а). Двумя горизонтальными линиями разрезаю дощечки на три равные группы кубиков. Получается следующая картина (рис. 2б):
Рис. 2а
Рис. 2б
За 5 съеденных кубиков С дал 10 яиц. У А — 6 кубиков, из которых он сам съел первый вертикальный ряд и 2 кубика из второго ряда, В — со своей стороны, — с такой же конфигурацией съел столько же. Рисунок 3 явно показывает количество кубиков, доставшихся С от А и от В.
Рис. 3
Может быть еще и другое — логическое решение.
Для удобства расчета заменяю слово «яйца» словом «рубли». Часть хлеба, съеденная прохожим, оценена в 10 рублей. Все трое съели поровну, следовательно, все количество хлеба, съеденного всей группой, стоит 30 рублей (10 x 3 = 30), а один хлебец стоит 6 рублей (30 : 5 = 6). Два хлебца, принадлежавшие путешественнику стоят 12 руб. (2 x 6 = 12). Путешественник сам съел количество хлеба стоимостью 10 руб, значит, прохожему он смог выделить хлеба лишь на 2 рубля (12 — 10 = 2). У мудреца было 3 хлебца, стоимость которых 18 рублей, из них он выдал прохожему хлеба на 8 рублей... Образное решение протекает быстро, почти непроизвольно. Абстрактно-вербальный способ решения, наоборот, нуждается в строгом анализе, последовательных суждениях и некоторой интуиции. Результат получается одинаковый...» (из записей Ш.).
Вот еще один пример подобного решения задачи.
Ш. дается задача: «Муж и жена собирают грибы. Муж говорит жене: «Дай мне из твоих 7 грибов и у меня будет в 2 раза больше, чем у тебя!» «Жена отвечает: «Нет, дай мне ты 7 грибов — и у нас будет поровну». Сколько грибов у каждого?» «Я увидел тропинку в лесу... мужа высокого роста в очках. Он держит на локте белую плетеную корзину с грибами. Он устал... ага! я решил, что у него много грибов. А она стоит ко мне спиной — ведь он первый начал разговаривать, а не его собеседница... Я вижу себя, вижу их... вот этот «Я», стоящий у опушки, определяет, а «Я» фактический, живой человек — слежу за тем, как он определяет.
Первое определение: я не знаю, много ли у него грибов, но думаю, что будет много — ведь он говорит — «в 2 раза больше». Я еще не знаю, в каком положении это все. Но когда он говорит свою реплику — ага! Тут для меня становится ясным; когда он сказал «дай мне 7 грибов» — я вижу кучку, которую он кладет в корзинку. Когда же она сказала свое — он вынимает из своей корзинки, и я вижу, что в обеих корзинках одинаковый уровень.
Самая кучка «7» имеет характерные черты для «семи». Этот человек отошел, я слежу за ним... сразу появляется число 14... Я уже определил, что «он» правильно считал 14: ведь мы оба делаем разные работы: я работаю цифрами, а «он» превращает все в вес, в вид, в представления.
Но ведь нужно не только, чтобы у мужа отнялось 7 грибов (вот выскочило дно и выпала кучка из 7 грибов); нужно, чтобы они попали в корзину к жене, без этого у него больше на 7. Значит, всего у него больше на 14, на две кучки. Я заглядываю в ее корзину — и уровень соответственно уменьшается, а когда прибавляется 2 кучки — он увеличивается.
Вот здесь и приобретает ценность первая часть, которая раньше не имела значения: «Дай мне 7 грибов — и тогда у меня будет в два раза больше, чем у тебя». У них все возвращается в прежнее состояние, у него два комка так и остаются приготовленными, — но если она вынимает один комок — то у него еще не будет в два раза больше: ведь еще недостаточно, если у нее из корзины выскочил один комок, нужно чтобы этот же комок поступил к нему в корзину. Значит, нужно, чтобы убавился один комок, чтобы у него стало на 21 больше, — и прибавился к нему — значит, на 28 больше. Когда у него стало на 28 больше, тогда у него стало в 2 раза больше! Я уже вижу у него дно корзинки, у него стало 8 комков, а у нее 4...
Теперь я начинаю проверять — ведь надо все это перевести на общечеловеческий язык...
Рис. 4
Все это исчезает, они отходят, — и вот выступают два столба черного цвета, и кончаются туманом (ведь я не знаю, у кого сколько...). Но после рассуждения, когда я выясняю, что у него больше — край первого столба становится выше: у него больше! Здесь я рассуждаю уже двояко: цифрами и диаграммой: теперь я начинаю уравнивать, от одного столба я отрезаю 7, и когда отваливается этот кусок, он все-таки остается выше; они сравниваются только тогда, когда я переношу его на первую сторону. Видно, что это 14! Я возвращаю их снова в первоначальное положение: следующий верхний кусок — это 14! Но она ему говорит: «Дай ты мне 7 грибов и я буду в два раза выше тебя!». Теперь я отрезаю справа еще 7 — и у него стало выше на 21. Но нужно еще прибавить к нему — значит, у него выше на 28... Теперь я вижу, что ее нижний кусок равен его верхнему куску — значит, всего 56! Теперь я убавляю: получается: 56 — 7 = 49; 28 + 7 = 35». (Опыт 18/I 1947 г.).
Мы нарочно привели это длинное рассуждение. Оно вводит нас во внутренний мир Ш. и показывает те наглядные «умо-зрительные» пути, которыми течет его решение. Можно ли сомневаться в том, что эти пути иные, чем пути расчета «с карандашом и бумагой», и что мы вошли в своеобразный мир этого «умо-зрительного» мышления?