Знак одного: часть вторая Из мемуаров доктора Ватсапа
Сомс начал, как одержимый, расхаживать по комнате из угла в угол. Внутренне я громко кричал «Ура!», поскольку ясно видел, что он попался на крючок. Теперь я мог спокойно «вываживать» его, чтобы вывести из черной депрессии, в которую он умудрился впасть, и заодно избавить себя от боливийских погребальных напевов.
– Мы должны действовать систематически, Ватсап! – объявил он.
– Каким образом, Сомс?
– Более систематическим образом, Ватсап, – воцарившееся молчание заставило его поубавить загадочности. – Мы должны составить список небольших чисел, которые можно получить с использованием всего лишь двух единиц. Соединяя их, мы сможем… ну, я уверен, через минуту вы все поймете.
После этого Сомс записал:
На этом этапе Сомса заклинило.
– Признаюсь, 7 и 8 пока не даются мне, на их местах останутся лакуны, – сказал он. – Но это не важно, позвольте мне продолжить:
9 = 1/0,(1)
10 = 1/0,1
11 = 11.
– Признаюсь, я пока не…
– Будьте уверены, Ватсап, вы все поймете. Предположим, для обобщения, что мы придумали, как выразить 7 и 8 при помощи двух единиц. Тогда в нашем распоряжении окажутся все числа от 0 до 11. Теперь в случае, если некое число n можно выразить при помощи двух единиц, мы получим возможность выразить все числа между n – 11 и n + 11 при помощи всех четырех единиц – просто вычитая или складывая выражения из моего систематического списка.
– Ах, теперь я понял, – сказал я.
– Обычно вам это удается, после того как я вам расскажу, – саркастически отозвался он.
– Тогда позвольте мне кое-что добавить, чтобы показать, что я и правда понял! Поскольку мы знаем, как выразить 24 при помощи двух единиц, к примеру, как мы мгновенно получаем возможность выразить все числа от 24–11 до 24 + 11 при помощи четырех единиц. Это значит, что мы получаем все числа в диапазоне от 13 до 35 включительно.
– Вот именно! Думаю, записывать это не обязательно.
– Да, наверное. Ага! Мы можем пойти еще дальше! Взгляните:
– Да, – ответил он. – Однако, пока энтузиазм не унес вас в несказанные дали, я напомню, что у нас пока нет выражений для 7 и 8 с использованием только двух единиц.
Я принял подобающе удрученный вид. Но затем меня осенила дикая мысль.
– Сомс? – спросил я нерешительно.
– Да?
– Факториалы делают числа больше?
Он раздраженно кивнул.
– А извлечение квадратного корня делает их меньше, так?
– Согласен. Переходите же к делу!
– А операции округления в пол и в потолок вновь делают числа целыми?
Я видел, как на его лице медленно проступает понимание.
– Браво, Ватсап! Да, теперь понятно. Мы знаем, к примеру, как выразить 24 при помощи двух единиц. Следовательно, мы можем также выразить 24! При помощи все тех же двух единиц, а это будет… – его брови сошлись к переносице – 620 448 401 733 239 439 360 000. А корень квадратный из этого числа, – его лицо покраснело от напряжения, пока он производил в уме соответствующие расчеты, – равен 887 516,46; еще раз извлечем квадратный корень, получим 942,08; а еще раз – 30,69.
– Так что мы можем выразить 30 и 31 с использованием всего лишь двух единиц, – сказал я. – А именно:
– Ни то ни другое, разумеется, не помогает нам выразить 7 и 8 через две единицы, но если бы мы могли это сделать, то расширили бы диапазон наших чисел до 31 + 1, то есть до 42. И все это говорит о том, что нам, как вы столь убедительно сказали, Сомс, следует действовать систематически. Я предлагаю теперь исследовать многократное извлечение квадратного корня из факториала чисел, которые мы можем выразить через две единицы.
– Согласен! И совершенно очевидно, – заявил тут же Сомс, – что такое выражение для 7 сразу же даст нам выражение для 8.
– Э-э… правда?
– Естественно. Поскольку 7! = 5040, квадратный корень из этого числа равен 70,99, а следующий квадратный корень равен 8,42, мы делаем вывод, что
– Так что не впервые в истории человечества ключом к загадке является число 7! (В этих словах, дорогой читатель, он подчеркивал число 7 восклицательным знаком, а не имел в виду факториал. Пожалуйста, обратите на это внимание, я об этом уже упоминал.)
Сомс нахмурился.
– Я могу сделать это, если использую двойной факториал.
– Вы имеете в виду факториал факториала?
– Нет.
– Субфакториал? Вы пока не объяснили…
– Нет. Двойной факториал – это немного запутанная штука; он равен
n!! = n× (n – 2) × (n – 4) × … × 4 × 2
для четных n и n!! = n× (n – 2) × (n – 4) × … × 3 × 1
для нечетных. Так, к примеру,
6!! = 6 × 4 × 2 = 48.
Корень квадратный из этого числа равен 6,82, а его потолок равен 7.
Я послушно записал:
Но Сомс по-прежнему выглядел недовольным.
– Проблема в том, Ватсап, что при помощи введения все более загадочных и вычурных арифметических функций можно с легкостью выразить вообще любое число. К примеру, мы могли бы воспользоваться арифметикой Пеано.
Я шумно запротестовал:
– Сомс, вы же знаете, что наша хозяйка не устает жаловаться на ваш кларнет. Она никогда не позволит поставить к нам пианино!
– Я говорил о Джузеппе Пеано, так звали итальянского математика и специалиста по логике, Ватсап.
– Откровенно говоря, не такая уж большая разница. Я не уверен, что миссис Сопсудс…
– Тихо! Согласно арифметической аксиоматике Пеано, наследником любого целого числа является число
s (n) = n + 1.
– Так что Пеано вполне мог бы записать:
1 = 1,
2 = s (1),
3 = s (s (1)),
4 = s (s (s (1))),
5 = s (s (s (s (1)))),
и эта последовательность будет продолжаться до бесконечности. В этой системе любое целое число можно выразить при помощи всего одной единицы. Или даже одного нуля, поскольку 1 = s (0). Это слишком тривиально, Ватсап.
Сможете ли вы найти способ записать 7 с использованием только двух единиц, не прибегая ни к чему более экзотическому, чем функции, которые Сомс и Ватсап использовали прежде, чем начали спорить о двойных факториалах и наследниках? Ответ см. «Загадки разгаданные».
Сомс и Ватсап еще не закончили. «Знак одного» продолжается в главе «Знак одного. Часть третья».
Путаница с инициалами
Р. Х. Бинг – американский математик, родился в Техасе, специализировался на геометрической топологии. Что означает Р. Х.? Ну, как сказать… Его отца звали Руперт Генри, но его мать считала, что для Техаса такое имя звучит слишком по-британски, поэтому при крещении ребенка она укоротила его до предела, оставив одни инициалы. Поэтому Р. Х. означает Р. Х., и ничего больше. Это вызывало, конечно, некоторое удивление, но не доставляло ему серьезных неудобств – до тех пор, пока Бинг не обратился за визой для поездки куда-то. Когда его попросили назвать имя, он, предвидя обычную реакцию, сказал: «R-only H-only Bing»[18].
В результате он получил визу, выданную на имя Ронли Хонли Бинга.
Евклидовы каракули
Это математическая загадка, которая была решена более двух тысяч лет назад и долгое время преподавалась в школах, но теперь уже не преподается – по разумным, вероятно, соображениям. Однако с ней стоит познакомиться, поскольку она намного эффективнее того метода, который используется вместо нее. Кроме того, она позволяет установить связь со многими важными математическими понятиями более высоких уровней.
Люди, как правило, любят выводить каракули. Нередко можно увидеть, как кто-то, разговаривая по телефону, бездумно заштриховывает шариковой ручкой, к примеру, все буквы «о» на газетной странице. Или выводит извилистые линии, которые длятся и длятся без конца, свиваясь в какие-то неправильные спирали. Слово doodle, обозначавшее первоначально глупца, впервые ввел, судя по всему, сценарист Роберт Рискин в комедии 1936 г. «Мистер Дидс переезжает в город»; в фильме мистер Дидс говорит о каракулях (doodle) как о средстве, помогающем человеку думать.
Если математик рисует каракули (а большинство из них грешат этим), он вполне может нарисовать, к примеру, прямоугольник. Что можно сделать с прямоугольником? Можно заштриховать его, можно закрутить вдоль сторон спиралеобразные линии… а можно отрезать от него кусок с одной стороны и получить прямоугольник поменьше. После этого естественно – и, кстати говоря, типично для ментальности рисовальщика каракулей – повторить проделанную процедуру.
Что при этом происходит? Может быть, вам, прежде чем читать дальше, захочется самому нарисовать пару прямоугольников.
Ну, хорошо, продолжаем. Я начал с длинного узкого прямоугольника, и вот что получилось.
В конце концов я получил маленький квадратик, на котором мой прямоугольник закончился.
Всегда ли так получается? Всякий ли прямоугольник в конце концов заканчивается? Это хороший вопрос, способный дать математику пищу для размышлений.
Какого размера был мой прямоугольник? Ну, последний рисунок показывает, что:
• сумма сторон двух маленьких квадратиков равна стороне среднего квадрата;
• сумма сторон двух средних квадратов и одного маленького квадратика образует сторону большого квадрата и равна при этом одной из сторон прямоугольника;
• сумма сторон трех больших квадратов и одного среднего равна второй стороне прямоугольника.
Если сторона маленького квадратика равна единице, то сторона среднего квадрата равна 2, а сторона большого равна 2 × 2 + 1 = 5. Следовательно, короткая сторона прямоугольника равна 5, а длинная равна 3 × 5 + 2 = 17. Таким образом, я начал с прямоугольника размером 17 × 5.