Однако существует и компактный способ записи гуголплекса: итерационная экспонента, или экспонента экспоненты. А именно:
1010¹⁰⁰.
И раз уж вы начали думать о подобных вещах, то добавим, что этот метод позволяет добраться до по-настоящему очень больших чисел. В 1976 г. ученый-компьютерщик Дональд Кнут придумал способ записи очень больших чисел, которые, помимо всего прочего, фигурируют в некоторых областях теоретической информатики. Когда я говорю «очень больших», я подразумеваю очень большие числа – настолько большие, что способа даже начать их записывать в традиционной нотации просто не существует. Гуголплекс, то есть единица с 10100 нулей, меркнет по сравнению с большинством чисел, которые можно записать при помощи нотации со стрелочкой Кнута.
Кнут начинает с записи
a↑b = ab.
К примеру, 110↑2 = 100, 10↑3 = 1000, 10↑100 – гугол, а 10↑(10↑100) – гуголплекс. Традиционная договоренность о том, в каком порядке вычисляются экспоненты (справа налево), позволяет нам записать это проще – как 10↑10↑100. Не нужно обладать особенно развитым воображением, чтобы записать, скажем, 10↑10↑10↑10↑10↑10↑10.
Но это только начало. Пусть
a↑↑4 = a↑(a↑(a↑a)).
К примеру,
2↑↑4 = 2↑(2↑(2↑2)) = 2↑(2↑4) = 2↑16 = 65 536
и
3↑3 = 3↑3↑3 = 3↑27 = 7 625 597 484 987.
Числа растут настолько стремительно, что записать их цифра за цифрой очень скоро становится попросту невозможно. К примеру, в числе 4↑↑4 насчитывается 155 десятичных знаков. Но в этом-то и смысл: стрелочная нотация обеспечивает компактный способ обозначения гигантских чисел. Однако мы едва начали. Пусть
a↑↑↑b = a↑↑a↑↑…↑↑a,
где a в правой части равенства фигурирует b раз. Здесь опять же вычисляются справа налево. Ну, вы понимаете: далее мы можем ввести
a↑↑↑↑b = a↑↑↑a↑↑↑…↑↑↑a,
a↑↑↑↑↑b = a↑↑↑↑a↑↑↑↑…↑↑↑↑a,
и т. д., где, как обычно, a присутствует b раз, а оценка производится справа налево.
Р. Гудштейн развил нотацию Кнута и упростил ее, введя выражения, названные им гипероператорами. Джон Конвей разработал собственную стрелочную нотацию с горизонтальными стрелочками и скобками.
В теории струн – области теоретической физики, целью которой является объединении теории гравитации с квантовой механикой, число 10↑10↑500 имеет вполне определенный смысл: это число потенциально различных структур пространства – времени. Согласно Дону Пейджу, самое длинное конечное время, в явном виде рассчитанное физиками, составляет всего лишь
10↑10↑10↑10↑10↑1,1 лет.
Это время возвращения Пуанкаре для квантового состояния черной дыры с массой, равной массе всей Вселенной, то есть время, через которое эта система вернется в свое первоначальное состояние и, по существу, история повторится.
Число Грэма
Иногда математикам требуются более крупные числа, чем физикам. Не только, надо заметить, для развлечения: дело в том, что такие числа на самом деле иногда всплывают в разумных актуальных задачах. Число Грэма, названное в честь американца Рона Грэма, возникает в комбинаторике – математике подсчета различных способов перестановки объектов или выполнения каких-то условий.
В 1978 г. Грэм и Брюс Ротшильд работали над задачей о гиперкубах – многомерных аналогах куба. У квадрата 4 угла, у куба – 8, у четырехмерного гиперкуба – 16, а у n-мерного гиперкуба – 2n углов. Они соответствуют всем возможным последовательностям из n нулей и единиц в системе n координат.
Возьмем n-мерный гиперкуб и проведем линии, соединяющие все пары углов. Покрасим каждую линию либо в красный цвет, либо в синий. Для какого наименьшего n в любой схеме такой раскраски найдется по крайней мере один набор из четырех углов, лежащих на одной плоскости, таких, что все соединяющие их отрезки окрашены в один и тот же цвет?
Два упомянутых математика доказали, что такое число n существует, что далеко не очевидно. Ранее Грэм нашел более простое доказательство, но с использованием большего числа: в стрелочной нотации Кнута n, о котором идет речь, не превосходит
Здесь числа под горизонтальными фигурными скобками указывают, сколько стрелок стоит над соответствующей скобкой. Смотреть нужно снизу вверх, начиная с самой нижней строки: в предпоследнем (63-м) слое стоит 3↑↑↑↑3 стрелки. Далее, число с таким количеством стрелочек дает нам число стрелочек в следующем, 62-м слое. А число с таким количеством стрелочек – число стрелочек в 61-м слое!.. Извините, ни одно из этих чисел нельзя записать в стандартной десятичной нотации. В этом отношении они намного хуже гуголплекса. Но в этом и заключается их прелесть…
Это и есть число Грэма, и оно поистине громадно. Более чем. Величина, найденная Грэмом и Ротшильдом, меньше, но по-прежнему до безобразия велика, и объяснять ее сложнее, так что я не буду этим заниматься.
Как ни смешно, специалисты, работающие в этой области, считают, что это число можно сделать намного меньше. А именно, что годится даже n = 13. Но это пока не доказано. Грэм и Ротшильд доказали, что n не может быть меньше 6; Джефф Эксоо поднял эту величину до 11 в 2003 г.; наилучший результат на сегодняшний день гласит, что n не должно быть меньше 13, что доказал Джером Баркли в 2008 г.
Дополнительную информацию см. в главе «Загадки разгаданные».
В моей голове это не укладывается
Когда ученые говорят о больших числах, таких как возраст Вселенной (13,798 млрд лет, или около 4,35 секстиллиона секунд) или расстояние до ближайшей звезды (0,237 светового года, или около 2,24 трлн км), мы, как правило, произносим что-нибудь вроде «в голове не укладывается». То же можно сказать об издержках глобального финансового кризиса, составивших, по одной из верхних оценок, для экономики Великобритании 1,162 трлн[25] фунтов стерлингов. Или, скажем, круглым счетом триллион, 10¹² фунтов стерлингов.
Миллионы, миллиарды, триллионы – для многих несведущих людей эти слова очень похожи, да и означают примерно одно и то же: они слишком велики и просто в голове не укладываются.
Неспособность человека осознать и «прочувствовать» большие числа сказывается на наших взглядах во многих областях, в первую очередь в политике. Когда Эйяфьятлайокудль в Исландии начал плеваться вулканическим пеплом и вынудил отстаиваться на земле большую часть британских самолетов, было много протестов, особенно со стороны авиалиний. (Мне и самому не повезло: вместо того чтобы полететь в Эдинбург, мне пришлось срочно менять планы и ехать на автомобиле.) Было подсчитано, что простои обходились индустрии авиаперевозок в 100 млн фунтов в день: 108 фунтов.
Говоря по справедливости, эти потери выпали на долю относительно небольшого числа компаний. Но общее возмущение превосходило, пожалуй, по масштабу реакцию на финансовый кризис.
Секрет сравнения больших чисел заключается в том, что вам не обязательно добиваться, чтобы они помещались у вас в голове. Мало того, лучше, наверное, их туда и не пускать. Все, что нужно, сделает за вас математика – достаточно будет даже базовой арифметики. К примеру, можно спросить себя, как долго должен продлиться запрет на полеты, чтобы экономические потери от него сравнялись с потерями от банковского кризиса. Расчет показывает:
цена банковского кризиса: 10¹² фунтов;
цена одного вулканического дня: 108 фунтов;
1012/108 = 104 дней = 27 лет.
Этот период представляется мне в высшей степени наглядной величиной: очевидно, что 27 лет – это намного дольше, чем один день. Поэтому я вполне могу осознать, что запрет на полеты должен был бы продолжаться 27 лет, чтобы потери от него сравнялись с экономическим ущербом от банковского кризиса, не обращая внимания на то, что большие числа, участвующие в расчете, не укладываются у меня в голове.
Именно для этого и нужна математика. Не нужно, чтобы вещи укладывалисьу вас в голове: лучше их посчитать.
Дело водителя с уровнем выше среднего Из мемуаров доктора Ватсапа
Я с отвращением бросил газету на стол.
– Послушайте, Сомс… Вы только взгляните на эту нелепую статистику!
Хемлок Сомс хмыкнул и сосредоточился на раскуривании трубки.
– Семьдесят пять процентов кэбменов уверены, что их способности к управлению кэбом выше средних!
Сомс поднял голову.
– Что же в этом нелепого, Ватсап?
– Ну, я… Сомс, но это же просто невозможно! Все они, должно быть, имеют о себе завышенное мнение!
– Почему?
– Потому что среднее должно быть в середине.
Детектив вздохнул.
– Обычное заблуждение, Ватсап.
– Заблуж… что здесь не так?
– Да почти все, Ватсап. Представьте, что 100 человек оценили по шкале от 0 до 10. Если 99 из них получили оценку 10, а один – оценку 0, какое будет среднее?
– Э-э… 990/100… это будет 9,9, Сомс.
– И сколько из них окажется выше среднего?
– Э-э… 99.
– Я же говорю, заблуждение.
Но меня непросто было отвлечь.
– Но все они лишь чуть-чуть превосходят среднее, Сомс, да и данные не слишком типичны.
– Я намеренно выпятил этот эффект, чтобы сделать его более заметным, Ватсап. Любые сдвинутые – асимметричные – данные, как правило, ведут себя сходным образом. Предположим, к примеру, что большинство кэбменов достаточно компетентны, значительное меньшинство ужасны, а несколько человек – очень немного – превосходны в своем деле. Кто из кэбменов в таком случае окажется выше среднего?