668 + 866 = 1534, переставляем цифры – получаем 1345.
Джон Хортон Конвей предположил, что, с какого бы числа вы ни начали, со временем эта последовательность либо войдет в повторяющийся цикл, либо превратится в бесконечно возрастающую последовательность
123n4444 → 556n7777 → 123n+14444 → 556n+17777 → …,
где n обозначает не n-ю степень, а n одинаковых цифр подряд.
Математические даты
Следующий тройной палиндром будет 21:12 21/12 2112.
Следующий простой палиндром был 20:02 30/03 2002.
Собака Баскетболлов
– В самом деле, мадам, доктор Ватсап прав, – подтвердил Сомс. – Достаточно сообразить, что сдвинуто было всего четыре шара, и требуемая расстановка шаров становится очевидной.
– Но какая же это расстановка?
– Эту информацию, мадам, согласно вашему же собственному заявлению, мы можем раскрыть только старшему ныне живущему мужчине в роду.
– А именно лорду Эдмунду Баске́, – уточнил я, – который в настоящий момент находится в коме. Что делает нашу задачу весьма слож…
– Чепуха! – заявила леди Иакинф. – Вы можете сказать мне все.
По ее лицу было очевидно, что ничто на свете не заставит ее свернуть с избранного пути.
– Очень хорошо, – сказал Сомс, делая быстрый набросок. – Должно быть, пуд… э-э, гигантская слюнявая псина… сдвинула четыре каменных шара, изображенных здесь белым цветом, на позиции, обозначенные черным. Или, может быть, все произошло в соответствии с одной из двух других схем, которые возникают при повороте данного решения. Но вы сказали, что ориентация этой структуры не имеет значения.
Теперь я понял смысл загадочного вопроса, заданного им немного раньше.
– Чудесно! – обрадовалась леди Иакинф. – Я велю Вилликинсу поставить их обратно.
– Но разве это не нарушит условий церемонии? – поинтересовался я.
– Разумеется, доктор Ватсап. Но у нас нет никаких рациональных причин бояться каких бы то ни было неблагоприятных последствий. Этот древний запрет – лишь проявление старого… э-э… суеверия.
Месяцем позже Сомс вручил мне номер газеты Manchester Garble[36].
– Господи Боже! – воскликнул я. – Лорд Баске́ умер, а Баскет-холл выгорел дотла! Страховая компания, в которой было застраховано семейство, отказало в выплате, потому что действия Вредоносных сил абсолютного зла не подпадают под страховой случай. Род Баске́ разорен! Леди Иакинф помещена в лечебницу для неизлечимых душевнобольных!
Сомс кивнул.
– Чистое совпадение, я уверен, – сказал он. – Сейчас, задним числом, ясно, что мне, может быть, следовало сказать леди Иакинф насчет пуделя.
Цифровые кубы
370, 371 и 407.
Несмотря на то что эта задача вроде бы не имеет никакого математического значения, нужно обладать хорошими знаниями математики, чтобы найти все четыре ее решения, и очень хорошими, чтобы доказать, что других решений не существует.
Я попробую кратко описать один из возможных подходов.
Поскольку числа с начальными нулями исключаются, нам остается проверить всего 900 возможных комбинаций. Но их количество можно сократить. Кубы всех десяти цифр равны 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512 и 729. Сумма трех кубов составляет не более 999, поэтому можно заранее исключить числа, содержащие две девятки, две восьмерки, восьмерку и девятку и т. д.
Предположим, одна из цифр – это нуль. Тогда искомое число представляет собой сумму двух кубов из нашего списка. Из 55 подобных пар лишь две, 343 + 27 = 370 и 64 + 343 = 407, обладают нужным свойством.
Далее мы можем считать, что ни одна из цифр числа не равна 0. Предположим, одна из них равна 1. Аналогичные вычисления дают нам 125 + 27 + 1 = 153 и 343 + 27 + 1 = 371.
Теперь мы можем считать, что ни одна из цифр не равна ни 0, ни 1. Список кубов, с которыми можно дальше работать, при этом немного сокращается. И т. д.
Кое-какие уловки, к примеру учет четности или нечетности чисел, также помогают сократить объем вычислений. Этот довольно медленный, но систематический подход – а Сомс рекомендует ко всему подходить систематически – приводит нас к результату без каких бы то ни было серьезных препятствий на пути.
Самовлюбленные числа
Здесь мы разрешим начальные нули:
четвертые степени: 0000 0001 1634 8208 9474;
пятые степени: 00000 00001 04150 04151 54748 92727 93084.
Без улик!
– Сомс! – воскликнул я. – Я ее решил!
– Да, убийца – графиня Лизелотта фон Финкельштейн, она ехала верхом на своем чистокровном жеребце по кличке Князь Игорь и вела в поводу трех упряжных лошадей, чтобы замаскировать следы на…
– Нет-нет, Сомс, речь не о вашем деле! Я о задаче!
Он бросил короткий взгляд на решение, которое я нацарапал на полях газеты.
– Верно. Случайное попадание, без сомнения.
– Нет, Сомс, я вывел его путем логических рассуждений на основе принципов, которые вы вложили в мою голову. Во-первых, я понял, что сумма чисел в каждой области должна равняться 20.
– Потому что полная сумма чисел во всех ячейках составляет (1 + 2 + 3 + 4) × 4 = 40 и ее следует поделить поровну между двумя областями, – не задумываясь отозвался Сомс.
– Именно. Далее, как только я решил сосредоточиться на большей области, решение начало складываться. В этой области четыре клетки в нижней строке – там должны быть числа 1, 2, 3, 4, расположенные в каком-то порядке; каким бы ни был порядок, сумма этих чисел равна 10. Так что оставшиеся три строки все вместе в сумме тоже должны дать 10. Единственный способ этого добиться – поставить в верхнюю строку числа 1, 2, 3 в каком-то порядке, а во вторую строку – 1 и 2 в каком-то порядке; третья строка в любом случае должна содержать 1.
– Почему?
– Любое другое число на этом месте сделает сумму слишком большой.
– Вы в самом деле учитесь, Ватсап. Очень хорошо: продолжайте.
Я улыбнулся в ответ на эту слабую похвалу, ведь услышать хоть какую-нибудь похвалу из уст Сомса не легче, чем выжать воду из камня.
– Ну, хорошо… теперь несложно проверить, что способ правильного заполнения ячеек только один. Числа во второй области расставляются вынужденно: так, в крайней правой клетке верхней строки должна стоять четверка, а затем четверки должны идти вниз по диагонали; затем две тройки также вынужденно встают на свои места, и, наконец, две двойки занимают оставшиеся пустыми клетки.
Эту задачу придумали Джерард Баттерс, Фредерик Хенле, Джеймс Хенле и Колин МакГоги, а опубликована она в журнале The Mathematical Intelligencer 33 No. 3 (Fall 2011) 102–105. См. также на сайте: http://www.math.smith.edu/~jhenle/clueless/
Краткая история судоку
Приведем два принципиально разных решения головоломки Озанама:
Не забывайте: каждое из этих решений путем перестановок достоинств и мастей порождает 576 родственных решений, поэтому не удивляйтесь, если ваши решения выглядят не так, как приведенные. Если вы начинаете с ряда A♠ K♥ Q♦ J♣ (или можете привести свое решение в такую форму), вам достаточно подумать только о том, как преобразовать остальные три ряда.
Раз, два, три
Дело о четырех тузах
– Все это просто трюк, Ватсап. При надлежащей подготовке он работает автоматически, какую бы последовательность складывания ни выбрали зрители.
– Чертовски умно, да? – заметил я.
Сомс хмыкнул.
– Когда Гудунни готовил колоду, он поместил тузы на 1 = e, 6, 11 и 16-е места, если считать сверху вниз. Поэтому, когда из колоды выложили квадрат, тузы легли вдоль диагонали из верхнего левого угла в правый нижний. Но лежали они рубашкой кверху, поэтому вы, разумеется, и не подозревали о подвохе.
– Представьте себе, что получится, если перевернуть диагональные карты лицом кверху. Тогда весь квадрат будет выглядеть как шахматная доска с тузами вдоль большой диагонали:
– Так вот, такой расклад обладает замечательным математическим свойством. Как бы вы ни складывали квадратное поле, на любом этапе карты, которые оказываются в результате на определенной позиции, будут смотреть лицом в одну и ту же сторону: либо вверх, либо вниз.
– Правда?
– Давайте попробуем. К примеру, мы могли бы начать со складывания вдоль центральной вертикальной линии. Представьте, как лягут при этом карты верхнего ряда. Третья (смотрит вверх) переворачивается (и смотрит вниз) и ложится сверху на вторую карту – она заранее лежит лицом вниз. Четвертая карта (вниз) тоже переворачивается (вверх) и ложится сверху на первую (тоже вверх).
Я начал смутно понимать, как все это работает.
– То же самое происходит и с остальными рядами?
– Точно. После первого складывания образуется прямоугольник из карт или маленьких стопочек карт. Карты в каждой стопочке смотрят в одну сторону (вверх или вниз), а весь набор стопочек имеет тот же вид шахматной доски, где чередуются карты лицом вверх и карты лицом вниз, как в первоначальном раскладе. Поэтому ровно то же самое происходит и при следующем складывании, и при следующем. К тому моменту, когда у нас образуется единая стопка, все карты в ней окажутся повернутыми лицом в одну сторону.
– Да, но ведь когда мы начинали, карты на диагонали лежали не той стороной, которая нужна для шахматного порядка, – заметил я.
Этой фразой я, откровенно говоря, хотел возразить Сомсу, но он буквально просиял от моей догадливости.
– Вот именно! Поэтому после складывания они снова лягут не той стороной. Поэтому вместо стопки из 16 карт, сложенных лицом в одну сторону, получится стопка из 12 карт, повернутых в одну сторону, и 4 – в другую.
Чертовски изобретательно!
Шахматный расклад обладает свойством, которое математики называют «цветовой симметрией». Линии складывания работают как зеркала, и зеркальное отражение каждой карты ложится на карту, которая смотрит в противоположную сторону. Эта идея используется при изучении расположения атомов в кристаллах. Изобретательность здесь проявилась в то