Сравнивая эти выражения, обнаруживаем, что первые слагаемые в них равны, потому что 6² + 4² + 8² (это то же, что 8² + 4² + 6², только в другом порядке); третьи слагаемые равны, потому что мы, собственно, с этого начали. Поэтому нам достаточно посмотреть, равны ли в этих выражениях вторые слагаемые, то есть действительно ли
8× 9 + 4 × 5 + 6 × 4 = 6 × 8 + 4 × 3 + 8 × 7.
Если посчитать, то и другое равно 116.
Все вышесказанное сработало бы нисколько не хуже, если бы мы вместо 8, 4 и 6 использовали любые другие три однозначных числа. Так что нам, чтобы сделать конечные выражения верными, нужно просто выбрать эти числа.
Дальнейшие этапы можно объяснить аналогично.
Загадка тридцати семи
С некоторыми подсказками и наводящими вопросами Сомса я через некоторое время понял, что ключом к этой загадке является уравнение 111 = 3 × 37. Оказалось, что трехзначные числа, которые после моей процедуры дают длинный ряд одинаковых цифр, кратны 3. К примеру, именно так обстоит дело для чисел 123, 234, 345, 456 и 126. Для таких чисел моя процедура эквивалентна умножению меньшего числа, равного трети от исходного, на 3 × 37, то есть на 111.
В качестве примера рассмотрим предложенное Сомсом число 486. Это 3 × 162. Поэтому умножить 486486486486486486 на 37 – это то же самое, что умножить 162162162162162162 на 111. Поскольку 111 = 100 + 10 + 1, это можно сделать путем сложения чисел
16216216216216216200
1621621621621621620
162162162162162162
Начиная справа налево, получаем 0 + 0 + 2 = 2, затем 0 + 2 + 6 = 8. После этого получаем 2 + 6 + 1, 6 + 1 + 2, 1 + 2 + 6 снова и снова, пока не доберемся до левого конца. Складывая одни и те же три числа в разном порядке, получаем в каждом случае, естественно, один и тот же результат – а именно 9.
Когда Сомс в первый раз объяснил мне все это, у меня нашлось возражение.
– Да, но что если при сложении этих трех чисел получается больше 9? Возникнет перенос в следующий разряд!
Он ответил кратко и по существу.
– Ну да, Ватсап, каждый раз один и тот же перенос.
В конце концов я понял, что это означало все то же самое – многократное повторение одной и той же цифры.
– Существуют, конечно, и более формальные доказательства, – заметил Сомс, – но мне кажется, этот пример вполне проясняет общую идею.
После этого он вернулся в кресло с кипой газет и весь остальной вечер молчал, а я спустился вниз, чтобы выпросить у миссис Сопсвудс тарелку сэндвичей с горгонзолой.
[На написание этой главы меня вдохновили кое-какие наблюдения Стивена Гледхилла.]
Средняя скорость
Мы используем не то среднее. Нам нужно среднее гармоническое (что это такое, объясняется ниже), а не среднее арифметическое.
Обычно мы определяем «среднюю скорость» какого-то путешествия как полное проделанное расстояние, деленное на полное затраченное время. Если путешествие разбито на несколько этапов, то средняя скорость, как правило, не является средним арифметическим скоростей на этих отрезках. Если отрезки преодолеваются за равное время, среднее арифметическое годится, но если они имеют равную длину (как и обстоит дело в нашем случае), то это не так.
Сначала рассмотрим случай с равными временны́ми отрезками. Предположим, что машина едет со скоростью a время t, а затем со скоростью b то же время t. Полное расстояние, равное at + bt, занимает время 2t. Поэтому средняя скорость равна (at + bt)/2t, что равно (a + b)/2, то есть среднему арифметическому скоростей.
Теперь возьмем случай с равными расстояниями. Машина проезжает расстояние d на скорости a за время r. Затем она снова проезжает расстояние d, на этот раз со скоростью b за время s. Полное расстояние равно 2d, полное время равно r + s. Чтобы выразить это через скорости a и b, заметим, что d = ar = bs. Таким образом, r = d/a, а s = d/b. Тогда средняя скорость равна
Это выражение упрощается до 2ab / (a + b), что соответствует гармоническому среднему a и b. Эта величина обратна среднему арифметическому величин, обратных a и b, где под величиной, обратной x, подразумевается 1/x. Причина в том, что время, затраченное на дорогу, пропорционально величине, обратной скорости.
Четыре псевдоку без указаний
Эти головоломки также исходят от Джерарда Баттерса, Фредерика Хенле, Джеймса Хенле и Колина МакГоги. См.: Gerard Butters, Frederick Henle, James Henle, and Colleen McGaughey. Creating clueless puzzles, The Mathematical Intelligencer 33 No. 3 (Fall 2011) 102–105.
Загадка похищенных бумаг
– Вор – Волверстон, – объявил Сомс.
– Ты уверен, Хемлок? От твоей правоты многое зависит.
– Никаких сомнений быть не может, Спайкрафт. Вот их заявления:
Арбатнот: Это сделал Берлингтон.
Берлингтон: Арбатнот лжет.
Волверстон: Это не я.
Гамильтон: Это сделал Арбатнот.
Мы знаем, что кто-то один из этих людей говорит правду, а остальные трое лгут. Существует четыре возможных варианта. Рассмотрим их по очереди.
Если только Арбатнот говорит правду, то из его слов нам становится известно, что виновен Берлингтон. Однако в этом случае Волверстон лжет, следовательно, виновен именно Волверстон. Это логическое противоречие, делаем вывод о том, что Арбатнот не говорит правду.
– Если только Берлингтон говорит правду, то…
– Волверстон лжет! – воскликнул я. – Так что виновен Волверстон!
Сомс сердито взглянул на меня – ведь я сорвал его эффектное выступление.
– Это так, Ватсап, и остальные заявления этому не противоречат. Так что мы уже знаем, что вор – Волверстон. Однако имеет смысл проверить и остальные два варианта, чтобы избежать даже малейшей возможности ошибки.
– Все абсолютно ясно, дружище, – сказал я.
Сомс достал трубку, но не стал ее зажигать.
– Если только Волверстон говорит правду, то заявление Берлингтона ложно, следовательно, Арбатнот говорит правду. Снова противоречие, поскольку известно, что он лжет. Если только Гамильтон говорит правду, возникает это же противоречие. Поэтому единственный возможный вариант – тот, где правду говорит только Берлингтон, и тогда вор – Волверстон. Как Ватсап проницательно заметил.
– Благодарю вас, джентльмены, – сказал Спайкрафт. – Я знал, что могу на вас положиться.
По его жесту в комнату тенью проскользнула какая-то фигура. Короткий разговор шепотом, и человек вновь исчез.
– В жилище доктора будет немедленно проведен обыск, – сказал Спайкрафт. – Я уверен, что документ будет найден.
– Значит, мы спасли империю! – воскликнул я.
– До следующего раза, когда кто-нибудь оставит секретные документы на сиденье какого-нибудь кэба, – сухо заметил Сомс.
По пути домой я прошептал на ухо своему спутнику:
– Сомс, если Спайкрафт – специалист по простым числам, то что он делает в контрразведке? Ведь здесь не может быть никакой связи, правда?
Он внимательно посмотрел на меня и покачал головой. Что имелось в виду – отсутствие связи, о которой я говорил, или предупреждение и совет не развивать эту тему, – мне неизвестно.
Еще одна любопытная числовая закономерность
123456 × 8 + 6 = 987654;
1234567 × 8 + 7 = 9876543;
12345678 × 8 + 8 = 98765432;
123456789 × 8 + 9 = 987654321.
Здесь не до конца ясно, что «должно» идти следующим: может быть,
234567890 × 8 + 10,
что равно 9876543130, так что закономерность на этом прекращается. Но, может быть, мне следовало взять (123456789) × 10 + 10 = 12345678900. Тогда
12345678900 × 8 + 10 = 9876543210.
Далее
(12345678900) × 10 + 11 = 123456789011,
что приводит нас к
12345689011 × 8 + 11 = 98765432099
и т. д. Если поэкспериментировать, можно поймать другую закономерность, которая продолжается до бесконечности.
Промежутки между простыми числами
Гипотеза Эллиота – Халберстама[37] носит очень специальный характер. Пусть π (x) – число простых чисел, меньших или равных x. Для любого положительного целого q и a, не имеющего с q общих делителей, за исключением 1, пусть π (x; q, a) – число простых чисел, меньших или равных x и равных a (mod q). Это приблизительно равно π(x) / φ(q), где φ – это пси-функция Эйлера, число целых чисел от 1 до q – 1, не имеющих с q общих делителей. Рассмотрим максимальную возможную ошибку:
Гипотеза Эллиота – Халберстама говорит о том, насколько велика эта ошибка: гипотеза утверждает, что для любых θ < 1 и A> 0 существует постоянная C> 0 такая, что
Знак одного. Часть вторая
Вот одно такое решение:
Объяснение см. в главе «Знак одного. Часть третья».
Евклидовы каракули
Вы могли бы сделать это вручную с использованием разложения на простые множители, если бы потратили на это день-другой. Вам пришлось бы выяснить, что
44758 272 401 = 17 × 17 683 × 148 891;
13 164 197 765 = 5 × 17 683 × 148 891.
Затем вы могли бы сделать вывод, что НОД равен 17 683 × 148 891 = 2 632 839 553.
При использовании алгоритма Евклида весь расчет выглядит так:
(13 164 197 765; 44 758 272 401) → (13 164 197 765; 31 594 074 636) → (13 164 197 765; 18 429 876 871) → (5 265 679 106; 13 164 197 765) → (5 265 679 106; 7 898 518 659) → (2 632 839 553; 5 265 679 106) → (2 632 839 553; 2 632 839 553) → (0; 2 632 839 553).
Следовательно, НОД равен → 2 632 839 553.