5 ≠ 53). Поэтому разыскание каждого из чисел, участвующих в сложении и умножении, производится одинаковыми приемами, а разыскание основания степени и показателя степени выполняется различным образом.
Шестое действие, извлечение корня, обозначается знаком √. Не все знают, что это – видоизменение латинской буквы r, начальной в латинском слове, означающем «корень». Было время (XVI в.), когда знаком корня служила не строчная, а прописная буква R, а рядом с ней ставилась первая буква латинских слов «квадратный» (q) или «кубический» (с), чтобы указать, какой именно корень, требуется извлечь[7]. Например, писали
R.q.4352
вместо нынешнего обозначения
Если прибавить к этому, что в ту эпоху еще не вошли в общее употребление нынешние знаки для плюса и минуса, а вместо них писали буквы р. и т., и что наши скобки заменяли знаками , то станет ясно, какой необычный для современного глаза вид должны были иметь тогда алгебраические выражения.
Вот пример из книги старинного математика Бомбелли (1572):
Мы написали бы то же самое иными знаками:
Кроме обозначения теперь употребляется для того же действия еще и другое, , весьма удобное в смысле обобщения: оно наглядно подчеркивает, что каждый корень есть не что иное, как степень, показатель которой – дробное число. Оно предложено было замечательным голландским математиком XVI в. Стевином.
Что больше?
ЗАДАЧА 1
Что больше или ?
Эту и следующие задачи требуется решить, не вычисляя значения корней.
РЕШЕНИЕ
Возвысив оба выражения в 10-ю степень, получаем:
так как 32 > 25, то
ЗАДАЧА 2
Что больше: или ?
РЕШЕНИЕ
Возвысив оба выражения в 28-ю степень, получаем:
Так как 128 > 49, то и
ЗАДАЧА 3
Что больше: или ?
РЕШЕНИЕ
Возвысив оба выражения в квадрат, получаем:
Уменьшим оба выражения на 17; у нас останется
Возвышаем эти выражения в квадрат. Имеем:
Отняв по 253, сравниваем
Так как больше 2, то ; следовательно,
Решить одним взглядом
ЗАДАЧА
Взгляните внимательнее на уравнение
и скажите, чему равен х.
РЕШЕНИЕ
Каждый, хорошо освоившийся с алгебраическими символами, сообразит, что
В самом деле, тогда
и, следовательно,
что и требовалось.
Для кого это «решение одним взглядом» является непосильным, тот может облегчить себе поиски неизвестного следующим образом.
Пусть
x3 = y.
Тогда
и уравнение получает вид
или, возводя в куб:
y y =33.
Ясно, что у = 3 и, следовательно,
Алгебраические комедии
ЗАДАЧА 1
Шестое математическое действие дает возможность разыгрывать настоящие алгебраические комедии и фарсы на такие сюжеты, как 2 · 2 = 5, 2 = 3 и т. п. Юмор подобных математических представлений кроется в том, что ошибка – довольно элементарная – несколько замаскирована и не сразу бросается в глаза. Исполним две пьесы этого комического репертуара из области алгебры.
Первая:
2 = 3.
На сцене сперва появляется неоспоримое равенство
4 – 10 = 9 – 15.
В следующем «явлении» к обеим частям равенства прибавляется по равной величине :
Дальнейший ход комедии состоит в преобразованиях:
Извлекая из обеих частей равенства квадратный корень, получают:
Прибавляя по к обеим частям, приходят к нелепому равенству
2 = 3.
В чем же кроется ошибка?
РЕШЕНИЕ
Ошибка проскользнула в следующем заключении:
из того, что
был сделан вывод, что
Но из того, что квадраты равны, вовсе не следует, что равны первые степени. Ведь (–5)2 = 52, но –5 не равно 5. Квадраты могут быть равны и тогда, когда первые степени разнятся знаками. В нашем примере мы имеем именно такой случай:
но не равно .Глава шестая
Уравнения второй степени
Рукопожатия
ЗАДАЧА
Участники заседания обменялись рукопожатиями, и кто-то подсчитал, что всех рукопожатий было 66. Сколько человек явилось на заседание?
РЕШЕНИЕ
Задача решается весьма просто алгебраически. Каждый из х участников пожал х – 1 руку. Значит, всех рукопожатий должно было быть х(х – 1); но надо принять во внимание, что когда Иванов пожимает руку Петрова, то и Петров пожимает руку Иванова; эти два рукопожатия следует считать за одно. Поэтому число пересчитанных рукопожатий вдвое меньше, нежели х(х – 1). Имеем уравнение
или, после преобразований,
х2 – х – 132 = 0,
откуда
Так как отрицательное решение (–11 человек) в данном случае лишено реального смысла, мы его отбрасываем и сохраняем только первый корень: в заседании участвовало 12 человек.
Пчелиный рой
ЗАДАЧА
В Древней Индии распространен был своеобразный вид спорта – публичное соревнование в решении головоломных задач. Индусские математические руководства имели отчасти целью служить пособием для подобных состязаний на первенство в умственном спорте. «По изложенным здесь правилам, – пишет составитель одного из таких учебников, – мудрый может придумать тысячу других задач. Как солнце блеском своим затмевает звезды, так и ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». В подлиннике это высказано поэтичнее, так как вся книга написана стихами. Задачи тоже облекались в форму стихотворений. Приведем одну из них в прозаической передаче.
Пчелы в числе, равном квадратному корню из половины всего их роя, сели на куст жасмина, оставив позади себя роя. И только одна пчелка из того же роя кружится возле лотоса, привлеченная жужжанием подруги, неосторожно попавшей в западню сладко пахнущего цветка. Сколько всего было пчел в рое?
РЕШЕНИЕ
Если обозначить искомую численность роя через х, то уравнение имеет вид
Мы можем придать ему более простой вид, введя вспомогательное неизвестное
Тогда х = 2у2, и уравнение получится такое:
Решив его, получаем два значения для у:
Соответствующие значения для х:
х1 = 72, х2 = 4,5.
Так как число пчел должно быть целое и положительное, то удовлетворяет задаче только первый корень: рой состоял из 72 пчел. Проверим:
Стая обезьян
ЗАДАЧА
Другую индусскую задачу я имею возможность привести в стихотворной передаче, так как ее перевел автор превосходной книжечки «Кто изобрел алгебру?» В.И. Лебедев:
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь,
Обезьян там было в роще?
РЕШЕНИЕ
Если общая численность стаи х, то
откуда
х1 = 48, х2 = 16.
Задача имеет два положительных решения: в стае могло бы быть или 48 обезьян, или 16. Оба ответа вполне удовлетворяют задаче.
Предусмотрительность уравнений
В рассмотренных случаях полученными двумя решениями уравнений мы распоряжались различно в зависимости от условия задачи. В первом случае мы отбросили отрицательный корень как не отвечающий содержанию задачи, во втором – отказались от дробного и отрицательного корня, в третьей задаче, напротив, воспользовались обоими корнями. Существование второго решения является иной раз полной неожиданностью не только для решившего задачу, но даже и для придумавшего ее. Приведем пример, когда уравнение оказывается словно предусмотрительнее того, кто его составил.
Мяч брошен вверх со скоростью 25 м в секунду. Через сколько секунд он будет на высоте 20 м над землей?
РЕШЕНИЕ
Для тел, брошенных вверх при отсутствии сопротивления воздуха, механика устанавливает следующее соотношение между высотой подъема тела над землей (h), начальной скоростью (v), ускорением тяжести (g) и временем (t):
Сопротивлением воздуха мы можем в данном случае пренебречь, так как при незначительных скоростях оно не столь велико. Ради упрощения расчетов примем g равным не 9,8 м, а 10 м (ошибка всего в 2 %). Подставив в приведенную формулу значения h, v и g, получаем уравнение
а после упрощения
t2 = 5t + 4 = 0
Решив уравнение, имеем:
t1 = 1 и t2 = 4.
Мяч будет на высоте 20 м дважды: через 1 секунду и через 4 секунды.
Это может, пожалуй, показаться невероятным, и, не вдумавшись, мы готовы второе решение отбросить. Но так поступить было бы ошибкой! Второе решение имеет полный смысл; мяч должен действительно дважды побывать на высоте 20 м: раз при подъеме и вторично при обратном падении. Легко рассчитать, что мяч при начальной скорости 25 м в секунду должен лететь вверх 2,5 секунды и залететь на высоту 31,25 м. Достигнув через 1 секунду высоты 20 м, мяч будет подниматься еще 1,5 секунды, затем столько же времени опускаться вниз снова до уровня 20 м и, спустя секунду, достигнет земли.
Задача Эйлера
Стендаль в «Автобиографии» рассказывает следующее о годах своего учения:
«Я нашел у него (учителя математики) Эйлера и его задачу о числе яиц, которые крестьянка несла на рынок… Это было для меня открытием. Я понял, чтó значит пользоваться орудием, называемым алгеброй. Но, черт возьми, никто мне об этом не говорил…»
Вот эта задача из «Введения в алгебру» Эйлера, произведшая на ум молодого Стендаля столь сильное впечатление.