На какие две части надо разбить данное число, чтобы произведение их было наибольшим?
РЕШЕНИЕ
Пусть данное число а. Тогда части, на которые разбито число а, можно обозначить через
число х показывает, на какую величину эти части отличаются от половины числа а. Произведение обеих частей равно
Ясно, что произведение взятых частей будет увеличиваться при уменьшении х, т. е. при уменьшении разности между этими частями. Наибольшим произведение будет при х = 0, т. е. в случае, когда обе части равны .
Итак, число надо разделить пополам: произведение двух чисел, сумма которых неизменна, будет наибольшим тогда, когда эти числа равны между собой.
Рассмотрим тот же вопрос для трех чисел.
На какие три части надо разбить данное число, чтобы произведение их было наибольшим?
РЕШЕНИЕ
При решении этой задачи будем опираться на предыдущую.
Пусть число а разбито на три части. Предположим сначала, что ни одна из частей не равна . Тогда среди них найдется часть, бóльшая (все три не могут быть меньше ); обозначим ее через
.
Точно так же среди них найдется часть, меньшая ; обозначим ее через
Числа х и у положительны. Третья часть будет, очевидно, равна
Числа и имеют ту же сумму, что и первые две части числа а, а разность между ними, т. е. х – у, меньше, чем разность между первыми двумя частями, которая была равна х + у. Как мы знаем из решения предыдущей задачи, отсюда следует, что произведение
больше, чем произведение первых двух частей числа а.
Итак, если первые две части числа а заменить числами
а третью оставить без изменения, то произведение увеличится.
Пусть теперь одна из частей уже равна . Тогда две другие имеют вид
Если мы эти две последние части сделаем равными (отчего сумма их не изменится), то произведение снова увеличится и станет равным .
Итак, если число а разбито на 3 части, не равные между собой, то произведение этих частей меньше чем , т. е. чем произведение трех равных сомножителей, в сумме составляющих а.
Подобным же образом можно доказать эту теорему и для четырех множителей, для пяти и т. д.
Рассмотрим теперь более общий случай.
Найти, при каких значениях х и у выражение хpуq наибольшее, если х + у = а.
РЕШЕНИЕ
Надо найти, при каком значении х выражение
хp (а – х)q
достигает наибольшей величины.
Умножим это выражение на число . Получим новое выражение
которое, очевидно, достигает наибольшей величины тогда же, когда и первоначальное.
Представим полученное сейчас выражение в виде
Сумма всех множителей этого выражения равна
т. е. величине постоянной.
На основании ранее доказанного (см. предыдущие две задачи) заключаем, что произведение
достигает максимума при равенстве всех его отдельных множителей, т. е. когда
Зная, что а – х = у, получаем, переставив члены, пропорцию
Итак, произведение хpуq при постоянстве суммы х + у достигает наибольшей величины тогда, когда
x: y = p: q.
Таким же образом можно доказать, что произведения
хpуqzr, хpуqzrtu
и т. п.
при постоянстве сумм x + y + z, x + y + z + t и т. д. достигают наибольшей величины тогда, когда
х: у: z = р: q: r, x: y: z: t = p: q: r: u
и т. д.
Когда сумма наименьшая?
Читатель, желающий испытать свои силы на доказательстве полезных алгебраических теорем, пусть докажет сам следующие положения.
1. Сумма двух чисел, произведение которых неизменно, становится наименьшей, когда эти числа равны.
Например, для произведения 36: 4 + 9 = 13, 3 + 12 = 15, 2 + 18 = 20, 1 + 36 = 37 и, наконец, 6 + 6 = 12.
2. Сумма нескольких чисел, произведение которых неизменно, становится наименьшей, когда эти числа равны.
Например, для произведения 216: 3 + 12 + 6 = 21, 2 + 18 + 6 = 26, 9 + 6 + 4 = 19, между тем как 6 + 6 + 6 = 18.
___________________
На ряде примеров покажем, как применяются на практике эти теоремы.
Брус наибольшего объема
ЗАДАЧА
Из цилиндрического бревна надо выпилить прямоугольный брус наибольшего объема. Какой формы должно быть его сечение (рис. 17)?
Рис. 17
РЕШЕНИЕ
Если стороны прямоугольного сечения х и у, то по теореме Пифагора
x2 + y2 = d2,
где d — диаметр бревна. Объем бруса наибольший, когда площадь его сечения наибольшая, т. е. когда ху достигает наибольшей величины. Но если ху наибольшее, то наибольшим будет и произведение х2y2. Так как сумма х2 + у2 неизменна, то, по доказанному ранее, произведение х2y2 наибольшее, когда
х2 = у2 или х = у.
Итак, сечение бруса должно быть квадратным.
Два земельных участка
ЗАДАЧИ
1. Какой формы должен быть прямоугольный участок данной площади, чтобы длина ограничивающей его изгороди была наименьшей?
2. Какой формы должен быть прямоугольный участок, чтобы при данной длине изгороди площадь его была наибольшей?
РЕШЕНИЕ
1. Форма прямоугольного участка определяется соотношением его сторон х и у. Площадь участка со сторонами х и у равна ху, а длина изгороди 2х + 2у. Длина изгороди будет наименьшей, если х + у достигнет наименьшей величины.
При постоянном произведении ху сумма х + у наименьшая в случае равенства х = у. Следовательно, искомый прямоугольник – квадрат.
2. Если х и у — стороны прямоугольника, то длина изгороди 2х + 2у, а площадь ху. Это произведение будет наибольшим тогда же, когда и произведение 4ху, т. е. 2х · 2у; последнее же произведение при постоянной сумме его множителей 2х + 2у становится наибольшим при 2х = 2у, т. е. когда участок имеет форму квадрата.
К известным нам из геометрии свойствам квадрата мы можем, следовательно, прибавить еще следующее: из всех прямоугольников он обладает наименьшим периметром при данной площади и наибольшей площадью при данном периметре.
Бумажный змей
ЗАДАЧА
Змéю, имеющему вид кругового сектора, желают придать такую форму, чтобы он вмещал в данном периметре наибольшую площадь. Какова должна быть форма сектора?
РЕШЕНИЕ
Уточняя требование задачи, мы должны разыскать, при каком соотношении длины дуги сектора и его радиуса площадь его достигает наибольшей величины при данном периметре.
Если радиус сектора х, а дуга у, то его периметр l и площадь S выразятся так (рис. 18):
Величина S достигает максимума при том же значении х, что и произведение 2х(l – 2х), т. е. учетверенная площадь.
Рис. 18
Так как сумма множителей 2х(l – 2х) = l есть величина постоянная, то произведение их наибольшее, когда 2х = l – 2х, откуда
Итак, сектор при данном периметре замыкает наибольшую площадь в том случае, когда его радиус составляет половину дуги (т. е. длина его дуги равна сумме радиусов или длина кривой части его периметра равна длине ломаной). Угол сектора равен» 115° – двум радианам. Каковы летные качества такого широкого змея, – вопрос другой, рассмотрение которого в нашу задачу не входит.
Постройка дома
ЗАДАЧА
На месте разрушенного дома, от которого уцелела одна стена, желают построить новый. Длина уцелевшей стены – 12 м. Площадь нового дома должна равняться 112 кв. м. Хозяйственные условия работы таковы:
1) ремонт погонного метра стены обходится в 25 % стоимости кладки новой;
2) разбор погонного метра старой стены и кладка из полученного материала новой стены стоит 50 % того, во что обходится постройка погонного метра стены из нового материала.
Рис. 19
Как при таких условиях наивыгоднейшим образом использовать уцелевшую стену?
РЕШЕНИЕ
Пусть от прежней стены сохраняется х метров, а остальные 12 – х метров разбираются, чтобы из полученного материала возвести заново часть стены нового дома (рис. 19). Если стоимость кладки погонного метра стены из нового материала равна а, то ремонт х метров старой стены будет стоить ; возведение участка длиной 12 – х будет стоить ; прочей части этой стены – а[у – (12 – х)], т. е. а(у + х – 12); третьей стены – ах, четвертой – ау. Вся работа обойдется в
Последнее выражение достигает наименьшей величины тогда же, когда и сумма
7x + 8y.
Мы знаем, что площадь дома ху равна 112; следовательно,
7x · 8y = 56 · 112.
При постоянном произведении сумма 7x + 8y достигает наименьшей величины тогда, когда
7x = 8y,
откуда
Подставив это выражение для у в уравнение
xy = 112,
имеем:
А так как длина старой стены 12 м, то подлежит разборке только 0,7 м этой стены.
Дачный участок