Вы, конечно, возразите, что одно дело – вычисления (хотя бы и очень сложные), а другое дело – игра в шахматы: машина не может этого делать! Ведь шахматист при исследовании вариантов не считает, а думает! Не будем спорить: мы еще вернемся к этому вопросу ниже.
Число возможных шахматных партий
Займемся приблизительным подсчетом числа различных шахматных партий, какие вообще могут быть сыграны на шахматной доске. Точный подсчет в этом случае немыслим, но мы познакомим читателя с попыткой приближенно оценить величину числа возможных шахматных партий. В книге бельгийского математика М. Крайчика «Математика игр и математические развлечения» находим такой подсчет:
«При первом ходе белые имеют выбор из 20 ходов (16 ходов восьми пешек, каждая из которых может передвинуться на одно или на два поля, и по два хода каждого коня). На каждый ход белых черные могут ответить одним из тех же 20 ходов. Сочетая каждый ход белых с каждым ходом черных, имеем 20 · 20 = 400 различных партий после первого хода каждой стороны.
После первого хода число возможных ходов увеличивается. Если, например, белые сделали первый ход е2—е4, они для второго хода имеют выбор из 29 ходов. В дальнейшем число возможных ходов еще больше. Один только ферзь, стоя, например, на поле d5, имеет выбор из 27 ходов (предполагая, что все поля, куда он может стать, свободны). Однако ради упрощения расчета будем держаться следующих средних чисел:
по 20 возможных ходов для обеих сторон при первых пяти ходах;
по 30 возможных ходов для обеих сторон при последующих ходах.
Примем, кроме того, что среднее число ходов нормальной партии равно 40. Тогда для числа возможных партий найдем выражение
(20 · 20)205 · (30 · 30)35».
Чтобы определить приближенно величину этого выражения, пользуемся следующими преобразованиями и упрощениями:
(20 · 20)5 · (30 · 30)35 = 2010 · 3070 = 210 · 370 · 1080.
Заменяем 210 близким ему числом 1000, т. е. 103.
Выражение 370 представляем в виде:
370 = 368 · 32» 10 (34)17» 10 · 8017 = 10 · 817 · 1017 = 251 · 1018 = 2 (210)5 · 1018» 2 · 1015 · 1018 = 2 · 1033.
Следовательно,
(20 · 20)5 · (30 · 30)35 ≈ 103 · 2 · 1033 · 1080 = 2 · 10116.
Число это оставляет далеко позади себя легендарное множество пшеничных зерен, испрошенных в награду за изобретение шахматной игры (264 – 1» 18 · 1018). Если бы все население земного шара круглые сутки играло в шахматы, делая ежесекундно по одному ходу, то для исчерпания всех возможных шахматных партий такая непрерывная поголовная игра должна была бы длиться не менее 10100 веков!
Секрет шахматного автомата
Вы, вероятно, очень удивитесь, узнав, что некогда существовали шахматные автоматы. Действительно, как примирить это с тем, что число комбинаций фигур на шахматной доске практически бесконечно?
Дело разъясняется очень просто. Существовал не шахматный автомат, а только вера в него. Особенной популярностью пользовался автомат венгерского механика Вольфганга фон Кемпелена (1734–1804), который показывал свою машину при австрийском и русском дворах, а затем демонстрировал публично в Париже и Лондоне. Наполеон I играл с этим автоматом, уверенный, что меряется силами с машиной. В середине XIX века знаменитый автомат попал в Америку и кончил там свое существование во время пожара в Филадельфии.
Другие автоматы шахматной игры пользовались уже не столь громкой славой. Тем не менее вера в существование подобных автоматически действующих машин не иссякла и в позднейшее время.
В действительности ни одна шахматная машина не действовала автоматически. Внутри прятался искусный живой шахматист, который и двигал фигуры. Тот мнимый автомат, о котором мы сейчас упоминали, представлял собою объемистый ящик, заполненный сложным механизмом. На ящике имелась шахматная доска с фигурами, передвигавшимися рукой большой куклы. Перед началом игры публике давали возможность удостовериться, что внутри ящика нет ничего, кроме деталей механизма. Однако в нем оставалось достаточно места, чтобы скрыть человека небольшого роста (эту роль играли одно время знаменитые игроки Иоганн Альгайер и Вильям Льюис). Возможно, что пока публике показывали последовательно разные части ящика, спрятанный человек бесшумно перебирался в соседние отделения. Механизм же никакого участия в работе аппарата не принимал и лишь маскировал присутствие живого игрока.
Из всего сказанного можно сделать следующий вывод: число шахматных партий практически бесконечно, а машины, позволяющие автоматически выбрать самый правильный ход, существуют лишь в воображении легковерных людей. Поэтому шахматного кризиса опасаться не приходится.
Однако в последние годы произошли события, позволяющие усомниться в правильности этого вывода: сейчас уже существуют машины, «играющие» в шахматы. Это – сложные вычислительные машины, позволяющие выполнять многие тысячи вычислений в секунду. О таких машинах мы уже говорили выше. Как же может машина «играть» в шахматы?
Конечно, никакая вычислительная машина ничего, кроме действий над числами, делать не может. Но вычисления проводятся машиной по определенной схеме действий, по определенной программе, составленной заранее.
Шахматная «программа» составляется математиками на основе определенной тактики игры, причем под тактикой понимается система правил, позволяющая для каждой позиции выбрать единственный («наилучший» в смысле этой тактики) ход. Вот один из примеров такой тактики. Каждой фигуре приписывается определенное число очков (стоимость):
Король. +200 очков
Ферзь. . +9 очков
Ладья. . +5 очков
Слон. . +3 очка
Конь. . +3 очка
Пешка. . . . . +1 очко
Отсталая пешка. . -0,5 очка
Изолированная пешка. . . . . -0,5 очка
Сдвоенная пешка. -0,5 очка
Кроме того, определенным образом оцениваются позиционные преимущества (подвижность фигур, расположение фигур ближе к центру, чем к краям, и т. д.), которые выражаются в десятых долях очка. Вычтем из общей суммы очков для белых фигур сумму очков для черных фигур. Полученная разность до некоторой степени характеризует материальный и позиционный перевес белых над черными. Если эта разность положительна, то у белых более выгодное положение, чем у черных, если же она отрицательна – менее выгодное положение.
Вычислительная машина подсчитывает, как может измениться указанная разность в течение ближайших трех ходов, выбирает наилучший вариант из всех возможных трехходовых комбинаций и печатает его на специальной карточке: «ход» сделан[23]. На один ход машина тратит очень немного времени (в зависимости от вида программы и скорости действия машины), так что опасаться «цейтнота» ей не приходится.
Конечно, «обдумывание» партии только на три хода вперед характеризует машину как довольно слабого «игрока»[24]. Но можно не сомневаться в том, что при происходящем сейчас быстром совершенствовании вычислительной техники машины скоро «научатся» гораздо лучше «играть» в шахматы.
Примечания
1
Делить лучше не разрешайте, так как это очень усложнит «фокус».
2
Цифра десятков роли не играла.
3
Строго говоря, мы доказали только то, что всякое целочисленное решение уравнения 3х – 5у = 19 имеет вид x = 8 + 5t1, y = l + 3t1, где t1 – некоторое целое число. Обратное (т. е. то, что при любом целом t1 мы получаем некоторое целочисленное решение данного нам уравнения) доказано не было. Однако в этом легко убедиться, проводя рассуждения в обратном порядке или подставив найденные значения х и у в первоначальное уравнение.
4
«Занимательная алгебра» впервые издана в первой половине XX века. О доказательствах теоремы Ферма смотри в современных публикациях.
5
Ферма (1601–1665) не был профессионалом-математиком. Юрист по образованию, советник парламента, он занимался математическими изысканиями лишь между де-лом. Это не помешало ему сделать ряд чрезвычайно важных открытий, которых он, впрочем, не публиковал, а по обычаю той эпохи сообщал в письмах к своим ученым друзьям: к Паскалю, Декарту, Гюйгенсу, Робервалю и др.
6
Для составных показателей (кроме 4) особого доказательства не требуется: эти случаи сводятся к случаям с простыми показателями.
7
В учебнике математики Магницкого, по которому обучались у нас в течение всей первой половины XVIII в., вовсе нет особого знака для действия извлечения корня.
8
Следует иметь в виду, что k> 0, так как
9
Поясним: расход корма в течение
10
14-значные логарифмы Бригга имеются, впрочем, только для чисел от 1 до 20 000 и от 90 000 до 101 000.
11
Натуральными называются логарифмы, вычисленные не при основании 10, а при основании 2,718…, о котором у нас еще будет речь впереди.
12
Напомним, что .
13
В отличие от «продуктивного» корма, т. е. части корма, идущей на выработку продукции животного, ради которой оно содержится.
14
Она была напечатана в «Русском астрономическом календаре на 1919 г.» и озаглавлена «О больших и малых расстояниях».
15
Умноженные на 12.
16
Деленный на 12.
17
В Америке в ту эпоху еще не было кредитных учреждений.
18