х:
Имеем уравнение
x + (6 + x) = 20,
откуда
x = 7,
а следовательно, число танцоров —
20 – 7 = 13.
Морская разведка
ЗАДАЧА 1
Разведчику (разведывательному кораблю), двигавшемуся в составе эскадры, дано задание обследовать район моря на 70 миль в направлении движения эскадры. Скорость эскадры – 35 миль в час, скорость разведчика – 70 миль в час. Требуется определить, через сколько времени разведчик возвратится к эскадре.
РЕШЕНИЕ
Обозначим искомое число часов через х. За это время эскадра успела пройти 35x миль, разведывательный же корабль – 70х. Разведчик прошел вперед 70 миль и часть этого пути обратно, эскадра же прошла остальную часть того же пути. Вместе они прошли путь в 70х + 35х, равный 2 · 70 миль. Имеем уравнение
70x + 35x = 140,
откуда
часов. Разведчик возвратится к эскадре через 1 час 20 минут.
Рис. 7
ЗАДАЧА 2
Разведчик получил приказ произвести разведку впереди эскадры по направлению ее движения. Через 3 часа судно это должно вернуться к эскадре. Спустя сколько времени после оставления эскадры разведывательное судно должно повернуть назад, если скорость его 60 узлов, а скорость эскадры 40 узлов?
РЕШЕНИЕ
Пусть разведчик должен повернуть спустя х часов; значит, он удалялся от эскадры х часов, а шел навстречу ей 3 – х часов. Пока все корабли шли в одном направлении, разведчик успел за х часов удалиться от эскадры на разность пройденных ими путей, т. е. на
60x – 40x = 20x.
При возвращении разведчика он прошел путь навстречу эскадре 60 · (3 – х), сама же эскадра прошла 40 · (3 – х). Тот и другой прошли вместе 10x. Следовательно,
60 · (3 – x) + 40 · (3 – x) = 20x.
Откуда
Разведчик должен изменить курс на обратный спустя 2 часа 30 мин. после того, как он покинул эскадру.
На велодроме
ЗАДАЧА
По круговой дороге велодрома едут два велосипедиста с неизменными скоростями. Когда они едут в противоположных направлениях, то встречаются каждые 10 секунд; когда же едут в одном направлении, то один настигает другого каждые 170 секунд. Какова скорость каждого велосипедиста, если длина круговой дороги 170 м?
РЕШЕНИЕ
Если скорость первого велосипедиста х, то в 10 секунд он проезжает 10х метров. Второй же, двигаясь ему навстречу, проезжает от встречи до встречи остальную часть круга, т. е. 170 – 10x метров. Если скорость второго у, то это составляет 10у метров; итак,
170 – 10x = 10y.
Если же велосипедисты едут один вслед другому, то в 170 секунд первый проезжает 170x метров, а второй 170у метров. Если первый едет быстрее второго, то от одной встречи до другой он проезжает на один круг больше второго, т. е.
170х – 170у = 170.
После упрощения этих уравнений получаем:
х + у = 17, х – у = 1,
откуда
х = 9, у = 8 (метров в секунду).
Глава третья.В ПОМОЩЬ АРИФМЕТИКЕ
Арифметика зачастую не в силах собственными средствами строго доказать правильность некоторых из ее утверждений. Ей приходится в таких случаях прибегать к обобщающим приемам алгебры. К подобным арифметическим положениям, обосновываемым алгебраически, принадлежат, например, многие правила сокращенного выполнения действий, любопытные особенности некоторых чисел, признаки делимости и др. Рассмотрению вопросов этого рода и посвящается настоящая глава.
Мгновенное умножение
Вычислители-виртуозы во многих случаях облегчают себе вычислительную работу, прибегая к несложным алгебраическим преобразованиям. Например, вычисление 988 выполняется так:
988 · 988 = (988 + 12) ·2 (988 – 12) + 122 = 1000 · 976 + 144 = 976 144.
Легко сообразить, что вычислитель в этом случае пользуется следующим алгебраическим преобразованием:
На практике мы можем с успехом пользоваться этой формулой для устных выкладок.
Например:
272 = (27 + 3) · (27 – 3) + 32 = 729,
632 = 66 · 60 + 32 = 3969,
182 = 20 · 16 + 22 = 324,
372 = 40 · 34 + 32 = 1369,
482 = 50 · 46 + 22 = 2304,
542 = 58 · 50 + 42 = 2916.
Далее, умножение 986 · 997 выполняется так:
986 · 997 = (986 – 3) · 1000 + 3 · 14 = 983 042.
На чем основан этот прием? Представим множители в виде
(1000 – 14) · (1000 – 3)
и перемножим эти двучлены по правилам алгебры:
1000 · 1000–1000 · 14 – 1000 · 3 + 14 · 3.
Делаем преобразования:
1000 · (1000 – 14) – 1000 · 3 + 14 · 3 = 1000 · 986 – 1000 · 3 + 14 · 3 = 1000 · (986 – 3) + 14 · 3.
Последняя строка и изображает прием вычислителя.
Интересен способ перемножения двух трехзначных чисел, у которых число десятков одинаково, а цифры единиц составляют в сумме 10. Например, умножение
783 · 787
выполняется так:
78 · 79 = 6162; 3 · 7 = 21;
результат:
616 221.
Обоснование способа ясно из следующих преобразований:
(780 + 3) · (780 + 7) = 780 · 780 + 780 · 3 + 780 · 7 + 3 · 7 = 780 · 780 + 780 · 10 + 3 · 7 = 780 · (780 + 10) + 3 · 7 = 780 · 790 + 21 = 616 200 + 21.
Другой прием для выполнения подобных умножений еще проще:
783 · 787 = (785 – 2) · (785 + 2) = 7852 – 4 = 616 225 – 4 = 616 221.
В этом примере нам приходилось возводить в квадрат число 785.
Для быстрого возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5, очень удобен следующий способ:
352; 3 · 4 = 12. Отв. 1225.
652; 6 · 7 = 42. Отв. 4225.
752; 7 · 8 = 56. Отв. 5625.
Правило состоит в том, что умножают число десятков на число, на единицу большее, и к произведению приписывают 25.
Прием основан на следующем. Если число десятков а, то все число можно изобразить так:
10a + 5.
Квадрат этого числа как квадрат двучлена равен
100a2 + 100а + 25 = 100а · (а + 1) + 25.
Выражение а(а + 1) есть произведение числа десятков на ближайшее высшее число. Умножить число на 100 и прибавить 25 – все равно, что приписать к числу 25.
Из того же приема вытекает простой способ возводить в квадрат числа, состоящие из целого и . Например:
и т. п.
Цифры 1, 5 и 6
Вероятно, все заметили, что от перемножения ряда чисел, оканчивающихся единицей или пятеркой, получается число, оканчивающееся той же цифрой. Менее известно, что сказанное относится и к числу 6. Поэтому, между прочим, всякая степень числа, оканчивающегося шестеркой, также оканчивается шестеркой.
Например, 462 = 2116; 463 = 97 336.
Эту любопытную особенность цифр 1, 5 и 6 можно обосновать алгебраическим путем. Рассмотрим ее для 6.
Числа, оканчивающиеся шестеркой, изображаются так:
10а + 6, 10b + 6 и т. д.,
где а и b — целые числа.
Произведение двух таких чисел равно
100аb + 60b + 60а + 36 = 10 · (10аb + 6b + 6а) + 30 + 6 = 10 (10аb + 6b + 6а + 3) + 6.
Как видим, произведение составляется из некоторого числа десятков и из цифры 6, которая, разумеется, должна оказаться на конце.
Тот же прием доказательства можно приложить к 1 и к 5.
Сказанное дает нам право утверждать, что, например,
Числа 25 и 78
Имеются и двузначные числа, обладающие тем же свойством, как и числа 1, 5 и 6. Это число 25 и – что, вероятно, для многих будет неожиданностью, – число 76. Всякие два числа, оканчивающиеся на 76, дают в произведении число, оканчивающееся на 76.
Докажем это. Общее выражение для подобных чисел таково:
100a + 76, 100b + 76 и т. д.
Перемножим два числа этого вида, получим:
10 000аb + 7600b + 7600а + 5776 = 10 000аb + 7600b + 7600а + 5700 + 76 = 100 · (100аb + 76b + 76а + 57) + 76.
Положение доказано: произведение будет оканчиваться числом 76.
Отсюда следует, что всякая степень числа, оканчивающегося на 76, есть подобное же число:
3762 = 141 376,
5763 = 191 102 976 и т. п.
Составные числа
Число так называемых простых чисел, т. е. целых чисел, бóльших единицы, не делящихся без остатка ни на какие другие целые числа, кроме единицы и самих себя, бесконечно велико.
Начинаясь числами 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …, ряд их простирается без конца. Вклиниваясь между числами составными, они разбивают натуральный ряд чисел на более или менее длинные участки составных чисел. Какой длины бывают эти участки? Следует ли где-нибудь подряд, например, тысяча составных чисел, не прерываясь ни одним простым числом?
Можно доказать, – хотя это и может показаться неправдоподобным, – что участки составных чисел между простыми бывают любой длины. Нет границы для длины таких участков: они могут состоять из тысячи, из миллиона, из триллиона и т. д. составных чисел.
Для удобства будем пользоваться условным символом п! который обозначает произведение всех чисел от 1 до n включительно. Например 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5. Мы сейчас докажем, что ряд
[(n+1)!+2], [(n+1)!+3], [(n+1)!+4], …
до [(n+1)!+n+1] включительно