t1,
y = 1 + 3t1
мы, зная, что х< 0 и у< 0, выводим:
8 + 5t1< 0,
1 + 3t1< 0,
и, следовательно,
Принимая t1 = –2, –3, –4 и т. д., получаем из предыдущих формул следующие значения для х и у:
t1 = –2, –3, –4,
x = –2, –7, –12,
y = –5, –8, –11.
Первая пара решений, х = –2, у = –5, означает, что покупатель «платит минус 2 трехрублевки» и «получает минус 5 пятирублевок», т. е. в переводе на обычный язык – платит 5 пятирублевок и получает сдачи 2 трехрублевки. Подобным же образом истолковываем и прочие решения.
Покупка почтовых марок
ЗАДАЧА
Требуется на один рубль купить 40 штук почтовых марок – копеечных, 4-копеечных и 12-копеечных. Сколько окажется марок каждого достоинства?
РЕШЕНИЕ
В этом случае у нас имеется два уравнения с тремя неизвестными:
x + 4y + 12z = 100,
x + y + z = 40,
где x — число копеечных марок, у — 4-копеечных, z — 12-копеечных.
Вычитая из первого уравнения второе, получим одно уравнение с двумя неизвестными:
3y + 11z = 60.
Находим у:
Очевидно, – число целое. Обозначим его через t. Имеем:
y = 20–11t,
z = 3t.
Подставляем выражения для у и z во второе из исходных уравнений:
x + 20–11t + 3t = 40;
получаем:
x = 20 + 8t.
Так как x ≥ 0, y ≥ 0 и z ≥ 0, то нетрудно установить границы для t:
откуда заключаем, что для t возможны только два целых значения:
t = 0 и t = 1.
Соответствующие значения х, у и z таковы:
Проверка:
20 · 1 + 20 · 4 + 0 · 12 = 100,
28 · 1 + 9 · 4 + 3 · 12 = 100.
Итак, покупка марок может быть произведена только двумя способами (а если потребовать, чтобы была куплена хотя бы одна марка каждого достоинства, – то только одним способом).
Следующая задача – в том же роде.
Покупка фруктов
ЗАДАЧА
На 5 руб. куплено 100 штук разных фруктов. Цены на фрукты таковы:
Сколько фруктов каждого рода было куплено?
Рис. 8
РЕШЕНИЕ
Обозначив число арбузов через х, яблок через у и слив через z, составляем два уравнения:
Вычтя из первого уравнения второе, получим одно уравнение с двумя неизвестными:
49x + 9y = 400.
Дальнейший ход решения таков:
Из неравенств
1-9t ≥ 0 и 39+49t ≥ 0
устанавливаем, что
и, следовательно, t = 0. Поэтому
х = 1, у = 39.
Подставив эти значения х и у во второе уравнение, получаем: z = 60.
Итак, куплены были 1 арбуз, 39 яблок и 60 слив. Других комбинаций быть не может.
Отгадать день рождения
ЗАДАЧА
Умение решать неопределенные уравнения дает возможность выполнить следующий математический фокус.
Вы предлагаете товарищу умножить число даты его рождения на 12, а номер месяца – на 31. Он сообщает вам сумму обоих произведений, и вы вычисляете по ней дату рождения.
Если, например, товарищ ваш родился 9 февраля, то он выполняет следующие выкладки:
9 · 12 = 108, 2 · 31 = 62,
108 + 62 = 170.
Это последнее число, 170, он сообщает сам, и вы определяете задуманную дату. Как?
РЕШЕНИЕ
Задача сводится к решению неопределенного уравнения
12х + 31у = 170
в целых и положительных числах, причем число месяца х не больше 31, а номер месяца у не больше 12:
Зная, что 31 ≥ x > 0 и 12 ≥ y > 0, находим границы для t1:
Следовательно,
t1 = 0, x = 9, у = 2.
Дата рождения 9-е число второго месяца, т. е. 9 февраля.
Можно предложить и другое решение, не использующее уравнений. Нам сообщено число а = 12х + 31у. Так как 12x + 24y делится на 12, то числа 7у и а имеют одинаковые остатки от деления на 12. Умножив на 7, найдем, что 49y и 7а имеют одинаковые остатки от деления на 12. Но 49y = 48у + y, а 48у делится на 12. Значит, у и 7а имеют одинаковые остатки от деления на 12. Иными словами, если а не делится на 12, то у равен остатку от деления числа 7а на 12; если же а делится на 12, то y = 12. Этим число у (номер месяца) вполне определяется. Ну, а зная у, уже ничего не стоит узнать х.
Маленький совет: прежде чем узнавать остаток от деления числа 7а на 12, замените само число a его остатком от деления на 12 – считать будет проще. Например, если а = 170, то вы должны произвести в уме следующие вычисления:
Теперь вы можете сообщить товарищу дату его рождения: 9 февраля.
Докажем, что фокус всегда удается без отказа, т. е. что уравнение всегда имеет только одно решение в целых положительных числах. Обозначим число, которое сообщил ваш товарищ, через а, так что нахождение даты его рождения сводится к решению уравнения
12х + 31у = a.
Станем рассуждать «от противного». Предположим, что это уравнение имеет два различных решения в целых положительных числах, а именно решение x1, y1 и решение x2, y2, причем x1 и x2 не превосходят 31, a y1 и y2 не превосходят 12. Мы имеем:
12x1 + 31y1 = a,
12x2 + 31y2 = a.
Вычитая из первого равенства второе, получим:
12 · (x1 – x2) + 31 · (y1 – y2) = 0
Из этого равенства вытекает, что число 12 · (x1 —x2) делится на 31. Так как x1 и x2 – положительные числа, не превосходящие 31, то их разность по величине меньше чем 31. Поэтому число 12 · (x1 – x2) может делиться на 31 только в том случае, когда x1 = x2, т. е. когда первое решение совпадает со вторым. Таким образом, предположение о существовании двух различных решений приводит к противоречию.
Какой прямоугольник?
ЗАДАЧА
Стороны прямоугольника выражаются целыми числами. Какой длины должны они быть, чтобы периметр прямоугольника численно равнялся его площади?
РЕШЕНИЕ
Обозначив стороны прямоугольника через х и у, составляем уравнение
2х + 2у = ху,
откуда
Так как х и у должны быть положительными, то положительным должно быть и число у – 2, т. е. у должно быть больше 2. Заметим теперь, что
Так как х должно быть целым числом, то выражение должно быть целым числом. Но при у> 2 это возможно лишь, если у равно 3, 4 или 6. Соответствующие значения х будут 6, 4, 3.
Итак, искомая фигура есть либо прямоугольник со сторонами 3 и 6, либо квадрат со стороной 4.
Два двузначных числа
ЗАДАЧА
Числа 46 и 96 обладают любопытной особенностью: их произведение не меняет своей величины, если переставить их цифры.
Действительно,
46 · 96 = 4416 = 64 · 69.
Требуется установить, существуют ли еще другие пары двузначных чисел с тем же свойством. Как разыскать их все?
РЕШЕНИЕ
Обозначив цифры искомых чисел через х и у, z и t, составляем уравнение
(10х + у) (10z + t) = (10y + x) (10t + z).
Раскрыв скобки, получаем после упрощений:
хz = уt,
где х, у, z, t — целые числа, меньшие 10. Для разыскания решений составляем из 9 цифр все пары с равными произведениями:
1 · 4 = 2 · 2
1 · 6 = 2 · 3
1 · 8 = 2 · 4
1 · 9 = 3 · 3
2 · 6 = 3 · 4
2 · 8 = 4 · 4
2 · 9 = 3 · 6
3 · 8 = 4 · 6
4 · 9 = 6 · 6
Всех равенств 9. Из каждого можно составить одну или две искомые группы чисел. Например, из равенства 1 · 4 = 2 · 2 составляем одно решение:
12 · 42 = 21 · 24.
Из равенства 1 · 6 = 2 · 3 находим два решения:
12 · 63 = 21 · 36, 13 · 62 = 31 · 26.
Таким образом разыскиваем следующие 14 решений:
12 · 42 = 21 · 24
12 · 63 = 21 · 36
12 · 84 = 21 · 48
13 · 62 = 31 · 26
13 · 93 = 31 · 39
14 · 82 = 41 · 28
23 · 64 = 32 · 46
23 · 96 = 32 · 69
24 · 63 = 42 · 36
24 · 84 = 42 · 48
26 · 93 = 62 · 39
34 · 86 = 43 · 68
36 · 84 = 63 · 48
46 · 96 = 64 · 69
Пифагоровы числа
Удобный и очень точный способ, употребляемый землемерами для проведения на местности перпендикулярных линий, состоит в следующем. Пусть через точку А требуется к прямой MN провести перпендикуляр (рис. 9). Откладывают от А по направлению AM три раза какое-нибудь расстояние а. Затем завязывают на шнуре три узла, расстояния между которыми равны 4а и 5а. Приложив крайние узлы к точкам А и В, натягивают шнур за средний узел. Шнур расположится треугольником, в котором угол А — прямой.
Рис. 9
Этот древний способ, по-видимому, применявшийся еще тысячелетия назад строителями египетских пирамид, основан на том, что каждый треугольник, стороны которого относятся, как 3: 4: 5, согласно общеизвестной теореме Пифагора, – прямоугольный, так как