И это все варианты окончания аликвотной последовательности? Вовсе нет! Есть циклы, где повторяется одно число (например, 6 → 6 → 6 → 6 →…), два числа (1184 → 1210 → 1184 → 1210 →…), а есть и более длинные циклы. Заядлые игроки называют входящие в них числа «компанейскими». Вот два примера:
Когда я сварганил компьютерную программу для поиска этих циклов, она раскрыла ошеломляющий заговор: цепочку из 28 компанейских чисел. Я набрел на самый длинный цикл, известный на данный момент, и не верил своей удаче, как и множество математиков до меня. Вот чудесное доказательство того, что каждое число интересно: как выясняется, почти три десятка заурядных и, казалось бы, ничем не связанных обывателей образуют тайное общество, эдакую масонскую ложу целочисленного мира.
Я могу еще долго болтать об этой игре и написать о ней целую книгу. Знаете ли вы, что некоторые числа (например, 2 и 5) никогда не появляются в цепочках? Это трагическое состояние называют «неприкасаемость». Вы заметили, что в некоторых последовательностях числа взмывают до небес, а затем падают наземь? Например, 138 воспаряет до 179 931 895 322, а затем низвергается, словно Икар. Задумывались ли вы о том, могут ли какие-то числа разорвать узы гравитации и вечно лететь ввысь? Возможно, такое не исключено; пока что мы не знаем этого. Судьба некоторых небольших чисел (например, 276) до сих пор неизвестна: нам не под силу вычислить их аликвотные последовательности целиком, они будто самолеты, уходящие за горизонт, причем пилоты не оповестили нас, когда вернутся, да и вернутся ли.
Появится ли когда-нибудь у этой игры практическое применение? Не похоже. Впрочем, математик Годфри Харолд Харди утверждал, что изучение простых чисел никогда не принесет практической пользы, а сейчас на них построена система безопасности в интернете. Хотя теория чисел начинается с игры, она нередко приводит к глубоким результатам.
Не исключено, что когда-нибудь наша бесцельная игра с аликвотными последовательностями превратится в плодотворную, прибыльную отрасль науки. Так алхимия дала начало химии: трансмутация почище алхимических штучек. А пока я расскажу о пяти играх, которые позволят совершить прогулку по числовому полю, поупражняться на площадке с бесконечными циклами, неприкасаемыми числами и загадками, которые предстоит разгадать очередному 16-летнему подростку.
Китайские палочки
Я узнал об этой игре в начале 2020 года, пришел в восторг и решил поделиться со своими учениками в школе. Они восприняли это так, словно я пытался обучить их рукопожатию. Игра была не просто старой, а настолько древней, что я смахивал на идиота, пытаясь преподнести ее как новинку. Потом я понял, что все дело в разнице поколений. Для тех, кто родился после 1995 года, игра была хорошо знакомой, а те, кто родился до 1990 года, ничего о ней не слышали. Как со стационарными телефонами, только наоборот.
Как же «Китайские палочки» смогли так быстро и неоспоримо завоевать детские сердца? Что ж, если вы этого не знаете, мой седобородый друг, то вас ждет истинное удовольствие.
Сколько игроков? Как минимум два двуруких.
Что потребуется? Ничего. Начните так:
В чем цель? Добиться, чтобы противник разогнул все пальцы.
Какие правила?
1. По очереди касайтесь одной рукой любой руки противника. Он при этом должен разогнуть еще столько же пальцев, столько разогнуто у вас.
2. Если разогнуты все пальцы на руке, она «выбывает» из игры, и ее нужно сжать в кулак.
3. Если нужно разогнуть больше, чем пять пальцев, то рука остается в игре: нужно разогнуть на пять пальцев меньше, чем получается в сумме.
4. Во время хода вы можете вместо прикосновения к руке противника перераспределить количество разогнутых пальцев у себя. Так можно вернуть в игру выбывшую руку или вывести из нее действующую.
5. Если обе руки «выбыли» из игры, вы проиграли. Побеждает тот, кто остался в игре.
Существует 15 сочетаний разогнутых и согнутых пальцев на двух руках. Таким образом, теоретически в игре с двумя участниками есть в общей сложности 15 × 15 = 225 вариантов[30].
Анализ такого рода игр с математической точки зрения может дать два результата: (1) подсказать гарантированную стратегию, с помощью которой один игрок может выиграть, или (2) продемонстрировать, что такой стратегии нет, и достаточно опытные игроки всегда будут играть вничью.
К какой разновидности относятся «Китайские палочки»? Как это нередко бывает, ко второй. Но в отличие от крестиков-ноликов, где после девяти ходов на поле не остается ни одной пустой клеточки, идеальная партия в «Китайские палочки» может длиться вечно, войдя в бесконечный цикл, и прикосновение будет следовать за прикосновением, пока кто-нибудь не допустит ошибку, Солнце не поглотит Землю или – разница невелика – не прозвенит звонок на урок.
Эта игра родилась в Японии пару десятков лет назад. Точнее сказать сложно.
В онлайн-опросе игроков нескольких поколений (в основном из США) лишь один респондент сообщил, что был знаком с этой игрой до 2000 года. Ориол Риполл, автор восхитительной книги «Играй с нами: 100 игр со всего света», рассказал мне, что на его родине, в Каталонии, игра стала популярной в начале нулевых, когда начала распространяться по миру.
У «Китайских палочек» много названий: «Пальчиковые шахматы», «Мечи», «Волшебные пальчики», «Сплит». (Мои ученики в Сент-Поле, штат Миннесота, называют ее просто «Палочки».) Есть версия, что игра называется так, потому что настоящие палочки для еды выпадут, если разжать руки[31].
Потому что безвестные дети, придумавшие «Китайские палочки», ухитрились заново изобрести один из основополагающих принципов теории чисел.
Из школьной программы мы знаем, что числам несть конца. Независимо от того, насколько велико число (миллиард, триллион, квинтильон), всегда найдется еще большее. Но в суровом мире «Китайских палочек» есть одно непревзойденное число: исполинское, вошедшее в «Книгу рекордов Гиннесса» как наибольшее из всех чисел.
Я имею в виду четверку.
Сколько будет четыре плюс четыре? Не спешите отвечать «восемь». В мире «Китайских палочек» такого числа нет. С тем же успехом можно сказать, что сумма четырех и четырех – «пригоршня ушедших дней» или «хлопья завтрашнего пепла». Нет, любой ребенок от Барселоны до Киото скажет вам истинный ответ: 4 + 4 = 3.
Запутались? Не переживайте. Вот удобная таблица сложения:
Это не просто таблица сложения. Это таблица всех сумм, которые возможны в «Китайских палочках»[32]. Больше нечего вычислять. Если вы начинающий ученый, вам лучше выбрать другую тему для исследований.
Ну а что там с умножением? С учетом того что произведение – это результат многократного сложения (например, 4 × 3 означает 4 + 4 + 4), Исчерпывающая таблица умножения в мире «Китайских палочек» выглядит так[33]:
Математики придумали для арифметики «Китайских палочек» специальное название: модулярная арифметика. В нашем случае – арифметика вычетов по модулю пять.
Идея проста: замените каждое число модулем разности с предыдущим числом, кратным пяти.
«Китайские палочки» – закольцованная игра, поскольку модулярная арифметика – это закольцованный мир, вселенная бесконечных циклов, где существует всего пять вариантов. «На пять больше, чем число, кратное пяти»? Это всего-навсего на ноль больше, чем следующее число, кратное пяти. «На единицу меньше, чем число, кратное пяти»? Это всего-навсего на четыре больше, чем предыдущее число, кратное пяти.
0, 1, 2, 3, 4: вот и все, что вам нужно.
Модулярная арифметика используется повсеместно. Например, когда вы называете международный номер банковского счета (IBAN), как определить, что номер подлинный? Может быть, вы поменяли местами две цифры, ошиблись или просто набрали на клавиатуре случайное сочетание цифр, надеясь задарма срубить бабла. Слишком сложно вести учет всех IBAN. Каким же образом компьютер понимает, что ваш номер подлинный?
Легко: любой подлинный IBAN при делении на 97 дает остаток 1. Если вы допустили опечатку (или ввели тарабарщину), остаток будет другим. Этот изящный трюк работает не только с IBAN: точно так же защищены кредитные карты, национальные идентификационные номера и даже коды на кассовых чеках в ресторанах быстрого питания.
Но самое распространенное приложение модулярной арифметики знакомо всем: исчисление времени.
Наши часы отсчитывают время на основе арифметики вычетов по модулю 12. Девять часов вечера плюс семь часов – не 16 часов, как скажет 20-палый инопланетянин, а четыре часа утра. Та же история с календарями. Наверняка на какой-нибудь вечеринке вам показывали фокус с вычислением в уме, на какой день недели приходится случайно выбранная дата в далеком прошлом или будущем. Так вот, он основан на арифметике вычетов по модулю семь (потому что в неделе семь дней).
Перстам времени несть числа. Но нам, смертным, легче представить закольцованное время, время бесконечно повторяющихся циклов. Мы перекроили бесконечную игру времени на свой лад, чтобы совладать с ней.[34]
«Китайские палочки» родились на японском школьном дворе и перебирались с континента на континент благодаря детям, которых больше интересовало, как весело провести время, а не как его отсчитывать. Лишь после того как весь мир насладился этой игрой, взрослые спохватились и поняли, что изобретательные и непоседливые дети самостоятельно постигли древнюю и фундаментальную истину о закольцованности чисел.