А кроме того, эта игра облегчает запоминание таблицы умножения.
«Китайские палочки» по модулю N. Играйте так, будто у вас не пять пальцев, а шесть, семь или 99. Понадобятся карандаш и бумага!
Порог. Никакой модулярной арифметики. Когда нужно разогнуть больше пяти пальцев, рука автоматически выбывает из игры.
Мизер. Все наоборот: вы выигрываете, если обе руки выбывают из игры.
Один палец – проиграл. Если одна рука выбывает из игры, а на другой разогнут один палец, вы проиграли. Если обе руки выбывают из игры, вы, естественно, тоже проигрываете.
Солнца. Разогните вначале сразу четыре пальца, а не один. Что интересно, эта игра никогда не возвращается в исходную позицию.
Зомби. Если в игре принимают участие больше двух человек и обе ваши руки «выбыли», продолжайте играть одной рукой с одним разогнутым пальцем. Вы можете касаться других игроков, но никто не может коснуться вас.
Числовые цепочки
Из игр, вошедших в эту книгу, «Числовые цепочки» вызвали наиболее восторженные отзывы моих тестировщиков. Возможно, потому что числа в ней ведут себя так, как вам и не снилось: не выстраиваются стройными рядами, а змеятся и скользят по игровому полю, как побеги разумного растения. Неудивительно, что Уолтер Джорис, создатель сотен игр, считает «Числовые цепочки» своим шедевром.
Сколько игроков? Двое.
Что потребуется? Два карандаша разных цветов и игровое поле 6 × 6 клеточек. Если хотите, чтобы игра длилась дольше, попробуйте сделать поле 8 × 8 клеточек (или 7 × 7 с заштрихованной клеточкой в центре[35]). Вначале каждый игрок записывает числа 1, 2, 3 по диагонали, как показано на рисунке.
В чем цель? Добраться до большего числа, чем ваш противник.
Какие правила?
1. Выберите одно из своих чисел и поставьте следующее в соседнюю клеточку (по вертикали, горизонтали или диагонали).
2. Можно выбрать любое число, если место позволяет. Кроме того, можно пересекать цепочку чисел по диагонали.
3. Играйте до заполнения поля, даже если у одного из игроков нет возможности сделать ход.
4. Побеждает тот, кто запишет наибольшее число.
Опытные игроки могут принять измененные правила, описанные в «Заметках дегустатора».
Я обожаю эту игру. Так что позвольте мне выйти за рамки вежливости и спутать ваши карты.
Как и во многих чисто стратегических играх, в «Числовых цепочках» у первого игрока есть преимущество. Это не фатально; в конце концов, многим нравятся шахматы, хотя белые выигрывают в 55 % партий. Однако, в отличие от шахмат, в «Числовых цепочках» у второго игрока есть убийственная стратегия: просто копировать ходы противника. Симметричная игра гарантирует ничью.
Чтобы обойти эту уловку, советую немного поменять правила. Первый игрок делает первый ход как обычно. Затем, начиная с первого хода второго игрока, каждый записывает два числа за ход.
«Нарушьте симметрию, – отмечает автор и тестировщик игр Джо Кисенветер, – и сыграете блестяще. Вы стремитесь расширить собственную территорию или отрезать путь противнику? Слепо следуете за ним или пытаетесь вытеснить со своей части поля?»
Джо считает эту игру классической и удивляется, «что ее не придумали еще в древности».
Кажется, что «Числовые цепочки» существовали всегда, но нет: они появились в XXI веке благодаря незаурядному интеллекту Уолтера Джориса. За годы, прошедшие с публикации его книги «100 стратегических игр», он создал еще кучу головоломок, оригами, причудливых художественных проектов, оригинальных мультиков и новых игр (в том числе и «Числовые цепочки»). Порождения его ума невероятны. На мой взгляд, это просто человек-пульсар, испускающий излучение Джориса, иначе и не скажешь.
Когда я попросил Уолтера назвать самую любимую из придуманных им игр, он без колебания указал на «Числовые цепочки» (хотя тогда их правила еще не были опубликованы).
Потому что при разработке справедливой системы самая большая проблема – очередность.
Стандартный подход к определению очередности увидеть несложно: просто загляните на школьный двор на переменке и посмотрите, как капитаны набирают команды[36]. Вначале выбираешь ты, потом я, потом ты, потом я, потом ты… и так далее, пока не останутся самые слабые кандидаты.
Процедура проста, легка и крайне несправедлива.
У вас явное преимущество: ведь вы выбираете первым, а я всего лишь вторым. Затем у вас еще одно преимущество: выбор № 3 против моего жалкого № 4. Я даже не успею подать официальную жалобу, а вы уже продвинетесь дальше, ведь за вами выбор № 5, а у меня ничтожный № 6.
Крошечные преимущества накапливаются, превращаясь в одно большое – так называемое преимущество первого игрока. Оно нависает над миром игр как грозовая туча, эдакая постоянная угроза справедливости.
Взять хотя бы шахматы. Для таких неуклюжих новичков, как я, они достаточно сбалансированы. Но для мастеров очевидно различие между белыми, обладающими правом первого хода, и черными, плетущимися в хвосте… ну, это прямо-таки черно-белая ситуация. «Задачи у них разные, – писал гроссмейстер Евгений Свешников. – Белые стремятся к победе, черные – к ничьей!» Первый игрок может свободно атаковать, а второй сразу начинает защищаться. «Когда я играю белыми, то выигрываю потому, что играю белыми, – сказал однажды Ефим Боголюбов. – А когда я играю черными, то выигрываю потому, что я Боголюбов». Мне нравится его энергия.
Я мог бы продолжать. Преимущество первого игрока подтачивает словно червь принципы «Четырех в ряд», «Монополии», «Риска», «Гекса», шашек, го (по оценкам знатоков, преимущество первого игрока составляет 6–7 очков) и, среди бесчисленного множества других игр, «Числовых цепочек». Но зачем зацикливаться на несправедливости, будто справедливость недостижима?
Почему бы не обратиться к математике, расставляющей все по своим местам?
Вопросы распределения ресурсов (даже нематериального ресурса, например ходов в игровом процессе) по сути своей арифметические. Неудивительно, что поиск справедливости приводит нас в холодные и бесстрастные объятья математики.
В книге «Новые правила классических игр» Уэйн Шмитбергер демонстрирует несколько толковых систем нейтрализации преимущества первого игрока. Во-первых, решение путем свободного торга: пусть игроки делают ставки за право первого хода. Например, до начала игры в «Числовые цепочки» я могу сказать: «Позвольте мне сделать первый ход – и заработаете дополнительное очко». А вы можете либо повысить ставку («Позвольте сделать первый ход мне – и заработаете два дополнительных очка»), либо принять мою.
Во-вторых, метарешение: сыграйте две партии, меняясь ролями, и сложите результаты, набранные в каждой партии. Такой подход кажется довольно справедливым, но, как ни парадоксально, он может дать преимущество второму игроку. (Тому, кто делает первый ход во второй партии.) Начиная вторую партию с четкой целью, он может соответствующим образом скорректировать стратегию[37].
В-третьих, классическое математическое решение, известное как «правило пирога» или «я режу, ты выбираешь». Идея связана с распределением десерта. Один разрезает лакомство на две части, а другой первым выбирает кусок. Тот, кто режет, стремится к тому, чтобы куски были идеально равны, иначе ему достанется меньшая часть. Как применить это правило к «Числовым цепочкам»? Я делаю первый ход и за себя, и за вас, а вы выбираете цепочку, которую будете продолжать.
Все эти идеи хороши. Но лично я предпочитаю четвертый метод для балансирования сил в «Числовых цепочках»: не воспринимать буквально правило «ходить по очереди».
Звучит радикально. Но так ли это? Ни заветы на каменных скрижалях, ни голос из неопалимой купины никогда не предписывали игрокам ходить поочередно. Например, в лигах фэнтези-спорта[38] часто действуют по принципу «змейки». Вначале игрока выбирает А, за ним В, затем С, а потом снова С, за ним В, затем А, и вновь А, В, С и так далее. Роль «первого игрока» не закреплена. Первый становится последним, а последний – первым.
Этот метод прекрасно работает в «Числовых цепочках». Делая по два хода кряду, вы имеете возможность и отразить нападение противника, и пуститься в атаку.
Однако, честно говоря, даже в этой схеме есть недостаток. По сути дела, мы по очереди получаем преимущество первого игрока: вначале вы, затем я, затем вы, затем я. Но в этом случае вы обладаете преимуществом первого игрока в получении преимущества первого игрока. Независимо от того, в первый раз вы наслаждаетесь этим преимуществом, в седьмой или в 93-й, вы опережаете меня.
Это та же проблема, но на новом уровне абстракции.
Нарушит ли это баланс сил в конкретной игре? Скорее всего, нет. Но ваш доброжелательный сосед-математик расстроится. К счастью, есть более надежное решение – система чередования ходов, обеспечивающая идеальный баланс сил на любом уровне абстракции.
Вначале вы делаете ход (обозначим его «0»), затем я («1»).
Затем копируем последовательность ходов и используем в новой паре 0 вместо 1, а 1 вместо 0.
Повторяем ту же процедуру: копируем последовательность из четырех ходов и меняем роли.
И снова.
И еще раз.