И снова, до тех пор, пока игра не закончится.
Это замечательное математическое ухищрение (сформулированное специалистом по теории чисел, заново открытое шахматным гроссмейстером и названное «последовательность Морса – Туэ») предлагает самое справедливое чередование ходов, какое только можно себе представить. Оно нейтрализует не только преимущество первого игрока (потому что 0 предшествует 1 так же часто, как 1 предшествует 0), но и преимущество в получении преимущества первого игрока (потому что 01 предшествует 10 так же часто, как 10 предшествует 01), преимущество в получении этого преимущества (потому что 0110 предшествует 1001 так же часто, как 1001 предшествует 0110) и так далее, до бесконечности. В книге по математике справедливого распределения это называется «чередовать чередование чередования чередования…».
Где бы речь ни шла об очередности (серия пенальти, тай-брейки в теннисе, заказ блюд в эфиопском ресторане), математики не в силах сдержать улыбку, когда навязывают последовательность Морса – Туэ ничего не подозревающим обывателям.
Вот наглядный пример. Вы замечали, что кофе на дне кофейника крепче? Так вот, для того чтобы получились две чашки одинаково крепкого кофе, наливайте бодрящий напиток в стиле Морса – Туэ. Чайная ложка кофе в левую чашку, чайная ложка кофе в правую чашку… пока кофе не остынет и не придется заваривать новый.
Хотя у последовательности Морса – Туэ есть практическое применение, я предлагаю воспринимать ее как остроумную абстракцию, идеальную иллюстрацию, показывающую, что даже такая незамысловатая игра, как «Числовые цепочки», помогает понять теоретическую структуру абсолютной справедливости. Путь к пониманию истины начинается с игры.
Кстати, если вы намерены играть в стиле Морса – Туэ, советую записывать последовательность ходов на бумаге.
И не расстраивайтесь, когда будете сбиваться. Это неизбежно.
Три игрока. Играйте на треугольном поле, чередуя ходы змейкой. Треугольники, имеющие общие вершины, считаются смежными[39]. Поле, изображенное ниже, хорошо для разминки, но для игры поинтереснее советую добавить еще пару рядов треугольников.
Четыре игрока. Играйте на поле большего размера (8 × 8 или 10 × 10 клеточек). Игроки начинают свои цепочки в угловых клеточках. Ходы чередуются змейкой.
Вольное начало. Игроки могут разместить первую тройку чисел где угодно. (Спасибо Михаю Марусяку за эту идею.)
Свежие семена. Вы можете в любой момент поставить единицу в пустой клеточке, даже если она не граничит с теми, где записаны ваши числа. Этот ход считается за два. (Спасибо Энди Джуэллу за эту идею.)
Статичная диагональ. Это интересное изменение правил предложила Кэти Макдермотт, чтобы сократить потенциал ходов по диагонали. Если вы ставите число в клеточку, соседнюю по горизонтали или вертикали, оно увеличивается как обычно. Но если клеточка лежит на диагонали, то новое число равно предыдущему. Если вы используете это правило, то можете начать игру с единиц в угловых клеточках, а не с цепочки 1–2–3.
От 33 до 99
Отец и сын, развалившись на полу в гостиной, вместе наслаждаются просмотром видео с поездами на YouTube. Затем, поглядев на часы, сын вскакивает и достает тетрадку по математике. Домашнее задание – всего лишь один, казалось бы, простой вопрос.
Отец чешет затылок, хмурится и отсылает сына с каким-то бессмысленным поручением. А оставшись один, он достает свой планшет Nexus 7 и запрашивает в интернете ответ.
Да, это реклама планшета. Но этот рекламный ролик собрал три миллиона просмотров на YouTube и произвел сенсацию в Японии, поскольку задачка оказалась сложнее тех, что обычно решают в начальной школе. Ответы вроде 8 + 5–1 – 1 и + 5 не годятся, потому что нужно получить ровно 10. Кроме того, нужно использовать все четыре числа, поэтому варианты 1 + 1 + 8 и 5 × (1 + 1) тоже не подходят.
Сможете решить эту головоломку? Ответ – в сноске[40].
Эта глава посвящена игре, состоящей из таких головоломок, игре, переворачивающей представления о том, что такое «элементарная математика» – и кто в ней, скорее всего, преуспеет.
Сколько игроков? От двух до пяти (можно и больше).
Что потребуется? Карандаши и бумага. Кроме того, пять обычных игральных костей (они могут быть электронными; просто введите в браузере запрос «бросить кости онлайн») и секундомер. Рекомендую раунды по одной-две минуты, но это не догма. Можно и вовсе не засекать время.
В чем цель? Составить число, наиболее близкое к искомому, но без перебора.
Какие правила?
1. Один из игроков, ведущий текущего раунда, называет искомое число от 33 до 99, а затем бросает игральные кости и засекает время. (Можно и не засекать, если вам сложно.)
2. Каждый игрок пытается достичь искомого числа, складывая, вычитая, деля и умножая пять чисел, выпавших на игральных костях. Каждое выпавшее число можно использовать лишь один раз, но на количество и сочетания арифметических операций ограничения не накладываются. Можно использовать скобки. Окончательный ответ должен быть меньше искомого числа или равен ему. Ответ должен быть целым (хотя на промежуточных этапах могут возникать дроби).
3. Сравните результаты. Вычтите их из искомого числа и определите, сколько очков вы набрали. (Чем меньше, тем лучше.) Максимальное количество очков – 10 (чтобы все было честно).
4. Сыграйте несколько раундов, чтобы каждому выпала роль ведущего. Выигрывает тот, кто набрал меньше всего очков.
Знаете, как в кино показывают, что герой делает вычисления? Ну, конечно, в это время вокруг его головы кружат призрачные сверкающие цифры.
Хотели бы вы испытать такое на самом деле?
Нет, я не утверждаю, что игра «От 33 до 99» превратит вас в математического гения из кино. Но в ней есть своя прелесть. Возьмите карандаш и бумагу и наблюдайте, как цифры водят хоровод, образуя неудачные комбинации, а затем разлетаются и предпринимают новую попытку. Даже когда я сражаюсь в этой игре, мне кажется, что я лечу.
Идея игры уходит корнями в глубь веков. В 1700-е годы в учебниках встречались такие головоломки: «Я могу расположить четыре единицы так, чтобы при сложении они давали ровно 12. А ты?»[41]. В 1881 году впервые была опубликована знаменитая головоломка «Четыре четверки»: читателей просили составить число от 1 до 100 с помощью четырех четверок. (Для этого требовалась изобретательность, например использовать 44,√4, 4! и.4). В 1960-е годы в Шанхае и других городах Китая получила популярность игра «Двадцать четыре» (несложно догадаться: заветным число всегда было 24). И наконец, в 1972 году телешоу на основе нашей игры появилось во Франции, а несколько лет спустя – в Великобритании (под названием «Обратный отсчет»). Правила, описанные выше, я позаимствовал из книги «Игра в кости для чайников» разработчика игр Райнера Книзия. Там игра называется «Девяносто девять».
Потому что, когда математика приоткрывает дверь шире, вы никогда не знаете, кто войдет и добьется успеха.
Наверное, вам знакомо, как это бывает в школе. День за днем одни ученики щелкают задачи как орехи, другие тормозят, третьи рисуют крокодилов, поедающих неверные ответы. Наблюдая за тем, как учитель раздает проверенные контрольные, вы чувствуете атмосферу состязания: победители против проигравших, отличники против двоечников, «математики» против «гуманитариев».
Рад сообщить, что это не догма.
Однажды учительница Джейн Костик предложила ученикам коррекционного класса миннесотской школы сыграть в «Двадцать четыре» (разновидность игры «От 33 до 99»). Цель была скромной: просто поднатаскать их в арифметических действиях. Но игра зацепила детей. Они увлеклись интеллектуальным марафоном с перебором комбинаций. Задачи с четким алгоритмом решения никогда не производили такого эффекта. Они реагировали и аплодировали так громко, что ученики из маткласса сбежались посмотреть, что происходит, и столпились в дверях. «В конечном итоге, – рассказала мне Джейн, – маткласс вызвал мой класс на соревнование».
В школах делят детей в соответствии с их оценками по математике. Класс триумфаторов пришел к лузерам и объявил войну. Это все равно что если бы университетская хоккейная команда решила сразиться с разношерстной оравой детей, вооружившихся клюшками.
Как бы то ни было, в лучших традициях спортивных фильмов класс Джейн одержал победу.
Большинство математических задач составлено по одному шаблону: «Сначала выкладки, потом результат». Игра «От 33 до 99» переворачивает все с ног на голову: «Сначала результат, потом выкладки». Есть тысячи комбинаций пяти цифр и четырех арифметических действий, поэтому просто перебрать все возможности не удастся. Открывается простор для интуиции, изобретательности и озарений.
Помимо прочего, эта игра привлекла внимание множества людей, которые сроду не были любителями математики.
Возьмем, например, британское телешоу «Обратный отсчет», где половину времени участники играют в один из вариантов «От 33 до 99». Казалось бы, зрелище предназначено для узкого круга зрителей, однако оно выходило уже более 7000 раз. Главный редактор «Книги рекордов Гиннесса» назвал шоу «краеугольным камнем британской поп-культуры», наряду с остроумными ответами, любовью к десертам и нелюбовью к произношению 18-й буквы английского алфавита