Возможно, цивилизация впервые осознала, что такое числа, когда выстроила эту систему взаимно однозначного соответствия единиц обмена и товаров.
Дальше появились более сложные единицы. Древние общества в Китае и Мезоамерике довольствовались простыми жетонами, а вот шумерам пришла в голову новая идея: один жетон стал означать несколько овец. Так возникли пятицентовики, десятицентовики и четвертаки животноводческой экономики.
Потом произошел переход к абстракциям. Раньше не существовало оторванного от осязаемых вещей числа шесть. Числа означали исключительно определенные количества предметов: семь овец, семь колец от Картье, семь коз за одно кольцо от Картье. Число семь было неотделимо от материального мира.
Но со временем «три овцы» стали обозначаться двумя символами, как и «три козы». Символ для числа «три» был общим. Так родилась математика: возникло абстрактное понятие «числа».
Не три овцы. Не три козы. Не три штуковины. А просто «три».
И еще один решающий поворот истории происхождения чисел: шумеры стали класть свои жетоны в глиняные «конверты», а затем вычерчивать символы на влажной глине, чтобы обозначить содержимое. Археолог Дениз Шмандт-Бессера утверждает: так родилась не только шумерская математика, но и шумерская письменность, что не менее существенно. Нашей грамотностью мы обязаны в немалой степени учету овец[46].
Естественно, я упрощаю. Это не единственный путь появления письменности. Кроме того, глиняные жетоны не были валютой в нашем понимании, потому что использовались не для обмена. Они больше походили на бухгалтерские книги или банковские счета: не на монеты, а на записи о праве собственности.
Тем не менее каждое богатое общество сегодня должно снимать шляпу перед этими жетонами. Или хотя бы перед медяками в копилке.
Другие наборы монет. Попробуйте эти альтернативы (предложенные Джеймсом Эрнестом, создателем игры).
Или используйте эти номиналы монет, существующие в реальных национальных валютах:
Естественно, вы можете использовать собственные комбинации монет. Однако убедитесь, что у всех игроков в начале одинаковый набор дензнаков.
Новые правила размена. Эти две интересные вариации придумал Джо Кисенветер.
1. Идеальная сдача. Вы можете забрать любую комбинацию более мелких монет, стоимость которых меньше или равна той монете, которую вы положили. Например, если вы положили десятицентовик, то можете забрать две пятицентовых монеты (но не десятицентовик).
2. Более чем идеальная сдача. Вы можете забрать все монеты меньшего номинала, чем та, что вы положили на стол, даже если их общая стоимость выше. Например, если вы положили десятицентовик, можете забрать три пятицентовые монеты и пять одноцентовых.
Вот вам хорошая головоломка от Джо: могут ли эти варианты привести к бесконечной игре? Если нет, то каково максимальное количество ходов?
Переворот. Игра в кости для двух игроков от Джеймса Эрнеста. В начале раунда каждый игрок бросает пять обычных игральных костей. Начинает тот, у кого выпало меньше очков. Затем в свой ход вы можете:
1. Коснуться одной из игральных костей противника. Он должен поставить ее в центр стола, а взамен может забрать любое количество игральных костей, сумма очков на которых меньше, чем на той игральной кости. (Иногда таких костей нет.) Например, если вы проиграли пять очков, можете забрать кости с общей суммой 4 очка или меньше.
2. Перевернуть одну из своих игральных костей. Два числа на противоположных сторонах игральной кости всегда дают в сумме семь. Таким образом, один превращается в шесть, два – в пять, три – в четыре (и наоборот)[47].
Последний, у кого остались игральные кости, становится победителем раунда и набирает столько очков, сколько выпало на этих костях. Выигрывает тот, кто первым наберет 50 очков.
Пророчества
Пророчество – не просто предсказание. Это поступок. Оно даже может неожиданным образом изменить будущее, которое предвосхищает.
Например, если вы скажете супружеской паре, ожидающей ребенка: «Ваш сын убьет папу и женится на маме», это сильно изменит их стиль воспитания. Если вы скажете доверчивой многомиллионной аудитории: «Эти акции взлетят до небес!», то их начнут раскупать, и цена действительно пойдет вверх. И хорошенько подумайте о последствиях своего пророчества, прежде чем сообщить злому волшебнику, чье имя нельзя называть, что ребенок, родившийся под знаком Льва, может его убить.
Все эти соображения лежат в основе игры «Пророчества», элегантного примера самосбывающихся (и самоаннулирующихся) предсказаний.
Сколько игроков? Двое.
Что потребуется? Карандаши разных цветов. Кроме того, нужно игровое поле из четырех-восьми столбцов и четырех-восьми строк.
В чем цель? Точно предсказать, сколько чисел появится в данной строке или столбце, и записать это число где-нибудь в соответствующей строке или столбце.
Какие правила?
1. По очереди вписывайте в пустые клеточки либо число, либо крестик.
2. Каждое число – своего рода пророчество: предсказание, сколько чисел появится в данной строке или столбце. Таким образом, наименьшее число – 1, наибольшее – длина соответствующей строки или столбца (в зависимости от того, что длиннее). Ну а крестик просто заполняет клеточку, не позволяя вписать туда число.
3. Числа в каждой строке и столбце не должны повторяться.
4. Если в клеточке нельзя записать ни одно число, потому что оно будет дублем, ставьте там крестик. Это не ход, а лишь облегчение подсчета.
5. Играйте, пока не заполнится все поле. Затем подсчитайте, сколько чисел в каждой строке. Тот, кто сделал верное предсказание, набирает соответствующее количество очков. То же самое со столбцами.
Обратите внимание, что одно и то же число может быть двойным пророчеством: и для строки, и для столбца. Кроме того, в некоторых строках или столбцах может не быть ни одного сбывшегося пророчества.
6. Побеждает тот, кто наберет больше очков.
Самые восхитительные и мучительные моменты игры – когда пророчество опровергает само себя. Например:
В этой строке неизбежно будет либо два, либо три числа. Тройка уже есть, поэтому игрок, чей цвет зеленый, может, и хотел бы вписать двойку, но смысла в этом нет, поскольку пророчество опровергает само себя и подтверждает предсказание соперника. Это классический парадокс пророка: высказываясь о мире, он меняет его, и тем самым делает высказывание ложным.
Эти моменты напоминают мне об автореферентных фразах. Это лингвистические высказывания, описывающие сами себя. Вот пример:[48]
Эта фраза точно описывает саму себя. Круто, не правда ли? Впервые нечто подобное опубликовал Ли Саллоус. Когда я пытаюсь представить, как Ли сочинял ее, мой мозг перекручивается, словно рог барана, потому что каждое изменение влияет на всю фразу.
Чтобы лучше понять мою мысль, попробуйте заполнить эту простую автореферентную таблицу:
Одна единица уже есть. Если мы попытаемся записать единицу во второй строке, то запутаемся в своих собственных шнурках, потому что единиц будет две. Может, стоит вписать двойку? Но стоит сделать это, вторая единица исчезнет, и наша двойка будет ошибочной.
Любое пророчество здесь опровергает само себя. Эту таблицу невозможно заполнить.
А что, если добавить второй столбец? Ничего не выйдет. Любая попытка заполнить его обречена на провал, как попытка изречь пророчество «Никто никогда не изречет это пророчество».
Сколько же нужно столбцов, чтобы заполнить такую таблицу? Как минимум четыре. Вот одно из возможных решений, а второе попробуйте найти самостоятельно[49].
Всякий раз, когда я играю в «Пророчества», мой разум попадает в подобные рекурсивные циклы. Будет ли мое следующее предсказание опровергать само себя? Только что числа казались незыблемыми и правдивыми, и вот они рассеиваются как сон, как утренний туман. В результате получается игра с ошеломляющей стратегической глубиной.
Игру придумал симпатяга по имени Энди Джуэлл.
В 2010 году Дэниел Солис запустил проект «Лучшая игра тысячелетия». Задача состояла в том, чтобы придумать простую, глубокую игру, в которую будут играть на протяжении тысячи лет. Тогда Энди Джуэлл и представил на суд публики игру «Пророчества» (вариацию его настольной игры «Размер имеет значение»).
Наступил 2020 год. «Пророчества» стали одной из любимых игр моих тестировщиков, а сам Энди, с которым я вступил в переписку по электронной почте, оказался остроумным, скромным и чрезвычайно полезным знатоком стратегических игр[50].
Будут ли играть в «Пророчества» целое тысячелетие? А почему бы и нет? На самом деле вам не нужны ни бумага, ни карандаши, ни даже цифры. Можно просто чертить какие-нибудь закорючки на земле. «Если наши потомки разучатся считать, – заметил Энди, – невозможность сыграть в эту игру, по моему скромному мнению, будет наименьшей из их бесчисленных проблем».
Потому что игра с парадоксальными числами, описывающими себя, помогла вступить в компьютерную эру.