Эта история начинается в конце XIX века, когда математики взялись за грандиозную задачу: найти логические основы своей науки. Они надеялись выстроить своего рода непоколебимую башню, каждый ярус которой опирается на предыдущий, вплоть до нерушимого фундамента, то есть набора простых постулатов, из которых вытекают все математические теоремы.
Естественно, решающим шагом был выбор подходящих постулатов.
Типичный путь – начать с пустого множества, абстрактного мешка, внутри которого ничего нет. Таким образом, у вас появляется ноль, и можно продолжать. Множество, содержащее пустое множество, – это единица. Множество, содержащее единицу и пустое множество, – это двойка. Множество, содержащее единицу, двойку и пустое множество, – это тройка. И так далее.
Продолжайте в том же духе, выстраивая все более сложные логические структуры множеств-множеств-множеств, пока не охватите все возможные числа, фигуры и уравнения.
И получится, что вся математика зиждется на нескольких простых постулатах о множествах.
Увы, на протяжении десятилетий эти попытки не приносили успеха. Все время накапливались парадоксы, заставлявшие математиков менять основополагающие постулаты. Однако новые постулаты приводили к новым парадоксам или не годились для создания фундамента для математической башни.
Наконец, в 1930 году логик по имени Курт Гёдель показал, где корень всех зол. Проект поиска незыблемых оснований в принципе был несбыточной мечтой.
Его аргументация выглядит примерно так. Для начала выберите любой набор аксиом для арифметики в качестве фундамента математической башни. Затем Курт показывает, что эти аксиомы создают своего рода язык, который позволяет закодировать утверждения (например, «0 равен 0») в виде чисел (например, 243 000 000). Наконец, Курт предъявляет утверждения, ссылающиеся на свой собственный номер и говорящие, что «невозможно доказать истинность утверждения с этим номером».
Короче говоря, порочный круг.
Действительно, невозможно доказать истинность утверждения «невозможно доказать истинность утверждения», потому что в таком случае оно оказалось бы ложным. А если мы докажем, что оно ложно, оно, без тени сомнения, окажется истинным!
Невозможно доказать ни истинность, ни ложность. Такие утверждения относятся к жуткой категории, которую Курт окрестил «неразрешимые утверждения».
Ученые надеялись найти фундамент математики. Курт заложил бомбу под эту надежду. Независимо от того, какие постулаты вы выбираете, всегда найдутся утверждения, которые вы не сможете ни доказать, ни опровергнуть, высоты, недостижимые для вашей башни.
Самый амбициозный математический проект столетия был обречен на неудачу, и всё из-за автореферентных чисел.
После того как бомба Курта взорвалась, математики попытались спасти хотя бы что-нибудь из-под обломков. Алан Тьюринг задумался над созданием машины, которая помогает классифицировать утверждения на истинные, ложные и неразрешимые, – своего рода математический детектор лжи.
Или, как мы говорим сейчас, компьютера.
Я вспоминаю этот сюжет всякий раз, когда играю в «Пророчества». Числа, описывающие себя, числа, опровергающие себя, логические гордиевы узлы, петли обратной связи… Все это не просто хи-хи да ха-ха. Это первичный бульон, в котором зародилась компьютерная эра.
Курт усматривал в своих автореферентных числах парадокс лжеца. Вот простейшая форма этого древнего подвоха: «Данное утверждение ложно». Оно не может быть ни истинным (иначе оно оказалось бы ложью), ни ложным (иначе оно оказалось бы истиной). Таким образом, это утверждение окутано непроницаемым туманом: ни истинно, ни ложно, ни живо, ни мертво, не облагается налогом, но и не освобождено от налога. Своего рода семантический призрак, не завершивший свое дело на земле.
Вернее, так обстояли дела, пока на сцене не объявился Курт. Он запрятал этот древний парадокс, тысячелетия терзающий несчастных логиков, внутрь коробки с транзисторами, где тот обрел свое истинное призвание: терзать всех нас.
Экзотические игровые поля. Необязательно играть на прямоугольном поле. Вот пример с пятью областями, пересекающими друг друга и разбитыми на 16 ячеек:
Больше игроков. Можно играть втроем или вчетвером. Просто нарисуйте игровое поле побольше (например, 7 × 7).
Крестовые пророчества. Пусть числа предсказывают не количество чисел, а количество крестиков в строке или столбце.
Игровое поле – судоку. Возможно, наикрутейший вариант. Возьмите в качестве игрового поля неразгаданное судоку. Пусть каждое число пророчит количество чисел не только в строке или столбце, но и в своем сегменте 3 × 3. Вписанные числа-подсказки не засчитываются ни одному из игроков.
Парадокс Берри. Ладно-ладно, это не игра. Просто я хочу продемонстрировать вам последнего демона из ящика Пандоры с автореферентными числами.
Парадокс начинается с простого наблюдения: для описания бóльших чисел обычно требуется больше букв. Например, для числа «девять» требуется шесть букв, а для числа 729 – одиннадцать («девять в кубе» – короче, чем «семьсот двадцать девять»). Библиотекарь Дж. Берри расширил эту идею. Чему равно «наименьшее натуральное число, для описания которого требуется не менее ста букв»?
Звучит разумно. Наверняка такое число (чему бы оно ни было равно) существует… но вы ведь только что определили его, использовав меньше ста букв! Определение опровергает само себя.
Множество числовых игр
Когда я начал работать над этой книгой, мне очень хотелось включить в каждую часть пять дополнительных игр – ни больше, ни меньше. Почему я отказался от этого плана? Дело в том, что есть немало незамысловатых, но изящных числовых игр. Не мог же я закрыть на них глаза, не правда ли? Поэтому я бегло расскажу еще о семи играх.
Посредственность
«Посредственность» – игра для трех участников, в которую впервые сыграли на ресторанных салфетках брат, сестра и их приятель[51].
Каждый игрок загадывает целое число от 0 до 30[52]. Затем игроки называют свои числа. Побеждает тот, чье число оказывается медианным (то есть срединным). Он набирает соответствующее количество очков. Если два игрока загадали одно и то же число, третий игрок вправе выбрать победителя.
Но не спешите. У игры есть еще одна особенность. Вы играете определенное число раундов (скажем, пять), и побеждает не тот, у кого больше всего очков, а тот, кто набрал медианное число. По словам соавтора игры Дугласа Хофштадтера, это единственный способ, обеспечить «соответствие духа целого духу составляющих его частей».
Несколько советов напоследок:
1. Рекомендую выставлять количество очков за раунд на всеобщее обозрение, чтобы каждый мог выбрать свою стратегию.
2. Для игры требуется нечетное количество игроков[53], но если вас четное количество, просто вообразите невидимого игрока, который всегда загадывает число 15.
3. Чтобы игра стала по-настоящему захватывающей, сыграйте пять раундов. Побеждает тот, кто выиграл в медианном количестве раундов.
Черная дыра
В этой двухцветной игре для двух игроков, придуманной Уолтером Джорисом, напряжение нарастает с каждым ходом, достигает кульминации и завершается взрывом. Не ручаюсь, что игра точна с точки зрения космологии, но мне нравится ее головоломный стиль, когда поражение и победа зависят от одного пустующего поля.
Вначале нарисуйте шестиярусную пирамиду из 21 кружочка, как показано на рисунке. Затем пусть каждый поставит 1 в любом кружочке на свой вкус. Далее по очереди вписывайте следующее число в любой свободный кружочек: 2, 3, 4 и так далее.
Когда вы доберетесь до 10, останется один пустующий кружочек: черная дыра, которая немедленно уничтожает все соседние кружочки. Выигрывает тот, чьи числа дают наибольшую сумму, то есть менее всего пострадавший от черной дыры.
Несмотря на простоту этой игры, мне было сложно определить стратегию. Вы не можете «зарезервировать» места для чисел побольше: ваш оппонент заполнит их раньше. Вы должны исхитриться оставить себе кружочки, которые оппонент не захочет заполнять (надо полагать потому, что они защитят ваши числа). Но не слишком много, иначе в одном из них зародится черная дыра и вы проиграете.
Джем
Эту простейшую игру можно объяснить в нескольких словах. По очереди называйте числа от 1 до 9. Они не должны повторяться. Побеждает тот, кто первый назовет три числа, дающие в сумме 15.
Возможно, «Джем» напомнил вам крестики-нолики? Если да, то не случайно. Это и есть крестики-нолики – или, как было сказано в статье по психологии 1967 года, «изоморф крестиков-ноликов». Если составить магический квадрат из чисел от 1 до 9 (где все суммы по вертикали, горизонтали и диагонали равны 15), соответствие станет очевидным.
Это две игры, идентичные по своей структуре, близнецы под разными личинами.
Люди по своей природе – не абстрактные мыслители. Совсем наоборот. Мы существа приземленные: животные, которые хотят набить желудок, спят на ходу и испытывают головокружение – иногда одновременно, если по телевизору передают кулинарное шоу. Мы думаем о частностях. Вот почему важны изоморфизмы: они позволяют увидеть за частностями общее. Изоморфизм – это абстрактный мост между островками опыта.
Раз уж мы затронули эту тему, вот еще одна игра, изоморфная крестикам-ноликам. Я называю ее Sir Boss's Barn. Вначале запишите предложение: Sir Boss